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2014 年湖南省高考文科数学试题及参考答案
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 设命题 ，则 为
2. 已知集合 ，则
3. 对一个容器为 的总体抽取容量为 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽
样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ，则
4.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
5. 在区间 上随机选取一个数 ，则 的概率为
6. 若圆 与圆 ，则
7. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的
属于
A. B. C. D.
8. 一块石材表示的几何体的三视图如图 2所示，将石材切削、打
磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 若 ，则
A. B.
C. D.10. 在平面直角坐标系中， 为原点， ， , ，动点 满足
,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数 （ 为虚数单位）的实部等于_________.
12. 在平面直角坐标系中，曲线 （ 为参数）的普通方程为___________.
13. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为_________.
14. 平面上以机器人在行进中始终保持与点 的距离和到直线 的距离相等.若
机器人接触不到过点 且斜率为 的直线，则 的取值范围是___________.
15. 若 是偶函数，则 ____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
16.（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和 .
(I) 求数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和.
17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往
年研发新产品的结果如下：
其中 分别表示甲组研发成功和失败； 分别表示乙组研发成功和失败.
（I）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发
新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（II）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.
18.（本小题满分12分）
如图3，已知二面角 的大小为 ，菱形 在面 内， 两点
在棱 上， ， 是 的中点， 面 ，垂足为 .
(1) 证明： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
19.（本小题满分13分）
如图4，在平面四边形 中， ,
C
（1）求 的值； D
E
（2）求 的长
A B
图4
20.（本小题满分13分）如 图 5 ， 为 坐 标 原 点 ， 双 曲 线 和 椭 圆
均过点 ，且以 的两个顶点和 的两个焦
点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1) 求 的方程；
(2) 是否存在直线 ，使得 与 交于 两点，与 只有一个公共点，且
？证明你的结论.
21.（本小题满分13分）
已知函数 .
(1) 求 的单调区间；
（2）记 为 的从小到大的第 个零点，证明：对一切 ，有
.
