文档内容
2017 年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工
类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120
分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式 .
其中S表示棱柱的底面面积， 其中 表示球的半径．
h表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（A） （B）1（C） （D）3
（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为24，则输出 的值为
（A）0 （B）1（C）2（D）3
（4）设 ，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条
件
（5）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
（6）已知奇函数 在R上是增函数， .若 ， ，
，则a，b，c的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
（7）设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，
且 的最小正周期大于 ，则
（A） ， （B） ， （C） ， （ D ），
（8）已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R上恒
成立，则a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知 ，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 .
（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球
的体积为 .
（11）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为
___________.
（12）若 ， ，则 的最小值为___________.
（ 13 ） 在 中 ， ， ， . 若 ，
，且 ，则 的值为___________.
（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数
的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）
在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， .（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求 的值.
16.（本小题满分13分）
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯
的概率分别为 .
（Ⅰ）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
（17）（本小题满分13分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC， .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC
的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长.
18.（本小题满分13分）
已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且公比大于
0， , ， .（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
（19）（本小题满分14分）
设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物线
的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直
线 与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.
（20）（本小题满分14分）
设 ，已知定义在R上的函数 在区间 内有一个
零点 ， 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，函数 ，求证： ；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且
满足 .天津理数答案
1-4BDCA 5-8BCAA
9.−2；
10. ；
11.2；
12.4 ；
13. ；
14.1080
15.（Ⅰ）解：在 中，因为 ，故由 ，可得 .由已知及余弦定
理，有 ，所以 .
由正弦定理 ,得 .
所以， 的值为 ， 的值为 .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及 ，得 ，所以 ，
.故 .
16.（Ⅰ）解：随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，.
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
（Ⅱ）解：设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求
事 件 的 概 率 为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .
（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空
间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分
13分.
如图，以A为原点，分别以 ， ， 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐
标系.依题意可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，
2），M（0，0，1），N（1，2，0）.
（Ⅰ）证明： =（0，2，0）， =（2，0， ）.设 ，为平面BDE的法向量，则 ，即 .不妨设 ，可得 .又 =（1，2， ），可得
.
因为 平面BDE，所以MN//平面BDE.
（Ⅱ）解：易知 为平面CEM的一个法向量.设 为平面EMN的法向量，
则 ，因为 ， ，所以 .不妨设 ，
可得 .
因此有 ，于是 .
所以，二面角C—EM—N的正弦值为 .
（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（ ），则H（0，0，h），进而可得 ，
.由已知，得 ，整理得
，解得 ，或 .
所以，线段AH的长为 或 .
18.【解析】（I）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
由已知 ，得 ，而 ，所以 .
又因为 ，解得 .所以， .
由 ，可得 ①.由 ，可得 ②，
联立①②，解得 ， ，由此可得 .
所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（II）解：设数列 的前 项和为 ，
由 ， ，有 ，
故 ，
，
上述两式相减，得
得 .
所以，数列 的前 项和为 .
19.（Ⅰ）解：设 的坐标为 .依题意， ， ， ，解得 ，
， ，于是 .
所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 .
（Ⅱ）解：设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点
，故 .将 与 联立，消去 ，整理得
，解得 ，或 .由点 异于点 ，可得点.由 ，可学*科.网得直线 的方程为
，令 ，解得 ，故
.所以 .又因为 的面积为 ，故
，整理得 ，解得 ，所以
.
所以，直线 的方程为 ，或 .
20.（Ⅰ）解：由 ，可得 ，
进而可得 .令 ，解得 ，或 .
当x变化时， 的变化情况如下表：
x
+ - +
↗ ↘ ↗
所以， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 .
（Ⅱ）证明：由 ，得 ，
.
令函数 ，则 .由（Ⅰ）知，当
时， ，故当 时， ， 单调递减；当
时， ， 单调递增.因此，当 时，，可得 .
令函数 ，则 .由（Ⅰ）知，
在 上单调递增，故当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减.因此，当 时，
，可得 .
所以， .
（III）证明：对于任意的正整数 ， ，且 ，
令 ，函数 .
由（II）知，当 时， 在区间 内有零点；
当 时， 在区间 内有零点.
所 以 在 内 至 少 有 一 个 零 点 ， 不 妨 设 为 ， 则
.
由（I）知 在 上单调递增，故 ，
于是 .
因为当 时， ，故 在 上单调递增，
所以 在区间 上除 外没有其他的零点，而 ，故 .又因为 ， ， 均为整数，所以 是正整数，
从而 .
所以 .所以，只要取 ，就有 .
选择填空解析
第Ⅰ卷（共 40 分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
（1）【2017年天津，理1，5分】设集合 ，则
（ ）
（A） （B） （C）
（D）
【答案】B
【解析】 ，故选B．
（2）【2017年天津，理 2，5分】设变量 满足约束条件 则目标函数
的最大值为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形 及其内部，其中 ，所以
直线 过点B时取最大值3，故选D．
（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输
入 的值为
24，则输出 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
【解析】依次为 ， ，输出 ，故选C．
（4）【2017年天津，理4，5分】设 ，则“ ”是“ ”
的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ， ， ，不满足 ，所
以
是充分不必要条件，故选A．
（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线 的左焦点为 ，离心
率为 ．若经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方
程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】由题意得 ，故选B．
（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数 在R上是增函数， ．若
， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
（A） （B） （C）
（D）
【答案】C
【解析】因为 是奇函数且在 上是增函数，所以在 时， ，从而
是 上 的 偶 函 数 ， 且 在 上 是 增 函 数 ，
， ， 又 ， ， 所 以 即
， ，所以 ，故选C．
（7）【2017 年天津，理 7，5 分】设函数 ， ，其中 ，
．若 ， ，且 的最小正周期大于 ，则（ ）
（A） ， （B） ， （C） ，
（D） ，
【答案】A
【解析】由题意 ，其中 ，所以 ，又
，所以 ，所以 ， ，由 得 ，
故选A．
（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数 设 ，若关于x的
不等式 在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）（A） （B） （C）
（D）
【答案】A
【 解 析 】 不 等 式 为 ， 当 时 ， 式 即 为
，
，又 （ 时取等号），
（ 时取等号），所以 ，当 ，
式为
， ，又
（当 时取等
号）， （当 时取等号），所以 ，综上
，故选A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）【2017年天津，理9，5分】已知 ，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为
．
【答案】
【解析】 为实数，则 ．
（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正
方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【答案】
【 解 析 】 设 正 方 体 边 长 为 ， 则 ， 外 接 球 直 径 为
．
（11）【2017 年天津，理 11，5 分】在极坐标系中，直线 与圆
的公共点的个数为 ．
【答案】2
【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交
点．
（12）【2017年天津，理12，5分】若 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【解析】 ，当且仅当 时取等号．（13）【2017 年天津，理 13，5 分】在 中， ， ， ．若
， ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【 解 析 】 ， ， 则
．
（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数
字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数
字作答）
【答案】1080
【解析】 ．
