文档内容
2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
数学（理科）
本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在
答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径
求的体积公式V=
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（1）已知 是实数， 是春虚数，则 =
（A）1 （B）-1 （C） （D）-
（2）已知U=R，A= ,B= ,则（A
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知 ，b都是实数，那么“ ”是“ >b”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）在 的展开式中，含 的项的系数是
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
（5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线
的交点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（6）已知 是等比数列， ，则 =
（A）16（ ） （B）16（ ）
（C） （ ） （D） （ ）
（7）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是
（A）3 （B）5 （C） （D）
（8）若 则 =
（A） （B）2 （C） （D）
（9）已知 ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,则
的最大值是
（A）1 （B）2 （C） （D）
（10）如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，若点P在平面 内运动，使得△ABP的面
积为定值，则动点P的轨迹是
（A）圆 （B）椭圆
（C）一条直线 （D）两条平行直线
2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）
第Ⅱ卷（共100分）
注意事项：
1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图,可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）已知 >0，若平面内三点 A（1，- ），B（2， ），C（3， ）共线，则
=________。
（12）已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点
若 ，则 =______________。
（13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 、b、c ，若 ，
则 _________________。
（14）如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC，
DA=AB=BC= ，则球O点体积等于___________。
（15）已知 t 为常数，函数 在区间[0，3]上的最大值为 2，则
t=__________。
（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶
性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。
（17）若 ，且当 时，恒有 ，则以 ,b为坐标点P（ ，b）
所形成的平面区域的面积等于____________。
三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（18）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF， BCF=
CEF= ,AD= ,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为 ？（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中
任意摸出1个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球
的概率是 。
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 的数学期望 。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 。并指出袋
中哪种颜色的球个数最少。
（20）（本题15分）已知曲线C是到点P（ ）和到直线 距离相等的点的轨
迹。 是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在 上）的动点；A、B在 上，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线 的方程，使得 为常数。（21）（本题15分）已知 是实数，函数 。 （Ⅱ）解：过点 作 交 的延长线于 ，连结 ．
由平面 平面 ， ，得
（Ⅰ）求函数 的单调区间； 平面 ，
从而 ．
（Ⅱ）设 为 在区间 上的最小值。 所以 为二面角 的平面角．
在 中，因为 ， ，所以 ， ．
（i）写出 的表达式；
（ii）求 的取值范围，使得 。 又因为 ，所以 ，
z
从而 ．
（22）（本题14分）已知数列 ， ， ， ．记 ． D
A
于是 ． C
．
B
x
F
因为 ，
E y
求证：当 时，
所以当 为 时，二面角 的大小为 ．
（Ⅰ） ；
方法二：如图，以点 为坐标原点，以 和 分别作为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系
（Ⅱ） ； ．
（Ⅲ） 。 设 ，
则 ， ， ， ， ．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
（Ⅰ）证明： ， ， ，
数学（理科）参考答案
所以 ， ，从而 ， ，
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 所以 平面 ．
1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 因为 平面 ，
6．C 7．D 8．B 9．C 10．B 所以平面 平面 ．
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 故 平面 ．
（Ⅱ）解：因为 ， ，
11． 12． 13． 14． 15．1 16．40 17．1
所以 ， ，从而
三、解答题
18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
满分14分．
方法一：
（Ⅰ）证明：过点 作 交 于 ，连结 ， 解得 ．
D
可得四边形 为矩形，
所以 ， ．
A
又 为矩形， C
所以 ，从而四边形 为平行四边形， G 设 与平面 垂直，
B
F
故 ． H E 则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．（Ⅰ）解：设 为 上的点，则
解得 ．
，
又因为 平面 ， ，
所以 ， 到直线 的距离为 ．
得到 ．
由题设得 ．
所以当 为 时，二面角 的大小为 ．
化简，得曲线 的方程为 ．
19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查
学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅱ）解法一：
（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为 ，则
y M
设 ，直线 ，则
l
， A
B
Q
，从而 ． x
O
得到 ．
故白球有5个． 在 中，因为
（ii）随机变量 的取值为0，1，2，3，分布列是
，
0 1 2 3
．
的数学期望
．
所以 .
（Ⅱ）证明：设袋中有 个球，其中 个黑球，由题意得 ，
，
所以 ， ，故 ．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则
．
．
当 时， ，
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 ，红球的个数少于 ．
故袋中红球个数最少．
从而所求直线 方程为 ．
20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合
解题能力．满分15分．解法二：设 ，直线 ，则 ，从而 若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
．
所以 ．
过 垂直于 的直线 ．
若 ， 在 上单调递减，
y M
因为 ，所以 ， l
所以 ．
l 1 B A
H
x
Q O
．
综上所述，
当 时， ，
（ii）令 ．
从而所求直线 方程为 ． 若 ，无解．
若 ，解得 ．
21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识 若 ，解得 ．
分析问题和解决问题的能力．满分15分．
（Ⅰ）解：函数的定义域为 ， 故 的取值范围为 ．
22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．
（ ）．
满分14分．
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
若 ，则 ， ①当 时，因为 是方程 的正根，所以 ．
有单调递增区间 ． ②假设当 时， ，
因为
若 ，令 ，得 ，
，
当 时， ，
所以 ．
当 时， ．
即当 时， 也成立．
有单调递减区间 ，单调递增区间 ．
根据①和②，可知 对任何 都成立．
（Ⅱ）解：（i）若 ， 在 上单调递增，
（Ⅱ）证明：由 ， （ ），
所以 ．
得 ．因为 ，所以 ．
由 及 得 ，
所以 ．
（Ⅲ）证明：由 ，得
所以 ，
于是 ，
故当 时， ，
又因为 ，
所以 ．
