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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
（1） 是虚数单位，复数 （ ）
A. B. C.
D.
（2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为
（ ）
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
3.已知命题 （ ）
A. B.
C. D.
4.设 则（ ）
A. B. C. D.
5.设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为其前n项和，若 成等
比数列，则 =（ ）
A.2 B.-2 C. D .
6.已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 双曲线的一
个焦点在直线 上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7.如图， 是圆的内接三角行， 的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆
的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分 ；
② ；③ ；④ .则所有正确结论的序号是（
）
A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④
8.已知函数 在曲线 与直线 的交点
中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 的最小正周期为（ ）A. B. C. D.
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从
该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、
三年级、四年级的本科生人数之比为 ，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为 .
11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出 的值为________.
12.函数 的单调递减区间是________.
13. 已 知 菱 形 的 边 长 为
， ， 点
， 分
别在边 、 上，
， .若 ，则 的值为________.
（14）已知函数 若函数 恰有4个零点，则实数 的取值范围为_______
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学 和3名女同
学 ， 其 年 级 情 况 如 下 表 ：
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（1）用表中字母列举出所有可能的结果
（2）设 为事件“选出的2人来
自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件 发生的概率.
（16）（本小题满分13分）
在 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 已 知 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
17、（本小题满分13分）
如 图 ， 四 棱 锥 的 底 面 是 平 行 四 边 形 ， ，
, 分别是棱 的中点.
（1）证明 平面 ；
（1）若二面角P-AD-B为 ，
① 证明：平面PBC⊥平面ABCD
① 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
18、（本小题满分13分）设椭圆 的左、右焦点分别为 ,，右顶点为A，上顶点为B.已
知 = .
（1）求椭圆的离心率；
（1）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 ，经过点
的直线与该圆相切与点M， = .求椭圆的方程.
19 （本小题满分14分）
已知函数
（1） 求 的单调区间和极值；
（2）若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求
的取值范围
20（本小题满分14分）
已知 和 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 ，集合
，
（1）当 时，用列举法表示集合A；
设 其 中
证明：若 则 .2014 年天津高考文科数学试题逐题详解 （纯 word 解析
版）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【2014年天津卷（文01）】 是虚数单位，复数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【2014年天津卷（文02）】设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数
的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．
当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即z ＝1×1＋2×1＝3.
min
【2014年天津卷（文03）】已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（ ）
A．∃x
0
≤0，使得（x
0
+1）ex0≤1 B．∃x
0
＞0，使得（x
0
+1）ex0≤1
C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x
0
＞0，使得（x
0
+1）e ≤1，
【2014年天津卷（文04）】设a=logπ，b=log π，c=π﹣2，则（ ）
2
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【答案】C
【解析】logπ＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b
2
【2014年天津卷（文05）】设{a}的首项为a，公差为﹣1的等差数列，S 为其前n项和，
n 1 n
若S，S，S 成等比数列，则a=（ ）
1 2 4 1
A．2 B．﹣2 C． D．
﹣
【答案】D
【解析】∵{a}是首项为a，公差为﹣1的等差数列，S 为其前n项和，∴S=a，S=2a﹣
n 1 n 1 1 2 1
1，S=4a﹣6，
4 1
由S，S，S 成等比数列，得： ，即 ，解
1 2 4
得：
【2014年天津卷（文06）】已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直
线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
﹣ =1 ﹣ =1
C． D．
﹣ =1 ﹣ =1
【答案】A
【解析】令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，
∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
∴ =2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为 ﹣ =1
【2014年天津卷（文07）】如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，
交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．
∵BD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正
确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由 ，FB2=FD•FA．即结论②成立．由 ，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立
【2014年天津卷（文08）】已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线
y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则f（x）的最小正周期为
（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【解析】 ∵已知函数f（x）= sinωx+cosωx=2sin（ωx+ ）（ω＞0），x∈R，
在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，正好等于f（x）
的周期的 倍，
设函数f（x）的最小正周期为T，则 = ，∴T=π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
【2014年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟
采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已
知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 ，则应从一年级
本科生中抽取____名学生.
【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×＝60
【2014年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的
体积为_________ .
【答案】
【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积 V＝π×12×4＋
π×22×2＝.
【2014年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为 ．
【答案】-4【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；
退出循环，输出﹣4
【2014年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是 ．
【答案】（﹣∞，0）
【解析】 方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．
∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．
方法二：原函数是由 复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）
为增函数；
又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在
（0，+∞）为增 函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）
【2014年天津卷（文13）】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边
BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF、若 • =1，则λ的值为 ．
【答案】2
【解析】∵BC=3BE，DC=λDF，∴ = ， = ，
= + = + = + ， = + = + = + ，
∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴| |=| |=2， • =2×2×cos120°=﹣2，
∵ • =1，∴（ + ）•（ + ）= + +（1+ ） • =1，
即 ×4+ ×4﹣2（1+ ）=1，整理得 ，解得λ=2
【2014年天津卷（文14）】已知函数f（x）= ，若函数y=f（x）﹣
a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】（1，2）
【解析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，
当a≤0，不满足条件，∴a＞0，
当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，
当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个 交点，
∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【2014年天津卷（文15）】（本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M
发生的概率．
解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，
Y）、（A，Z）、
（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，
Y）、（X，Z ）、（Y，Z）
共计15个结果．
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，
则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，
Y），共计6个结果，
故事件M发生的概率为 =
【2014年天津卷（文16）】（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c= b，sinB= sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣ ）的值．
解：（Ⅰ）将sinB= sinC，利用正弦定理化简得：b= c，代入a﹣c= b，得：a﹣
c=c，即a=2c，
∴cosA= = = ；（Ⅱ）∵cosA= ，A为三角形内角，∴sinA= = ，
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣ ，sin2A=2sinAcosA= ，
则cos（2A﹣ ）=cos2Acos +sin2Asin =﹣ × + × =
【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分）
如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD= ，AD=2，PA=PD= ，E，F分
别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，
（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，
∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，
又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．
又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD= ，AD=2，PA=PD= ，∴BE=1，PE=2．
又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB= ．
∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，
∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD= ，AD=2，∴BD⊥BA，
∴BD，BA，BP两两垂直，
以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣
DAP，则有A（0， ，0），B（0，0，0），C（ ，﹣ ，0），D（ ，0，0），P（0，0，
），
∴ =（ ，﹣ ，0）， =（0，0， ），
设平面PBC的法向量为 ，∵ ，∴ ，令x=1，则
y=1，z=0，
故 =（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（ ， ，0），F（ ，﹣
， ），
∴ =（0， ， ），∴ = = =﹣ ，
即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为
【2014年天津卷（文18）】（本小题满分13分）
设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，右顶点为A，上顶点为B，已知|
1 2
AB|= |FF|．
1 2
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F，经过点F 的直线
1 2
l与该圆相切于点M，|MF|=2 ，求椭圆的方程．
2解：（Ⅰ）依题意可知 = •2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，
∴e= = ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为 + =1，B（0，c），F
1
（﹣c，0）
设P点坐标（ csinθ，ccosθ），圆心为O∵PB为直径，∴BF⊥PF，
1 1
∴k• k = • =﹣1，求得sinθ=﹣ 或0（舍去），
BF1 PF1
由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，
cosθ= = ∴P坐标为（﹣ c， c），∴圆心坐标为（﹣ c， c），
∴r=|OB|= = c，|OF|= = c，
2
∵r2+|MF|2=|OF|2，∴ +8= c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为 + =1
2 2
【2014年天津卷（文19）】（本小题满分14分）
已知函数f（x）=x2﹣ ax3（a＞0），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（2，+∞），都存在x∈（1，+∞），使得f（x）•f（x）=1，
1 2 1 2
求a的取值范围．
解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），
∵a＞0，∴当x＜0或x 时，f′（x）＜0，当 时，f′（x）＞0，
f（x）单调递减区间为：（﹣∞，0）和 ，单调递增区间为 ，
当x=0时，有极小值f（0）=0，当x= 时，有极大值f（ ）= ；（Ⅱ）由f（0）=f（ ）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0， ）时，f（x）＞0；当x∈（
，+∞）时，f（x）＜0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={ |x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对
于任意的x∈（2，+ ∞），都存在x∈（1，+∞），使得f（x）•f（x）=1，等价于
1 2 1 2
A⊆B，显然A≠∅
下面分三种情况讨论：
（1）当 ＞2，即0＜a＜ 时，由f（ ）=0可知，0∈A，而0∈B，∴A不是B的子集；
（2）当1≤ ≤2，即 时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故
A=（﹣∞，f（2）），∴A
⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），
即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；
（3）当 ＜1，即a＞ 时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（
，0），A=（﹣∞， f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[
]
【2014年天津卷（文20）】（本小题满分14分）
已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|
x=x+xq+…+xqn﹣1，x∈M，i=1，2，…n}．
1 2 n i
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a+aq+…+aqn﹣1，t=b+bq+…+bqn﹣1，其中a，b∈M，i=1，
1 2 n 1 2 n i i
2，…，n．证明：若a＜b，则s＜t．
n n
（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| ，x∈M，i=1，2，
i
3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a+aq+…+aqn﹣1，t=b+bq+…+bqn﹣1，其中a，b∈M，
1 2 n 1 2 n i i
i=1，2，…，n．a＜b，
n n∴a﹣b≤﹣1．可得s﹣t=（a﹣b）+（a﹣b）q+…+ +
n n 1 1 2 2
≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
= ＜0．
∴s＜t
