1997 年河南高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120
分钟．
第Ⅰ卷（选择题共65分）
一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共
65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
王新奎新疆屯敞
1．设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N= ( )
(A) (B)
(C) (D)
2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= ( )
(A) －3 (B) －6 (C) (D)
3．函数y=tg( )在一个周期内的图像是 ( )
4．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC= ,BC=2,则以BC为棱，以面
BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( )
(A) arccos (B) arccos (C) (D)
5．函数y=sin( )+cos2 的最小正周期是 ( )
(A) (B) (C) (D)
6．满足arccos(1－x) arccosx的x的取值范围是 ( )
(A) [－1,－ ] (B) [－ ,0] (C) [0, ] (D) [ ,1]
7．将y=2x的图像 ( )
(A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位(C) 先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log(x+1)的图像．
2
8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，
这个球的表面积是 ( )
(A) 20 (B) 25 (C) 50 (D) 200
9．曲线的参数方程是 (t是参数，t 0),它的普通方程是 ( )
(A) (x－1)2(y－1)=1 (B) y=
(C) (D)
10．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ( )
(A) 2 (B) 0 (C) (D) 6
11．椭圆C与椭圆 关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
12．圆台上、下底面积分别为 、 ,侧面积为 ,这个圆台的体积是 ( )
(A) (B) (C) (D)
13．定义在区间 的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[ ）的图
像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)；
③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)，
其中成立的是 ( )
(A) ①与④ (B) ②与③ (C) ①与③ (D) ②与④
14．不等式组 的解集是 ( )
(A) (B)(C) (D)
15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
( )
(A) 150种 (B) 147种 (C) 144种 (D) 141种
第Ⅱ卷 (非选择题共85分)
二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．
16．已知 的展开式中 的系数为 ,常数a的值为________
王新奎新疆屯敞
17．已知直线的极坐标方程为 sin( )= ,则极点到该直线的距离是_____
王新奎新疆屯敞
18． 的值为_______
王新奎新疆屯敞
19．已知m,l是直线， 、 是平面，给出下列命题：
①若l垂直于 内的两条相交直线，则l ；
②若l平行于 ,则l平行于 内的所有直线；
③若 , ,且 ,则 ；
④若 ,且 ,则 ；
⑤若 , ,且 ∥ ,则 ∥ ．
王新奎新疆屯敞
其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号 填上)
都
三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．(本小题满分10分)
已知复数 , ．复数 , 在复数平面上所对应的点分别为
P,Q．证明 是等腰直角三角形（其中 为原点）．
21．(本小题满分11分)
已知数列 , 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且 ，．设 ,S为数列 的前n项和．求 ．
n
22．（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车 （以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
每小时的运输成本
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
I．把 y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定
全程运输成本
义域；
II．为了使 最小，汽车应以多大速度行驶？
全程运输成本
23．（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是
1 1 1 1
BB、CD的中点．
1
I．证明AD DF；
1
II．求AE与DF所成的角；
1
III．证明面AED 面AFD；
1 1
IV．设AA=2,求三棱锥F-AED的体积
1 1 1
24．(本小题满分12分)
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x,x满足0<x<x< ．
1 2 1 2
I．当x (0, x)时，证明x<f (x)<x；
1 1
II．设函数f(x)的图像关于直线x=x对称，证明x< 25．
0 0
(25)（本小题满分12分）
设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满
足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．1997年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．
1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B 10．B
11．A 12．D 13．C 14．C 15．D
二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．
16．4 17． 18． 19．①，④
注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．
三．解答题
20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，
考查运算能力和逻辑推理能力．
解法一：
于是
因为OP与OQ的夹角为 ，所以OP⊥OQ．因为 ，所以
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二:
因为 ，所以 ．
因为 ，所以
于是
由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能
力和运算能力．满分11分．
解:
．
分两种情况讨论．
(Ⅰ)p>1．
∵
==p．
(Ⅱ)p<1．
∵ 0<q<p<1，
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查
综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有
当且仅当 ．即 时上式中等号成立
若 ，则当 时，全程运输成本y最小，
若 ，则当 时，有=
因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，
所以 ，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当 时行驶速度应为 ；当
时行驶速度应为v=c．
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推
理能力和空间想象能力，满分12分．
解:(Ⅰ)∵AC是正方体，
1
∴AD⊥面DC．
1
又DF 面DC，
1 1
∴AD⊥DF．
1
(Ⅱ)取AB中点G，连结AG，FG．因为F是CD的中点，所
1
以GF、AD平行且相等，又AD、AD平行且相等，所以GF、AD平行且相等，故GFDA是平
1 1 1 1 1 1
行四边形，AG∥DF．
1 1
设AG与AE相交于点H，则∠AHA是AE与DF所成的角，因为E是BB的中点，所以
1 1 1 1
Rt△AAG≌Rt△ABE，∠GAA=∠GAH，从而∠AHA=90°，即直线AE与DF所成角为直角．
1 1 1 1
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥DF，由(Ⅱ)知AE⊥DF，又AD∩AE=A，所以DF⊥面AED．又因为
1 1 1
DF 面AFD，所以面AED⊥面AFD．
1 1 1 1 1
(Ⅳ)连结GE，GD．
1
∵FG∥AD，∴FG∥面AED，
1 1 1 1
∴
∵AA=2，
1
∴
正方形ABB1A1(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数
学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x，x是方程f(x)－x=0的根，所以
1 2
F(x)=a(x－x)(x－x)．
1 2
当x∈(0，x)时，由于x<x，得(x－x)(x－x)>0，又a>0，得
1 1 2 1 2
F(x)=a(x－x)(x－x)>0，
1 2
即x<f(x)．
因为
所以x－x>0，1+a(x－x)=1+ax－ax>1－ax>0．
1 2 2 2
得 x－f(x)>0．
1
由此得f(x)<x．
1
(Ⅱ)依题意知
因为x，x是方程f(x)－x=0的根，即x，x是方程ax2+(b－1)x+c=0的根．
1 2 1 2
∴ ，
因为ax<1，所以 ．
2
(25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程
的能力．满分12分．
解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│，
│a│．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为 ，
故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．
从而得2b2－a2=1．
又点P(a，b)到直线x－2y=0的距离为
，
所以5d2=│a－2b│2
=a2+4b2－4ab
≥a2+4b2－2(a2+b2)
=2b2－a2=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得
或
由于r2=2b2知 ．
于是，所求圆的方程是
(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2．
解法二:同解法一，得
∴
得 ①
将a2=2b2－1代入①式，整理得
②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
△=8(5d2－1)≥0，
得 5d2≥1．
∴5d2有最小值1，从而d有最小值 ．
将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．
将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．
综上a=±1，b=±1，r2=2．
由 =1知a，b同号．
于是，所求圆的方程是(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2．
