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2002 年西藏高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至
9页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．圆 的圆心到直线 的距离是
A． B． C．1 D．
2．复数 的值是
A． B． C． D．1
3．不等式 的解集是
A． B． 且
C． D． 且
4．在 内，使 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
5．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
6．点 到曲线 （其中参数 ）上的点的最短距离为
A．0 B．1 C． D．2
7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆
锥轴截面顶角的余弦值是
A． B． C． D．
8．正六棱柱 的底面边长为1，侧棱长为 ，则这个棱柱侧面
对角线 与 所成的角是
A． B． C． D．
9．函数 （ ）是单调函数的充要条件是A． B． C． D．
10．函数 的图象是
y y y y
1 1 1
1
O 1 x O 1 x -1 O x -1 O x
(D)
(A) (B) (C)
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到
95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生
产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为
A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
13．函数 在 上的最大值与最小值这和为3，则 ＝
14．椭圆 的一个焦点是 ，那么
15． 展开式中 的系数是
16．已知 ，那么 ＝
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 ， ，求 、 的值
王新奎新疆屯敞
18．如图，正方形 、 的边长都是1，而且平面 、 互相垂直点 在
王新奎新疆屯敞
上移动，点 在 上移动，若 （ ）
C
（1）求 的长；
（2） 为何值时， 的长最小； D
P
（3）当 的长最小时，求面 与面 所成二面角 的大小
M
王新奎新疆屯敞
Q
B
19．设点 到点 、 距离之差为 ，到 、 轴的 E
距离之比为2，求 的取值范围 N
王新奎新疆屯敞
A F
20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废
上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车
王新奎新疆屯敞
保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
21．设 为实数，函数 ，（1）讨论 的奇偶性；
（2）求 的最小值
王新奎新疆屯敞
22．设数列 满足： ，
（I）当 时，求 并由此猜测 的一个通项公式；
（II）当 时，证明对所的 ，有
（i）
（ii）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D C B B C B A B B C
二、填空题
（13）2 （14）1 （15）1008 （16）
三、解答题
（17）解：由 ，得
∵
∴ ，
∴ ，即
∴
∴
（18）解（I）作 ∥ 交 于点 ， ∥ 交 于点 ，连结 ，依题意可得
∥ ，且 ，即 是平行四边形
王新奎新疆屯敞
∴
由已知 ，
∴ ，
（II）由（I）所以，当 时，
即当 、 分别为 、 的中点时， 的长最小，最小值为
（III）取 的中点 ，连结 、 ，
∵ ， 为 的中点
∴ ，即 即为二面角的平面角
又 ，所以，由余弦定理有
故所求二面角为
（19）解：设点 的坐标为 ，依题设得 ，即 ，
因此，点 、 、 三点不共线，得
∵
∴
因此，点 在以 、 为焦点，实轴长为 的双曲线上，故
将 代入 ，并解得
，因
所以
解得
即 的取值范围为
（20）解：设2001年末汽车保有量为 万辆，以后各年末汽车保有量依次为 万辆，
万辆，…，每年新增汽车 万辆，则
，
对于 ，有所以
当 ，即 时
王新奎新疆屯敞
当 ，即 时
数列 逐项增加，可以任意靠近
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即
（ ）
则 ，即 万辆
综上，每年新增汽车不应超过 万辆
王新奎新疆屯敞
（21）解：（I）当 时，函数
此时， 为偶函数
当 时， ， ，
，
此时 既不是奇函数，也不是偶函数
（II）（i）当 时，
当 ，则函数 在 上单调递减，从而函数 在 上的最小值为
．
若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 ．
（ii）当 时，函数若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且
若 ，则函数 在 上单调递增，从而函数 在 上的最小值为
．
综上，当 时，函数 的最小值为
当 时，函数 的最小值为
当 时，函数 的最小值为 ．
（22）解（I）由 ，得
由 ，得
由 ，得
由此猜想 的一个通项公式： （ ）
（II）（i）用数学归纳法证明：
①当 时， ，不等式成立．
②假设当 时不等式成立，即 ，那么
．
也就是说，当 时，
据①和②，对于所有 ，有 ．
（ii）由 及（i），对 ，有
……
于是 ，
