文档内容
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
(1)
（A）
（B）
（C）3
（D）5
（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（3）已知直线l的参数方程为 （t为参数），则点（1，0）
到直线l的距离是
（A）（B）
（C）
（D）
（4）已知椭圆 （a>b>0）的离心率为 ，则
（A）a2=2b2.
（B）3a2=4b2.
（C）a=2b
（D）3a=4b
（5）若x, y满足 的最大值为
（A）-7 （B）1
（C）5 （D）7
（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足
5 E
m −m = lg 1
2 1 2 E
2，其中星等为
m
k的星的亮度为
E
k（
k=1,2
）。已知太阳的星等
为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
（A）
1010.1
（B）
10.1
lg10.1 10−10.1
（C） （D）
⃗AB ⃗AC ⃗BC
A,B,C ⃗AB ⃗AC | + |>| |
（7）设点 不共线，则“ 与 的夹角是锐角”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
C:x2 +y2 =1+|x|y
（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一
（如图）。给出下列三个结论：① 曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
② 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 √2 ;
③ 曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
（A）① （B）②
（C）①② （D）①②③
第二部分(非选择题共10分)
二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数 的最小正周期是 ________。
(10) 设等差数列{a }的前n项和为S ，若a=-3，S=-10,则a= ________ . S 的最小值为
n n 2 5 3 n
_______。
(11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小
正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________。
(12) 已知l、m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:
l m； ② m a； ③l a
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______ 。
①⊥ ∥ ⊥
(13) 设函数 (a为常数)，若f(x)为奇函数,则a=______； 若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 ________。
(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。
价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行
促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后,
李明会得到支付款的80%。
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 _______ 元：
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大
值为________ 。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。。
（15）（本小题13分）
在 中， ， ， ．
（Ⅰ）求b,c的值；
（Ⅱ）求 的值。
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角F-AE-P的余弦值;
（Ⅲ）设点G在PB上，且 .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.（17）（本小题13分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要
支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学
生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使
用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支
付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随
机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用
A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。
(18) （本小题14分）
C:x2 =−2py
已知抛物线 经过点(2，-1)。
(I)求抛物线C的方程及其准线方程；
(II) 设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两
点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆
经过y轴上的两上定点。
(19) （本小题13分）
1
f (x)= x3 −x2 +x
4
已知函数 。
y=f (x)
(I)求曲线 的斜率为1的切线方程；
(II)
(III) 设 ，记
F(x)在区间[-2，4]上的
最大值为M(a)，当M(a)最小时，求a的值。(20) （本小题13分）
已知数列{a}，从中选取第 i 项、第 i 项、…、第 i 项(i
