文档内容
2019 年高考理科数学真题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
2．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
3．已知 ，则
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度
与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为
105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm
sinxx
5．函数f(x)=cosxx2 在 的图像大致为A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为
阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻
的概率是
A． B． C． D．
7．已知非零向量a，b满足 ，且 b，则a与b的夹角
为
A． B． C． D．
8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
9．记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
S
n
A． B． C． D．
10．已知椭圆C的焦点为 ，过F的直线与C交于A，B两点．若 ，
2
，则C的方程为A． B． C． D．
11．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ ， ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别
是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线 在点 处的切线方程为____________．
14．记S为等比数列{a}的前n项和．若 ，则S=____________．
n n 5
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据
前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场
取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F，F，过F的直线与C的两条渐近线
1 2 1
分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；（2）若 ，求sinC．
18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–ABCD的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，
1 1 1 1 1
M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面CDE；
1
（2）求二面角A−MA−N的正弦值．
1
19．（12分）
3
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
2
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
AP3PB
20．（12分）
已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案
如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以
乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠
多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，
若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
1t2
x ，
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 1t2 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的
4t
y
1t2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
2cos 3sin110
（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题
13．y=3x 14． 15．0.18 16．2
三、解答题
17．解：（1）由已知得 ，故由正弦定理得 ．
由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，由题设及正弦定理得 ，即 ，可得 ．
由于 ，所以 ，故
．
18．解：（1）连结BC，ME．
1
因为M，E分别为BB，BC的中点，
1
所以ME∥BC，且ME= BC．
1 1
又因为N为AD的中点，所以ND= AD．
1 1
由题设知AB DC，可得BC AD，故ME ND，
1 1 1 1
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN 平面EDC，所以MN∥平面CDE．
1 1
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则，A(2，0，4)， ， ， ， ，
1
， ．
设 为平面AMA的法向量，则 ，
1
所以 可取 ．
设 为平面AMN的法向量，则
1
所以 可取 ．
于是 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
19．解：设直线 ．（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ．
由 ，可得 ，则 ．
从而 ，得 ．
所以 的方程为 ．
（2）由 可得 ．
由 ，可得 ．
所以 ．从而 ，故 ．
代入 的方程得 ．
故 ．
20．解：（1）设 ，则 ， .
当 时， 单调递减，而 ，可得 在 有唯一零点，
设为 .
则当 时， ；当 时， .
所以 在 单调递增，在 单调递减，故 在 存在唯一极大值点，即在 存在唯一极大值点.
（2） 的定义域为 .
（i）当 时，由（1）知， 在 单调递增，而 ，所以当 时，
，故 在 单调递减，又 ，从而 是 在 的唯一零点.
（ii）当 时，由（1）知， 在 单调递增，在 单调递减，而
，
， 所 以 存 在 ， 使 得 ， 且 当 时 ， ； 当
时， .故 在 单调递增，在 单调递减.
又 ， ，所以当 时， .从而， 在 没
有零点.
（iii）当 时， ，所以 在 单调递减.而 ， ，所
以 在 有唯一零点.
（iv）当 时， ，所以 <0，从而 在 没有零点.
综上， 有且仅有2个零点.
21．解：X的所有可能取值为 .所以 的分布列为
（2）（i）由（1）得 .
因此 ，故 ，即
.
又因为 ，所以 为公比为4，首项为 的等比数列．
（ii）由（i）可得
.
由于 ，故 ，所以
表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8
时，认为甲药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验
方案合理.
22．解：（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为 .
（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）.
C上的点到 的距离为 .
当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 .
23．解：（1）因为 ，又 ，故有
.
所以 .
（2）因为 为正数且 ，故有
=24.
所以 .
