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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合A={x|–11}，则A∪B=
（A）（–1，1） （B）（1，2） （C）（–1，+∞） （ D ）
（1，+∞）
（2）已知复数z=2+i，则
（A） （B） （C）3 （D）5
（3）下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
（A） （B）y= （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线 （a>0）的离心率是 ，则a=
（A） （B）4 （C）2 （D）
（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为 的星的亮度为 （k=1,2）．已知太阳的星等是–
26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）
（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点， 是锐角，大小
为β.图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4cosβ （B）4β+4sinβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sinβ
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知向量 =（–4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________．
（10）若 x，y 满足 则 的最小值为__________，最大值为
__________．（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为
__________．
（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上
小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
（13）已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水
果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上
支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x
的最大值为__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a=3， ，cosB= ．
（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
（16）（本小题13分）
设{a }是等差数列，a =–10，且a +10，a +8，a +6成等比数列．
n 1 2 3 4
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）记{a }的前n项和为S ，求S 的最小值．
n n n
（17）（本小题12分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付
方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的
1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，
样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 不大于2 000元 大于2 000元
支付方式
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于 2 000
元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中
随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为
样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．（19）（本小题14分）
已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线
AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定
点．
（20）（本小题14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为 M
（a），当M（a）最小时，求a的值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）A （4）B
（5）D （6）C （7）A （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）8 （10）–3 1
（11） （12）40
（13）若 ，则 ．（答案不唯一）
（14）130 15
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由余弦定理 ，得
．
因为 ，
所以 ．
解得 ．
所以 ．
（Ⅱ）由 得 ．由正弦定理得 ．
在 中， ．
所以 ．
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设 的公差为 ．
因为 ，
所以 ．
因为 成等比数列，
所以 ．
所以 ．
解得 ．
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ．
所以，当 时， ；当 时， ．
所以， 的最小值为 ．
（17）（共12分）
解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用 A 的学生有 27+3=30 人，仅使用 B 的学生有
24+1=25人，
A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 ．
（Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金
额大于2 000元”，则 ．
（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额
大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）
知， =0.04．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支
付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件， 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无
法确定有没有变化．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为 平面ABCD，
所以 ．
又因为底面ABCD为菱形，
所以 ．
所以 平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD．
所以AB⊥AE．
所以AE⊥平面PAB．
所以平面PAB⊥平面PAE．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
则FG∥AB，且FG= AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE= AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF为平行四边形．
所以CF∥EG．
因为CF 平面PAE，EG 平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
（19）（共14分）
解：（I）由题意得，b2=1，c=1．
所以a2=b2+c2=2．所以椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）设P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
则直线AP的方程为 ．
令y=0，得点M的横坐标 ．
又 ，从而 ．
同理， ．
由 得 ．
则 ， ．
所以
．
又 ，所以 ．
解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由 得 ．
令 ，即 ，得 或 ．
又 ， ，
所以曲线 的斜率为1的切线方程是 与 ，
即 与 ．
（Ⅱ）令 ．
由 得 ．
令 得 或 ．
的情况如下：
所以 的最小值为 ，最大值为 ．故 ，即 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
综上，当 最小时， ．选择填空解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|–11}，则A∪B=
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D.
（1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选C.
的
【点睛】考查并集 求法，属于基础题.
2.已知复数z=2+i，则
A. B. C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵ 故选D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
3.下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
A. B. y= C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数图像性质可得出结果.
【详解】函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，故选A.
【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础
知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】【分析】
根据程序框图中的条件逐次运算即可.
【详解】运行第一次， ， ，
运行第二次， ， ，
运行第三次， ， ，
结束循环，输出 ，故选B.
【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.
5.已知双曲线 （a＞0）的离心率是 则a=
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解.
【详解】分析：详解： ∵双曲线的离心率 ， ，
∴ ，
解得 ，
故选D.
【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查.6.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义域为R的函数 为偶函数等价于 进行判断.
【详解】 时， , 为偶函数；
为偶函数时， 对任意的 恒成立，
，得 对任意的 恒成立，从而 .从而“
”是“ 为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为m 的星的亮度为E（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，
1 2
天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 ，然后将对数式换 为指数式求 再求【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,
令 ， ，
，
，
故选D.
【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.
8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点， 是锐角，大小为β.
图中阴影区域的面积的最大值为
A. 4β+4cosβ B. 4β+4sinβ C. 2β+2cosβ D.
2β+2sinβ
【答案】B
【解析】
【分析】
阴影部分的面积S=S + S- S .其中S、 S 的值为定值.当且仅当S 取最大值时阴
PAB 1 OAB 1 OAB PAB
△ △ △ △
影部分的面积S取最大值.
【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S 的最大值为βr2+S + S =4β+ |OP||OB|sin（π-β）+ |
POB POA
△ △
OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B.
【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运
算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________.
【答案】8.
【解析】
【分析】
利用 转化得到 加以计算，得到 .
【详解】向量
则 .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与
化归思想的应用.属于容易题.10.若x，y满足 则 的最小值为__________，最大值为__________.
【答案】 (1). . (2). 1.
【解析】
【分析】
作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.
【详解】作出可行域如图阴影部分所示.
设z=y-x,则y=x+z.当直线l：y=x+z经过点A（2,-1）时,z取最小值-3，经过点B（2,3）时,z
0
取最大值1.
【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度
不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
11.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为
__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2P=4，P=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.
12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正
方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
【答案】40.
【解析】
【分析】
画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.
【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示
几何体的体积V=43- （2+4）×2×4=40【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重
多观察、细心算.
13.已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【解析】
【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价
格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促
销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，
李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最
大值为__________．
【答案】 (1). 130. (2). 15.
【解析】
【分析】
（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；
（2）根据 、 分别探究.
【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，
需要支付（60+80）-10=130元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，
元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求.
元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，
即8（y-x）≥7y，x≤ ，即x≤（ ） =15元.
min
所以x的最大值为15.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解
能力，有一定难度.
