文档内容
2007 年四川高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3
到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题：
(1)复数 的值是
（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1
(2)函数f(x)=1+logx与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
2
(3)
（A）0 (B)1 (C) (D)
(4)如图，ABCD-ABCD为正方体，下面结论错误的是
1 1 1 1
（A）BD∥平面CBD （B）AC⊥BD
1 1 1
（C）AC⊥平面CBD （D）异面直线AD与CB角为60°
1 1 1 1（5）如果双曲线 上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离
是
（A） （B） （C） （D）
（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C
两点的球面距离都是 ，且三面角B-OA-C的大小为 ，则从A点
沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是
（A） （B） （C） （D）
（7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O
为坐标原点，若 上的投影相同，则a与b满
足的关系式为
(A) (B)
(C) (D)
（8）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点A、B，则|AB|等于
（A）3 （B）4 （C） （D）
（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对
项目乙投资的 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得
0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，
在这两个项目上共可获得的最大利润为
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
（11）如图，l、l、l是同一平面内的三条平行直线，l与l间的距
1 2 3 1 2
离是1，l与l间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l、l、l
2 3 1 2 3
上，则△ABC的边长是
（A） （B） （C） （ D ）
（12）已知一组抛物线 ，其中a为 2,4,6,8 中任取的一个数，b为
1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1交点处的切
线相互平行的概率是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
（13）若函数f(x)=e-(m-u)2 (c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u=.
(14)如图，在正三棱柱ABC-ABC中，侧棱长为 ，底面三角形的边
1 1 1
长为1，则BC与侧面ACCA所成的角是 .
1 1 1
(15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所
引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 .
(16)下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②终边在y轴上的角的集合是{a|a= |.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所言 ）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）已知 < < < ,
(Ⅰ)求 的值.
（Ⅱ）求 .
（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商
家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有
1件是合格品的概率;
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，
都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产
品数 的分布列及期望 ，并求该商家拒收这批产品的概率.
（19）（本小题满分12分）如图， 是直角梯形，∠ ＝90°， ∥ ， ＝1， ＝2，又 ＝1，∠ ＝120°， ⊥ ，直线 与直线 所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ;
（Ⅱ）求二面角 的大小;
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
（20）（本小题满分12分）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）若 是该椭圆上的一个动点，求 · 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且∠ 为锐角（其中
为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围.
已知函数 ,设曲线 在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数
（21）（本小题满分12分）
已知函数 ,设曲线 在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数
(Ⅰ)用表示
(Ⅱ)
(22)(本小题满分14分)
设函数 .
(Ⅰ)当x=6时,求 的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明 ＞
(Ⅲ)是否存在 ,使得an＜ ＜ 恒成立?若存在,试证明你的结论并求
出a的值;若不存在,请说明理由.参考答案
一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分
（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C
（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B
二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分
（13） （14） （15） （16）① ④
三．解答题：
（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角
以及计算能力。
解：（Ⅰ）由 ，得
∴ ，于是
（Ⅱ）由 ，得
又∵ ，∴
由 得：
所以
（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期
望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ） 可能的取值为
， ，记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知
识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和
推理运算能力。
解法一：
（Ⅰ）∵
∴ ，
又∵
∴
（Ⅱ）取 的中点 ，则 ，连结 ，
∵ ，∴ ，从而
作 ，交 的延长线于 ，连结 ，则由三垂线定理知， ，
从而 为二面角 的平面角
直线 与直线 所成的角为
∴
在 中，由余弦定理得
在 中，
在 中，
在 中，故二面角 的平面角大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 为正方形
∴
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面 内，过 作 ，建立空间直角坐标系 （如图）
由题意有 ，设 ，
则
由直线 与直线 所成的解为 ，得
，即 ，解得
∴ ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得
平面 的法向量取为
设 与 所成的角为 ，则
显然，二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的平面角大小为
（ Ⅲ ） 取 平 面 的 法 向 量 取 为 ， 则 点 A 到 平 面 的 距 离
∵ ， ∴（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识
解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以 ，设 ，则
因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值
当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值
解法二：易知 ，所以 ，设 ，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，
联立 ，消去 ，整理得：
∴
由 得： 或
又
∴又
∵ ，即 ∴
故由①、②得 或
（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决
问题的能力。
解：（Ⅰ）由题可得
所以过曲线上点 的切线方程为 ，
即
令 ，得 ，即
显然 ∴
（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数 ，则 ，即 ，而 ，∴ ，即有
（充分性）若 ，由
用数学归纳法易得 ，从而 ，即
又 ∴
于是 ，
即 对一切正整数 成立（Ⅲ）由 ，知 ，同理，
故
从而 ，即
所以，数列 成等比数列，故 ，
即 ，从而
所以
（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方
法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证 法 二 ： 因
而故只需对 和 进行比较。
令 ，有
由 ，得
因为当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增，所以在 处 有极小值
故当 时， ，
从而有 ，亦即
故有 恒成立。
所以 ，原不等式成立。
（Ⅲ）对 ，且
有
又因 ，故∵ ，从而有 成立，
即存在 ，使得 恒成立。
