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2004 年北京高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共
150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c’，c分别表示上、下底面周长， 表示斜高或母线长
球体的表面积公式
其中R表示球的半径
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
（1）设全集是实数集R， ， ，则 等于
A. B.
C. D.
（2）满足条件 的复数z在复平面上对应点的轨迹是
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
（3）设m、n是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ，则
②若 ， ， ，则
③若 ， ，则
④若 ， ，则
其中正确命题的序号是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④（4）如图，在正方体 中，P是侧面 内一动点，若P到直线BC与直线
的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（5）函数 在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是
A. B. C. D.
（6）已知a、b、c满足 ，且 ，那么下列选项中一定成立的是
A. B. C. D.
（7）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种。在这些取法中，以
取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则 等于
A. B. C. D.
（ 8 ） 函 数 ， 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 又 规 定
， ，给出下列四个判断：
①若 ，则
②若 ，则
③若 ，则
④若 ，则
其中正确判断有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题 共110分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）函数 的最小正周期是___________
（10）方程 的解是___________________
（11）某地球仪上北纬 纬线的长度为 ，该地球仪的半径是__________cm，表面积是
______________cm2
（12）曲线 C： （ 为参数）的普通方程是__________，如果曲线 C 与直线
有公共点，那么实数a的取值范围是_______________--
（13）在函数 中，若 a，b，c 成等比数列且 ，则 有最
______________值（填“大”或“小”），且该值为______________（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个
数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为______________，这个数列的前n项
和 的计算公式为________________
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分13分）
在 中， ， ， ，求 的值和 的面积
（16）（本小题满分14分）
如图，在正三棱柱 中，AB＝3， ，M为 的中点，P是BC上一点，且由P沿棱
柱侧面经过棱 到M的最短路线长为 ，设这条最短路线与 的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC和NC的长
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
（17）（本小题满分14分）
如图，过抛物线 上一定点P（ ）（ ），作两条直线分别交抛物线于A（
），B（ ）
（I）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数（18）（本小题满分14分）
函数 是定义在［0，1］上的增函数，满足 且 ，在每个区间 （
1，2……）上， 的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
（I）求 及 ， 的值，并归纳出 的表达式
（II）设直线 ， ，x轴及 的图象围成的矩形的面积为 （ 1，2……），记
，求 的表达式，并写出其定义域和最小值
（19）（本小题满分12分）
某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整
从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点
发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度 匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表
上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求 的取值范围
（20）（本小题满分13分）
给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，
每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差 与所有可能的其他选择
相比是最小的， 称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 ；
如此继续构成第三组（余差为 ）、第四组（余差为 ）、……，直至第N组（余差为 ）把这些数全部
分完为止。
（I）判断 的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
（II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与 的大小关系，并证明
（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案
一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
（1）A （2）C （3）A （4）D
（5）D （6）C （7）B （8）B
二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
（9） （10）
（11）
（12）
（13）大 -3
（14）3 当n为偶数时， ；当n为奇数时，
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。满分13分。
解法一：
又
解法二：
（1）
（2）
（1）+（2）得：
（1）－（2）得：（以下同解法一）
（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力
和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱 的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4的矩形，其对角线长为
（II）如图1，将侧面 绕棱 旋转 使其与侧成 在同一平面上，点P运动到点
的位置，连接 ，则 就是由点P沿棱柱侧面经过棱 到点M的最短路线
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得
求得
（III）如图2，连结 ，则 就是平面NMP与平面ABC的交线，作 于H，又 平面
ABC，连结CH，由三垂线定理得，
就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
在 中，在 中，
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为
（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能
力。满分14分
解：（I）当 时，
又抛物线 的准线方程为
由抛物线定义得，所求距离为
（2）设直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为
由 ，
相减得
故
同理可得
由PA，PB倾斜角互补知
即
所以
故
设直线AB的斜率为
由 ，相减得
所以
将 代入得
，所以 是非零常数
（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分。
解：（I）由 ，得
由 及 ，得
同理，
归纳得
（II）当 时
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列
所以
的定义域为 1，当 时取得最小值
（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12
分。
解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是
和
（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
（*）
当 时，（*）式变形为解得
当 时，（*）式变形为
解得
当 时，（*）式变形为
解得
综上所述， 的取值范围是[39， ]
（20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
满分13分。
解：（I） 。除第N组外的每组至少含有 个数
（II）当第n组形成后，因为 ，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差 ，余下数
之和也大于第n组的余差 ，即
由此可得
因为 ，所以
（III）用反证法证明结论，假设 ，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，
余下的每个数都大于第11组的余差 ，且
故余下的每个数 （*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于
此时第11组的余差
这与（*）式中 矛盾，所以
