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2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）复数 =（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
2．（5 分）已知集合 A={1，3， }，B={1，m}，A∪B=A，则 m 的值为（
）
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方
程为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB=2，CC =2 ，E为CC 的中点，
1 1 1 1 1 1
则直线AC 与平面BED的距离为（ ）
1
A．2 B． C． D．1
5．（5 分）已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ，a =5，S =15，则数列
n n 5 5
的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若 = ， = ， • =0，| |=1，| |
=2，则 =（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知α为第二象限角， ，则cos2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．（5分）已知 F 、F 为双曲线 C：x2﹣y2=2 的左、右焦点，点 P在C上，|
1 2PF |=2|PF |，则cos∠F PF =（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
9．（5分）已知x=lnπ，y=log 2， ，则（ ）
5
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
10．（5 分）已知函数 y=x3﹣3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c=
（ ）
A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1
11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相
同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
12．（5 分）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，
，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，
反弹时反射角等于入射角，当点 P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的
次数为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分）若x，y满足约束条件 则z=3x﹣y的最小值为 ．
14．（5分）当函数y=sinx﹣ cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．
15．（5分）若 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展
开式中 的系数为 ．
16 ． （ 5 分 ） 三 棱 柱 ABC﹣A B C 中 ， 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 ，
1 1 1
∠BAA =∠CAA =60°，则异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为 ．
1 1 1 1三.解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
17．（10分）△ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 cos（A﹣
C）+cosB=1，a=2c，求C．
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面
ABCD， ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10平前，一方连
续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得 1分，
负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为
0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x [0，π]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
∈
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
21．（12 分）已知抛物线 C：y=（x+1）2与圆 （r＞
0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求
D到l的距离．
22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x }如下：x =2，x 是过两点
n 1 n+1
P（4，5），Q （ x ，f（ x ））的直线PQ 与x轴交点的横坐标．
n n n n
（Ⅰ）证明：2≤x ＜x ＜3；
n n+1
（Ⅱ）求数列{ x }的通项公式．
n
