2006年天津高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_天津

2006 年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时120
分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规
定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件 互斥，那么
A，B P(AB) P(A)P(B)
如果事件 相互独立，那么
A，B P(A· B) P(A·) P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的
概率
P (k)CkPk(1P)nk
n n
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合Ax|3≤x≤1，B   x ≤2 ，则 A B  （ ）

Ａ．x|2≤x≤1 Ｂ．x|0≤x≤1
Ｃ．x|3≤x≤2 Ｄ．x|1≤x≤2
2．设a 是等差数列，
a a a 9
，
a 9
，则这个数列的前6项和等于（ ）
n 1 3 5 6
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
y≤x

3．设变量x，y满足约束条件 x y≥2 ，则目标函数Z 2x y的最小值为（ ）
 y≥3x6

Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．9
4．设 ， ， ，则（ ）
P log 3 Qlog 2 R log (log 2)
2 3 2 3
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
RQ P P RQ Q R P R PQ5．设  π π，那么“ ”是“ ”的（ ）
，   ，   tantan
 2 2
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
6．函数 的反函数是（ ）
y  x2 11(x0)
Ａ． Ｂ．
y  x2 2x(x0) y  x2 2x(x0)
Ｃ． Ｄ．
y  x2 2x(x2) y  x2 2x(x2)
7．若 为一条直线， 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
l ，，
① ；② ；③ ．
， ，∥ l∥，l 
其中正确的命题有（ ）
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
8．椭圆的中心为点 ，它的一个焦点为 ，相应于焦点 的准线方程为
E(1，0) F(3，0) F
7
x ，则这个椭圆的方程是（ ）
2
Ａ．2(x1)2 2y2 Ｂ．2(x1)2 2y2
 1  1
21 3 21 3
Ｃ．(x1)2 Ｄ．(x1)2
 y2 1  y2 1
5 5
9．已知函数 （ 为常数， ）的图象关于直线
f(x)asinxbcosx a，b a 0，xR
π 3π
x 对称，则函数y  f( x)是（ ）
4 4
Ａ．偶函数且它的图象关于点 对称
(π，0)
B．偶函数且它的图象关于点3π 对称

，0

 2 
Ｃ．奇函数且它的图象关于点3π 对称

，0

 2 
Ｄ．奇函数且它的图象关于点 对称
(π，0)
10．如果函数
f(x)ax(ax 3a2 1)(a 0且a 1)
在区间0，∞上是增函数，那么实
数a的取值范围是（ ） 2  3   3 
Ａ．  0，  Ｂ．  ，1  Ｃ． 1，3  Ｄ．  ，∞ 
 3  3  2 
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
题号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
得分
得分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中
横线上．
7
 1 
11．
x
的二项展开式中x的系数是 （用数字作答）．
 
 x 
12．设向量与 的夹角为 ， ，   ，则 ．
a b  a (3，3) 2ba (1，1) cos
13．如图，在正三棱柱 中， ．若二面角
ABCABC AB1 A C
1 1 1
1 1
B
的大小为 ，则点 到直线 的距离为 ．
CABC 60 C AB 1
1 1
A
C
14．若半径为1的圆分别与 轴的正半轴和射线 3 相
y y  x(x≥0)
B
3
切，则这个圆的方程为 ．
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存
储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨．
16．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有
个（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得分 评卷人 17．（本小题满分12分）
已知 5 ， π π．求 和 π 的值．
tancot   ，  cos2 sin(2 )
2 4 2 4得分 评卷人 18．（本小题满分12分）
甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 0.9，乙机床产品
的正品率是0.95．
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数
字作答）．
得分 评卷人 19．（本小题满分12分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角
1
形，棱EF ∥ BC．
2 F E
（Ⅰ）证明FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设 ，证明 平面 ．
BC  3CD EO CDF A
D
O
B C
得分 评卷人 20．（本小题满分12分）
1 π
已知函数 f(x)4x33x2cos ，其中xR ，为参数，且0≤≤ ．
32 2
（Ⅰ）当 时，判断函数 是否有极值；
cos0 f(x)
（Ⅱ）要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；
f(x) 
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间 内都
 f(x) (2a1，a)
是增函数，求实数a的取值范围．
得分 评卷人 21．（本小题满分14分）
x x
已知数列x 满足 x  x 1 ，并且 n1  n （  为非零参数， n2，3，4，… ）．
n 1 2 x x
n n1
（Ⅰ）若 成等比数列，求参数 的值；
x，x，x 
1 3 5x x x k
（Ⅱ）设 01 ，常数 kN 且 k≥3 ．证明 1k  2k …  nk  (nN) ．
x x x 1k
1 2 n
得分 评卷人 22．（本小题满分14分）
y
如图，
Ｅ
双曲线 l
x2 y2 C
 1(a 0，b0) M B
a2 b2 F F
O A x
1 2
的离心率为 5 ． 分
F，F
1 2 D
2
别为左、右焦点， M 为左准
  1
线与渐近线在第二象限内的交点，且FM· F M  ．
1 2 4
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设 和  1  是 轴上的两点，过点 作斜率不为0的直线 ，
A(m，0) B  ，0  (0m1) x A l
m 
使得l交双曲线于C，D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE 垂
2006年天津高考文科数学真题参考答案
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C
（6）D （7）C （8）D （9）D （10）B
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
（11）35 （12）3 10 （13）
3
10
（14） （15）20 （16）24
(x1)2 (y 3)2 1
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C D C D D B
（1）已知集合 A{x|3 x1},B {x| x 2} = {x|2≤x≤2} ，
y
C
则
A B
＝x|2 x1，选A.

B
O x
A（2）a 是等差数列，
a a a 3a 9,a 3,a 9.
∴
d 2,a 1
，则这个
n 1 3 5 3 3 6 1
6(a a )
数列的前6项和等于 1 6 24，选B.
2
y x

（3）设变量x、 y满足约束条件 x y2 ,在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，

y3x6

B(1，1)，C(3，3)，则目标函数 的最小值为3，选B.
z 2x y
（4） 则 ，选A.
P log 31,0Qlog 21,Rlog (log 2)0, RQ P
2 3 2 3
   
（5）在开区间( , )中，函数 y tanx为单调增函数，所以设,( , ),那么
2 2 2 2
是 的充分必要条件，选C.
"" "tantan"
（6）由函数 解得 (y>2)，所以原函
y  x2 11(x0) x (y1)2 1 y2 2y
数的反函数是 ，选D.
y  x2 2x(x2)
（7）若 为一条直线， 、 、 为三个互不重合的平面，下面三个命题：
l   
① 不 正 确 ； ② 正 确 ； ③
,; ,∥;
正确，所以正确的命题有2个，选C.
l//,l .
（8）椭圆的中心为点 它的一个焦点为 ∴ 半焦距 ，相应于焦点F
E(1,0), F(3,0), c2
的 准 线 方 程 为 7 ∴ a2 5 ， ， 则 这 个 椭 圆 的 方 程 是
x .  a2 5,b2 1
2 c 2
(x1)2 ，选D.
 y2 1
5
（ 9 ） 已 知 函 数 、 为 常 数 , ， ∴
f(x)asinxbcosx (a b a 0,xR)

f(x) a2 b2 sin(x)的周期为2π，若函数的图象关于直线 x 对称，不妨设
4
 3 3 
f(x)sin(x )，则函数 y  f( x)=sin( x )sin(x)sinx，所以
4 4 4 4
3
y  f( x)是奇函数且它的图象关于点(,0)对称，选D.
4
（10）函数y 且 可以看作是关于 的二次函数，若a>1，则
ax(ax 3a2 1)(a 0 a 1) ax是增函数，原函数在区间 上是增函数，则要求对称轴3a2 1≤0，矛盾；
y ax [0,)
2
若 0<a<1，则 是减函数，原函数在区间 上是增函数，则要求当
y ax [0,) t ax
(0<t<1)时， 在 t∈(0，1)上为减函数，即对称轴 3a2 1≥1，∴
y t2 (3a2 1)t
2
1，∴实数 的取值范围是 3 ，选B.
a2≥ a [ ,1)
3 3
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
（11）35 （12）3 10 （13） （14）
3 (x1)2 (y 3)2 1
10
（15）20 （16）24
1 1
（11） 的二项式展开式中 项为 ，x项的系数是35.
(x )7 x C3(x)3( )4 35x
7
x x
（12）设向量 与 的夹角为 且    ∴  ，则
a b , a (3,3),2ba (1,1), b(1,2) A 1 C 1
 
ab 9 3 10 。 B 1
cos  
 
|a||b| 3 2 5 10
（13）如图，在正三棱柱 中， 若二面角 的大 A
ABCABC AB1. CABC C
1 1 1 1
B
小为 ，过C作CD⊥AB，D为垂足，连接CD，则CD⊥AB，∠CDC=60°，CD=
60o 1 1 1
3 ，则CD= ，所以点C 到直线 的距离为 。
1 3 1 AB 3
2
（14）若半径为1的圆分别与 轴的正半轴和射线 3 相切，则圆心在直线
y
y  x(x0)
3
y= x 上 ， 且 圆 心 的 横 坐 标 为 1 ， 所 以 纵 坐 标 为 ， 这 个 圆 的 方 程 为
3 3
。
(x1)2 (y 3)2 1
400
（15）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为4
x
400
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 44x万
x
400 1600
元， 44x≥160，当 4x即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最
x x小。
（16）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2相邻的偶数。可
以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个
数字，共可以组成 个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数
2A3 12
3
字排列，且0不是首位数字，则有 个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为
2A2 4
2
一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有 =8个
2(2A2)
2
五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
三．解答题
（17）本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算
能力。满分12分。
5 sin cos 5
解法一：由tancot ,得   ,则
2 cos sin 2
2 5 4
 ,sin2 .
sin 2 5
  
因为( , ),所以2( ,),
4 2 2
3
cos2 1sin22 ,
5
  
sin(2 )sin2.cos cos2.sin
4 4 4
4 2 3 2 2
     .
5 2 5 2 10
5
解法二：由tancot ,得
2
1 5
tan  ,
tan 2
1   1
解得tan2或tan .由已知( , ),故舍去tan ,得
2 4 2 2
tan2.
因此， 2 5 5 那么
sin ,cos .
5 5
3
cos2cos2sin2 ,
5
4
且sin22sincos ,故
5
  
sin(2 )sin2.cos cos2.sin
4 4 44 2 3 2 2
     .
5 2 5 2 10
（18）本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的
能力。满分12分。
（I）解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为
P(2)C20.920.10.243.
3 3
（II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产
品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
P(A.B)P(A.B)P(A.B)0.90.950.90.050.10.95
0.995.
解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为
1P(A.B)10.10.050.995.
（19）本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推
理论证能力。满分12分。
（I）证明：取CD中点M，连结OM。 F E
在矩形ABCD中，
1 1
OM∥ BC,又EF∥ BC,
2 2
A D
则 EF∥OM. 连结EM，于是
O M
四边形EFOM为平行四边形。 B C
FO∥EM.
又 FO  平面CDE，且EM 平面CDE，FO∥平面CDE。

（II）证明：连结FM。由（I）和已知条件，在等边 中，
CDE CM  DM,
且 3 1
EM CD EM  CD BC  EF.
2 2
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO FM 。
平面EOM，从而
CDOM,CD  EM,CD  CD EO.

而 所以 平面
FM CD M, EO CDF.

（20）本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综
合分析和解决问题的能力。满分12分。
1
（I）解：当cos0时 f(x)4x3 ,则 f(x)在(,)内是增函数，故无极
32
值。
（II）解： 令 得
f '(x)12x2 6xcos, f '(x)0,cos
x 0,x  .
1 2 2

由0 及（I），只需考虑cos0的情况。
2
当 变化时， 的符号及 的变化情况如下表：
x f '(x) f(x)
cos cos cos
x (,0) 0 (0, ) ( ,)
2 2 2
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
  
cos cos
因此，函数 f(x)在x 处取得极小值 f( ),且
2 2
cos 1 1
f( ) cos3 .
2 4 32
cos 1 1 1
要使 f( )0,必有 cos3 0,可得0cos ,所以
2 4 32 2
 

3 2
cos
（III）解：由（II）知，函数 f(x)在区间(,0)与( ,)内都是增函数。
2
由题设，函数 在 内是增函数，则 须满足不等式组
f(x) (2a1,a) a
2a1a
2a1a 或
  1
a0

2a1 cos
 2
  1 1
由（II），参数( , )时，0cos .要使不等式2a1 cos关于参数
3 2 2 2
1
恒成立，必有2a1 .
4
5 5
综上，解得a0或 a1.所以a的取值范围是(,0]

[ ,1).
8 8
（21）本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、
等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。
满分14分。
（I）解：由已知 且
x  x 1,
1 2
x x x x x x
3  2  x , 4  3  x 3, 5  4  x 6.
x x 3 x x 4 x x 5
2 1 3 2 4 3
若 、 、 成等比数列，则 即 而 解得
x x x x 2  x x , 2 6. 0, 1.
1 3 5 3 1 5x x
（II）证明：设 a  n1, 由已知，数列a 是以 2 1 为首项、  为公比的等比数
n x n x
n 1
x
列，故 n1 n1, 则
x
n
x x x x
nk  nk . nk1 ... n1
x x x x
n nk1 nk2 n
nk2.nk3...n1
k(k3)
kn
 2 .
因此，对任意
nN*,
x x x
1k  2k ... nk
x x x
1 2 n
k
k(k3)
2k
k(k3)
kn
k(k3)
 2  2 ... 2
k(k3)
 2 (k 2k ...nk)
k(k3) k(1nk)
 2 .
1k
k(k3)
当k 3且01时，
0 2 1,01nk 1,
所以
x x x k
1k  2k ... nk  (nN*).
x x x 1k
1 2 n
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程
的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。满分14分。
（I）解：根据题设条件，
F(c,0),F (c,0).
1 2
设点 则 、 满足
M(x,y), x y
 a2
x

 c

b

y  x.
 a
因 c 5 解得 2a 2b ，故
e  , M( , )
a 2 5 5 2a 2b 2a 2b
FM.F M ( c, ).( c, )
1 2
5 5 5 5
4 4 1
 a2 c2  b2  .
5 5 4
5 1
利用a2 b2 c2,得c2  ,于是a2 1,b2  .因此，所求双曲线方程为
4 4
x2 4y2 1.
（II）解：设点 则直线 的方程为
C(x ,y ),D(x ,y ),E(x ,y ), l
1 1 2 2 3 3
y
y  1 (xm).
x m
1
 y
 y  1 (xm) ①
于是C(x ,y )、D(x ,y )两点坐标满足  x m
1 1 2 2 1 ②

x2 4y2 1
将①代入②得
(x2 2xmm2 4y2)x2 8my2x4y2m2 x2 2mx m2 0.
1 1 1 1 1 1 1
x2 2mx m2x2
由已知，显然 m2 2xm10. 于是 x x  1 1 1 . 因为 x 0, 得
1 1 2 m2 2xm1 1
1
x 2mm2x
x  1 1.
2 m2 2xm1
1
同理， 、 两点坐标满足
C(x ,y ) E(x ,y )
1 1 3 3
 y 1
y  1 (x )
  1 m
x 

1 m

x2 4y2 1.
可解得
1 1
x 2 ( )2x
1 m m 1 m2x 2mx
x   1 1.
3 1 12xmm2
( )2 2xm1 1
m 1
所以 ，故直线DE垂直于 轴。
x  x x
2 3