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1998 年宁夏高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5
分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的
王新奎新疆屯敞
(1) sin600º ( )
(A) (B) － (C) (D) －
(2) 函数y=a|x|(a＞1)的图像是 ( )
(3) 已知直线x=a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2=4相切，那么a的值是 ( )
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
(4) 两条直线Ax＋By＋C=0，Ax＋By＋C=0垂直的充要条件是 ( )
1 1 1 2 2 2
(A) AA＋BB=0 (B) AA－BB=0 (C) (D)
1 2 1 2 1 2 1 2
(5) 函数f(x)= ( x≠0)的反函数f－1(x)= ( )
(A) x(x≠0) (B) (x≠0) (C) －x(x≠0) (D) － (x≠0)
(6) 已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )
(A) ( )∪( ) (B) ( )∪( )
(C) ( )∪( ) (D) ( )∪( )
(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 (
)
(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º
(8) 复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 ( )(A) I (B) － I (C) ± I (D) ± i
(9) 如果棱台的两底面积是S，S′，中截面的面积是S，那么 ( )
0
(A) 2 (B) S=
0
(C) 2S=S＋S′ (D)
0
(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．
不同的分配方法共 ( )
(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种
(11) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图
所示，那么水瓶的形状是 ( )
(12) 椭圆 =1的焦点为F，点P在椭圆上，如果线段PF的中点M在y轴上，那么
1 1
点M的纵坐标是 ( )
(A) ± (B) ± (C) ± (D) ±
(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为 ，经过这3个点的小
圆的周长为4π，那么这个球的半径为 ( )
(A) 4 (B)2 (C) 2 (D)
(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(15) 等比数列{a}的公比为－ ，前n项的和S满足 S= ，那么 的值为 ( )
n n n
(A) (B)± (C) (D)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
(16) 设圆过双曲线 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲
线中心距离是__________
王新奎新疆屯敞
(17) (x＋2)10(x2－1)的展开的x10系数为____________（用数字作答）
王新奎新疆屯敞
(18) 如图，在直四棱柱 ABCD－ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件
1 1 1 1
____________时，有AC⊥BD．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必
1 1 1
考试所有可能的情形)
王新奎新疆屯敞
(19) 关于函数f (x)=4sin(2x＋ )(x∈R)，有下列命题
①y=f (x)的表达式可改写为y=4cos(2x－ )；②y=f (x)是以2π为最小正周期的周期
函数；
③y=f (x)的图像关于点 对称； ④y=f (x)的图像关于直线x=－ 对称．
其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．)
王新奎新疆屯敞
三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(20) (本小题满分10分)
设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．
21) (本小题满分11分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C= ，求sinB的值．
以下公式供解题时参考：
， ，
， ．
(22) (本小题满分12分)
如图，直线l和l相交于点M，l ⊥l，点N∈l．以A、B
1 2 1 2 1为端点的曲线段C上的任一点到l的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|
2
AM|= ，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．
(23) (本小题满分12分)
已知斜三棱柱ABC－A B C的侧面A ACC与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2
1 1 1 1 1
，且AA ⊥AC，AA= A C．
1 1 1 1 1
(Ⅰ)求侧棱AA与底面ABC所成角的大小；
1
(Ⅱ)求侧面A ABB 与底面ABC所成二面角的大小；
1 1
(Ⅲ)求侧棱BB和侧面A ACC的距离．
1 1 1
(24) (本小题满分12分)
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱．污水
从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中
该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多
少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．
(25) (本小题满分12分)
已知数列{b}是等差数列，b=1，b＋b＋…＋b=100．
n 1 1 2 10
(Ⅰ)求数列{b}的能项b；
n n
(Ⅱ)设数列{a}的通项a =lg(1＋ )，记S是数列{a}的前n项的和．试比较S与
n n n n n
lgb 的大小，并证明你的结论．
n+1
1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文史类)参考解答及评分标准
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)
题每小题5分．满分65分．
(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D(9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
(16) (17) －5120
(18) AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等
(19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．
三．解答题：
（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．
解：将原不等式化为
(a2－b2)x+b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2，
移项，整理后得 (a－b)2(x2－x) ≤0，
∵ a≠b 即 (a－b)2＞0，
∴ x2－x≤0，
即 x(x－1) ≤0．
解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}．
(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利
用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．
解：由正弦定理和已知条件a＋c=2b得
sinA＋sinC=2sinB．
由和差化积公式得 ．
由A＋B＋C=π，得 = ，
又A－C= ，得 cos =sinB，
∴ cos =2sin cos ．
∵ 0＜ ＜ ， ≠0，
∴sin = ，
从而cos = =∴ sinB= =
(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基
本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分 12
分．
解法一：如图建立坐标系，以l为x轴，MN的垂直平分
1
线为y轴，点O为坐标原点．
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l为准线的抛线
2
段的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为
y=2px (p＞0)，(x≤x≤x，y＞0)，其中x，x分别为
2 A B A B
A，B的横坐标，P=|MN|．
所以 M (－ ，0)，N ( ，0)．
由 |AM|= ，|AN|=3得
(x＋ )2＋2Px=17， ①
A A
(x－ )2＋2Px=9． ②
A A
由①、②两式联立解得x= ，再将其代入①式并由p＞0解得
A
或 ．
因为△AMN是锐角三角形，所以 ＞x，故舍去 ．
A
∴ P=4，x=1．
A
由点B在曲线段C上，得x=|BN|－ =4．
B
综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
解法二：如图建立坐标系，分别以l、l为x、y轴，M为坐标原点．
1 2
作AE⊥l，AD⊥l，BF⊥l，垂足分别为E、D、F．
1 2 2
设 A (x，y)、B (x，y)、N (x，0)．
A A B B N
依题意有
x=|ME|=|DA|=|AN|=3，
Ay=|DM|= =2 ，由于△AMN为锐角三角形，故有
A
x=|AE|+|EN|=4．
N
=|ME|+ =4
X=|BF|=|BN|=6．
B
设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
{(x，y)|(x－x)2+y2=x2，x≤x≤x，y＞0}．
N A B
故曲线段C的方程
y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．
(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性
质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．
注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．
解：(Ⅰ)作AD⊥AC，垂足为D，由面AACC⊥面ABC，
1 1 1
得AD⊥面ABC，
1
∴ ∠AAD为AA与面ABC所成的角．
1 1
∵ AA⊥AC，AA=AC，
1 1 1 1
∴ ∠AAD=45º为所求．
1
(Ⅱ)作DE⊥AB，垂足为E，连AE，则由AD⊥面ABC，得AE⊥AB．
1 1 1
∴∠AED是面AABB与面ABC所成二面角的平面角．
1 1 1
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=2 ，
∴ DE=1，AD=AD= ，tgAED= = ．
1 1
故∠AED=60º为所求．
1
(Ⅲ) 作BF⊥AC，F为垂足，由面AACC⊥面ABC，知BF⊥面AACC．
1 1 1 1
∵ BB∥面AACC，
1 1 1
∴ BF的长是BB和面AACC的距离．
1 1 1
在Rt△ABC中， ，
∴ 为所求．
(24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考
查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y= ，其中k＞0为比例系数，依题
意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)，
得 (0＜a＜30＝， ①
于是
当a＋2= 时取等号，y达最小值．
这时a=6，a=－10(舍去)．
将a=6代入①式得b=3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知 4a＋2ab＋2a=60 (a＞0，b＞0)
即 a＋2b＋ab=30 (a＞0，b＞0)．
∵ a＋2b≥2 ，
∴ 2 ＋ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18．
∴ 2b2=18．解得b=3，a=6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归
纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．
解：(Ⅰ)设数列工{b}的公差为d，由题意得
n
b=1，
1
10b＋ =100．
1
解得 b=1，
1
d=2．
∴ b=2n－1．
n
(Ⅱ)由b=2n－1，知
n
S=lg(1＋1)＋lg(1＋ )＋…＋lg(1＋ )
n
=lg[(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )]，
lgb =lg ．
n＋1
因此要比较S与 lgb 的大小，可先比较(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )与
n n＋1
的大小．
取n=1有(1＋1)＞ ，
取n=2有(1＋1)(1＋ )>
由此推测(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )＞ ． ①
若①式成立，则由对数函数性质可判定：
S＞ lgb ．
n n＋1
下面用数学归纳法证明①式．
(i)当n=1时已验证①式成立．
(ii)假设当n=k (k≥1)时，①式成立，即
(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )＞ ，
那么，当n=k＋1时，
(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )(1＋ )＞ (1＋ )
= (2k＋2)．
∵ [ (2k＋2)]2－[ ]2
=
= ＞0，
∴ (2k＋2) ＞ = ．
因而 (1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )(1＋ )＞ ．
这就是说①式当n=k＋1时也成立．
由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S> lgb ．
n n＋1
