2018年江西高考理数真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江西高考数学90-23

2018 全国卷Ⅰ高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1i z  2i 1．设 1i ，则|z| 1 A．0 B．2 C．1 D． 2   A x x2 x20 � A 2．已知集合 ，则 R     x 1 x2 x 1 x2 A． B．  x|x1  x|x2  x|x1  x|x2   C． D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 S a  n 3S S S a 2 a  4．记 n为等差数列 n 的前 项和.若 3 2 4， 1 ，则 5 A．12 B．10 C．10 D．12 f(x) x3 (a1)x2 ax f(x) y  f(x) (0,0) 5．设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的 切线方程为 y 2x y x y 2x A． B． C． D． y  x  △ABC AD BC E AD EB 6．在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 3 1 1 3 3 1 AB AC AB AC AB AC A．4 4 B．4 4 C．4 4 D． 1 3 AB AC 4 4 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对 应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 2 17 2 5 A． B． C．3 D． 2 2 8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为3 的直线与C交于M，N两点，  FM FN 则 = A．5 B．6 C．7 D． 8 ex，x0， f(x) 9．已知函数 lnx，x0，g(x) f(x)xa ．若g（x）存在2个零点，则a的 取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D ． [1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半 圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的 区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取 自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p，p，p，则 1 2 3 A．p=p B．p=p 1 2 1 3 C．p=p D．p=p+p 2 3 1 2 3 x2 11．已知双曲线C：  y2 1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条 3 渐近线的交点分别为M、N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|= 3 A． B．3 C． D．4 2 3 2 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体 所得截面面积的最大值为 3 3 2 3 3 2 3 A． B． C． D． 4 3 4 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 x2y20 13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________． x y x y10 z3x2y  y014．记 为数列 的前 项和.若 ，则 _____________． S a  n S 2a 1 S  n n n n 6 15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法 共有_____________种．（用数字填写答案） 16．已知函数 f x2sinxsin2x ，则 f x的最小值是_____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分） 在平面四边形ABCD中，ADC 90，A45，AB2，BD5. （1）求cosADB； （2）若 ，求 . DC 2 2 BC 18．（12分） 如图，四边形 ABCD为正方形， E,F 分别为 AD,BC 的中点，以 DF为折痕把 △DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF  BF . （1）证明：平面PEF 平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 19．（12分） 设椭圆 x2 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐 C:  y2 1 F F l C A,B M 2 标为 . (2,0) （1）当l与x轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB. 20．（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检 验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验， 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都 为 p(0 p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ． f(p) f(p) p 0 （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 p 0 p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对 每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ， 求EX ; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品 作检验？ 21．（12分） 1 已知函数 f(x) xalnx． x （1）讨论 的单调性； f(x) f x  f x  （2）若 f(x) 存在两个极值点 x ,x ，证明： 1 2 a2 ． 1 2 x x 1 2 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴 xOy C y k|x|2 x 1 为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . C 2 2cos30 2 （1）求 的直角坐标方程； C 2 （2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程. C C C 1 2 1 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） f(x)|x1||ax1| 已知 . a 1 f(x)1 （1）当 时，求不等式 的解集； x(0,1) f(x) x a （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14. 15.16 16. 3 3 63  2 17.（12分） BD AB 解：（1）在△ABD中，由正弦定理得  . sinA sinADB 由题设知， 5 2 ，所以 2 .  sinADB sin45 sinADB 5 由题设知， ，所以 2 23 . ADB90 cosADB  1  25 5 （2）由题设及（1）知， 2 . cosBDC sinADB 5 在△BCD中，由余弦定理得 BC2  BD2 DC2 2BDDCcosBDC 2 258252 2 5 25. 所以BC 5. 18.（12分） 解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又BF 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，  为单位长，建立如图所示的空间直 HF |BF |角坐标系H−xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 3 可得 3 3. PH  ,EH  2 2 则 3 3  3 3  3 为平面 H(0,0,0),P(0,0, ),D(1, ,0),DP(1, , ), HP(0,0, ) 2 2 2 2 2 ABFD的法向量. 3 设DP与平面ABFD所成角为 ，则   .  HPDP 4 3 sin| |    |HP||DP| 3 4 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3 . 4 19.（12分） 解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1. 由已知可得，点A的坐标为 2 或 2 . (1, ) (1, ) 2 2 所以AM的方程为 2 或 2 . y  x 2 y  x 2 2 2 （2）当l与x轴重合时，OMAOMB0. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y k(x1)(k 0)， ， A(x ,y ),B(x ,y ) 1 1 2 2y y 则 x  2,x  2 ，直线MA，MB的斜率之和为 k k  1  2 . 1 2 MA MB x 2 x 2 1 2 由 得 y kx k,y kx k 1 1 2 2 2kx x 3k(x x )4k k k  1 2 1 2 . MA MB (x 2)(x 2) 1 2 将 代入 x2 得 y k(x1)  y2 1 2 . (2k2 1)x2 4k2x2k2 20 所以， 4k2 2k2 2. x x  ,x x  1 2 2k2 1 1 2 2k2 1 则 4k34k12k38k34k . 2kx x 3k(x x )4k  0 1 2 1 2 2k2 1 从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 . k k 0 OMAOMB MA MB 综上，OMAOMB. 20.（12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此 f(p)C2 p2(1 p)18 20 . 令 ， 得 . 当 时 ， ； 当 时 ， f(p)0 p0.1 p(0,0.1) f(p)0 p(0.1,1) . f(p)0 所以 的最大值点为 . f(p) p 0.1 0 （2）由（1）知， . p0.1 （i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， Y Y : B(180,0.1) X 20225Y ，即X 4025Y .所以 . EX  E(4025Y)4025EY 490 （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX 400，故应该对余下的产品作检验. 21.（12分） 解:（1） 的定义域为 ， 1 a x2 ax1. f(x) (0,) f(x) 1  x2 x x2 （i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 a2 f(x)0 a 2 x1 f(x)0 f(x) 单调递减. (0,) （ii）若 ，令 得， a a2 4 或 a a2 4 . a 2 f(x)0 x x 2 2 当 a a2 4 a a2 4 时， ； x(0, )U( ,) f(x)0 2 2 当 a a2 4 a a2 4 时 ， . 所 以 在 x( , ) f(x)0 f(x) 2 2 a a2 4 a a2 4 单调递减，在 a a2 4 a a2 4 单调递 (0, ),( ,) ( , ) 2 2 2 2 增. （2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 . f(x) a 2 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ， f(x) x ,x x2 ax10 x x 1 x  x 1 2 1 2 1 2 则 .由于 x 1 2 ， f(x ) f(x ) 1 所以 1 2 a2 等价于 x 2lnx 0 . x x x 2 2 1 2 21 设函数g(x) x2lnx，由（1）知，g(x)在(0,)单调递减，又g(1)0， x 从而当 时， . x(1,) g(x)0 1 f(x ) f(x ) 所以 x 2lnx 0 ，即 1 2 a2 . x 2 2 x x 2 1 2 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） xcos y sin C (x1)2  y2 4 解:（1）由 ， 得 2的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知 C 2是圆心为 A(1,0) ，半径为 2 的圆由题设知， C 1是过点 B(0,2) 且 关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l 1， y 轴左边的射线为 l 2．由于 B 在 C C C l C l 圆 2的外面，故 1与 2有且仅有三个公共点等价于 1与 2只有一个公共点且 2与 C l C l C 2有两个公共点，或 2与 2只有一个公共点且 1与 2有两个公共点． |k2| 2 当l 1 与C 2 只有一个公共点时， A 到l 1 所在直线的距离为 2 ，所以 k2 1 ，故 4 k  3或k 0． 4 k  经检验，当k 0时， l 与 C 没有公共点；当 3时， l 与 C 只有一个公共点， 1 2 1 2 l C 2与 2有两个公共点． |k2| 2 当l 2 与C 2 只有一个公共点时， A 到l 2 所在直线的距离为 2 ，所以 k2 1 ，故4 k  k 0或 3 ． 4 k  经检验，当k 0时， l 与 C 没有公共点；当 3 时， l 与 C 没有公共点． 1 2 2 2 4 y  |x|2 C 综上，所求 的方程为 3 ． 1 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 2,x1,  解：（1）当 时， ，即 f(x)2x,1 x1,  a 1 f(x)|x1||x1|  2,x1. 1 {x|x } 故不等式 f(x)1的解集为 2 ． x(0,1) |x1||ax1| x x(0,1) |ax1|1 （2）当 时 成立等价于当 时 成立． a0 x(0,1) |ax1|1 若 ，则当 时 ； 2 2 0 x 1 若a0，|ax1|1的解集为 a ，所以a ，故0a2． a (0,2] 综上， 的取值范围为 .