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1997 年吉林高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120
分钟．
第Ⅰ卷（选择题共65分）
一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共
65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
王新奎新疆屯敞
1．设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N= ( )
(A) (B)
(C) (D)
2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= ( )
(A) －3 (B) －6 (C) (D)
3．函数y=tg( )在一个周期内的图像是 ( )
4．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC= ,BC=2,则以BC为棱，以面
BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( )
(A) arccos (B) arccos (C) (D)
5．函数y=sin( )+cos2 的最小正周期是 ( )
(A) (B) (C) (D)
6．满足arccos(1－x) arccosx的x的取值范围是 ( )
(A) [－1,－ ] (B) [－ ,0] (C) [0, ] (D) [ ,1]
7．将y=2x的图像 ( )
(A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位(C) 先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log(x+1)的图像．
2
8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，
这个球的表面积是 ( )
(A) 20 (B) 25 (C) 50 (D) 200
9．曲线的参数方程是 (t是参数，t 0),它的普通方程是 ( )
(A) (x－1)2(y－1)=1 (B) y=
(C) (D)
10．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ( )
(A) 2 (B) 0 (C) (D) 6
11．椭圆C与椭圆 关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
12．圆台上、下底面积分别为 、 ,侧面积为 ,这个圆台的体积是 ( )
(A) (B) (C) (D)
13．定义在区间 的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[ ）的图
像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a)；
④f(a)－f(－b) q,且 ，．设 ,S为数列 的前n项和．求 ．
n
22．（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车 （以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
每小时的运输成本
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
I．把 y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定
全程运输成本
义域；
II．为了使 最小，汽车应以多大速度行驶？
全程运输成本
23．（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是
1 1 1 1
BB、CD的中点．
1
I．证明AD DF；
1
II．求AE与DF所成的角；
1
III．证明面AED 面AFD；
1 1
IV．设AA=2,求三棱锥F-AED的体积
1 1 1
24．(本小题满分12分)
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x,x满足01．
∵
==p．
(Ⅱ)p<1．
∵ 0bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，
所以 ，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当 时行驶速度应为 ；当
时行驶速度应为v=c．
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推
理能力和空间想象能力，满分12分．
解:(Ⅰ)∵AC是正方体，
1
∴AD⊥面DC．
1
又DF 面DC，
1 1
∴AD⊥DF．
1
(Ⅱ)取AB中点G，连结AG，FG．因为F是CD的中点，所
1
以GF、AD平行且相等，又AD、AD平行且相等，所以GF、AD平行且相等，故GFDA是平
1 1 1 1 1 1
行四边形，AG∥DF．
1 1
设AG与AE相交于点H，则∠AHA是AE与DF所成的角，因为E是BB的中点，所以
1 1 1 1
Rt△AAG≌Rt△ABE，∠GAA=∠GAH，从而∠AHA=90°，即直线AE与DF所成角为直角．
1 1 1 1
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥DF，由(Ⅱ)知AE⊥DF，又AD∩AE=A，所以DF⊥面AED．又因为
1 1 1
DF 面AFD，所以面AED⊥面AFD．
1 1 1 1 1
(Ⅳ)连结GE，GD．
1
∵FG∥AD，∴FG∥面AED，
1 1 1 1
∴
∵AA=2，
1
∴
正方形ABB1A1(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数
学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x，x是方程f(x)－x=0的根，所以
1 2
F(x)=a(x－x)(x－x)．
1 2
当x∈(0，x)时，由于x0，又a>0，得
1 1 2 1 2
F(x)=a(x－x)(x－x)>0，
1 2
即x0，1+a(x－x)=1+ax－ax>1－ax>0．
1 2 2 2
得 x－f(x)>0．
1
由此得f(x)
