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2005 年西藏高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
S=4
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径，
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
V= ，
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
P(k)=C Pk(1－P)n－k
其中R表示球的半径
n
一、选择题：
（1）已知 为第三象限角，则 所在的象限是
（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限
（2）已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为
（A）0 （B）-8 （C）2 （D）10
（3）在 的展开式中 的系数是
（A）-14 （B）14 （C）-28 （D）28
(4)设三棱柱ABC-ABC 的体积为V，P、Q分别是侧棱AA 、CC 上的点，且PA=QC ，则四棱
1 1 1 1 1 1
锥B-APQC的体积为
（A） （B） （C） （D）
（5）
(A) (B) (C) (D)
(6)若 ,则
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c
(7)设 ,且 ,则
(A) (B) (C) (D)
(8)
(A) (B) (C) 1 (D)（9）已知双曲线 的焦点为F 、F ，点M在双曲线上且 则点M
1 2
到x轴的距离为
（A） （B） （C） （D）
（10）设椭圆的两个焦点分别为F 、F ，过F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FPF
1、 2 2 1 2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（A） （B） （C） （D）
（11）不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有
（A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个
（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计
数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16 进 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
制
10 进 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
制
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=
（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0
第Ⅱ卷
二．填空题（16分）
（13）已知复数 ,复数Z满足Z=3Z+ ,则复数Z=_________________
（14）已知向量 ，且A、B、C三点共线，则k=
（ 15 ） 高 为 平 面 上 过 (0,1) 的 直 线 , 的 斜 率 等 可 能 地 取
,用 表示坐标原点到 的距离,由随机变量 的数学期
望E =___________
（16）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距
离乘积的最大值是
三.解答题：
(17) (本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需
要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为
0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
（18）(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面
V
VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
D C
A
B（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
(19)在 ,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列，且cosB= .
①求cotA+cotB的值。
②设 ，求a + c 的值。
（20）(本小题满分12分)
在等差数列
已知数列 成等比数列,求数列 的通项
(21) (本小题满分14分)
设 两点在抛物线 上， 是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当 时，求直线 的方程.
（22）已知函数
①求 的单调区间和值域。
②设 ,函数 ,若对于任意 ，总存在
，使得 成立，求a的取值范围。
参考答案
一.DBBCA，CCBCD，BA
二.13、 ，14、 ，15、 ，16、3
三.解答题：
（17）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分
则A、B、C相互独立，
由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05
P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴ 相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
……………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 ……12分
（18）证明：（Ⅰ）作 AD的中点O，则VO⊥底
Z
面ABCD．…………………………1分
V
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为
D
1，…………………………2分 C
O
则A（ ，0，0），B（ ，1，0），C（- ， A Y
B
X
1，0），D（- ，0，0），V（0，0， ），
∴ ………………………………3分
由 ……………………………………4分
……………………………………5分
又AB∩AV=A
∴AB⊥平面VAD…………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 是面VAD的法向量………………………………7分
设 是面VDB的法向量，则
……9分
∴ ，……………………………………11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为 …………12分
（19）（I）由cosB= 得 ，
于是
=
(II)由 得
由余弦定理 得
a+c=3
（20）解：由题意得： ……………………………………………………1分
即 ……………………………………………………………3分
又 ∴ …………………………………………………………………………4分
又 成等比数列,
∴该数列的公比为 ，……………………………………………………6分
所以 …………………………………………………………………………8分
又 …………………………………………………………10分
∴
所以数列 的通项为 …………………………………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）∵抛物线 ，即 ，∴ ，
∴焦点为 ………………………………………………………………1分
（1）直线 的斜率不存在时，显然有 =0………………………………3分
（2）直线 的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线 ：y=kx+b由已知得：
……………………………………………………5分
………………………………………………7分
即 的斜率存在时，不可能经过焦点 ……………………………………8分
所以当且仅当 =0时，直线 经过抛物线的焦点F…………………………9分
（Ⅱ）当 时，
直线 的斜率显然存在，设为 ：y=kx+b………………………………10分
则由（Ⅰ）得：
………………………………………………11分………………………………………………………………13分
所以直线 的方程为 ，即 ………………14分
(22)解：(I)对函数 求导，得
令 解得 或
当x变化时。 ， 的变化情况如下表：
x 0 1
(0, ) ()
_ 0 +
-4 -3
所以，当 时， 是减函数；当 时， 是增函数。
当 时， 的值域为[-4，-3]。
（II）对函数 求导，得图表 1
时，
因此当 时。 为减函数，从而当 时有
又 ,即当 时有
任给 ， ，存在 ，使得 ，则
即 解得又 ，所以a 的取值范围为
