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专题 14 多边形与平行四边形
考点 1 多边形与平行四边形
一、单选题
1．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房
的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 均为正六
边形的顶点．若点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川德阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中
点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OE AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
3．（2023年河北省中考数学真题）综合实践课上，嘉嘉画出 ，利用尺规作图找一点C，使得四边
形 为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
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（2）连接 ，在 的延长线上 （3）连接 ， ，则四边形
（1）作 的垂直平分线交
截取 ； 即为所求．
于点O；
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
4．（2021·四川德阳·统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边
AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转
60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（ ， ）B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
5．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形 中， 和 交于点 ，过点 的直线 交
于点 （ 不与 ， 重合），交 于点 ．以点 为圆心， 为半径的圆交直线 于点 ， ．
若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）已知在菱形 中， ， ，则菱形
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的面积为（ ）
A． B．126 C．63 D．
7．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，对角线 ， 交于点 ，
， 为 上一动点， 于点 ， 于点 ，分别以 ， 为边向外作正
方形 和 ，面积分别为 ， ．则下列结论：① ；②点 在运动过程中， 的
值始终保持不变，为 ；③ 的最小值为6；④当 时，则 ．其中正确
的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2022·江苏泰州·统考中考真题）正八边形一个外角的大小为 度．
9．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 ．
10．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在四边形 中， ， 于点
．请添加一个条件： ，使四边形 成为菱形．
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11．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折
痕为 ，展开后，再将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则
的大小为 度．
12．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，正方形 的边长为2，对角线 相交于点 ，
以点 为圆心，对角线 的长为半径画弧，交 的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2020·四川阿坝·中考真题）如图，有一张长方形片ABCD， ， ．点E为CD上
一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边 恰好经过点D，则线段DE的长为 cm．
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14．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
， ，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则 的最小值为 ．
15．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，在正六边形 中， ， 是对角线 上的两点，添
加下列条件中的一个：① ；② ；③ ；④ ．能使四边形
是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）．
16．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图， 是正五边形 的对角线， 与 相
交于点 ．下列结论：
① 平分 ； ② ； ③四边形 是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六
边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图
2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
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（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
18．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在矩形 中， ，把边 沿
对角线 平移，点 分别对应点 ， 的最小值为 ．
三、解答题
19．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包
括端点)上运动，且满足 ， ．
(1)求证： ；
(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
20．（2019·江苏常州·统考中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角
形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两
次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】：（1）如图，两个边长分别为 、 、 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角形拼
成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
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（2）如图2， 行 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：
________；
【运用】：（3） 边形有 个顶点，在它的内部再画 个点，以（ ）个点为顶点，把 边形剪成若
干个三角形，设最多可以剪得 个这样的三角形．当 ， 时，如图，最多可以剪得 个这样的三
角形，所以 ．
①当 ， 时，如图， ；当 ， 时， ；
②对于一般的情形，在 边形内画 个点，通过归纳猜想，可得 （用含 、 的代数式表示）．
请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
21．（2019·广西玉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作 交对角线
AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使 ，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知： ， ， ，求四边形EHFG的周长．
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22．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别
是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
23．（2023年吉林省长春市中考数学真题）将两个完全相同的含有 角的直角三角板在同一平面内按如
图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结 、 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，当四边形 是菱形时． 的长为__________ ．
24．（2023年山西省中考数学真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相
应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形 中，点 分别是边 ， 的中点，顺次连接
，得到的四边形 是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
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是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接 ，分别交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
∵ 分别为 的中点，∴ ．（依据1）
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形 是瓦里尼翁平行四边形，∴ ，即 ．
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．（依据2）∴ ．
∵ ，∴ ．同理，…
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形 及它的瓦里尼翁平行四边形 ，使得四边形
为矩形；（要求同时画出四边形 的对角线）
(3)在图1中，分别连接 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形 的周长与对角线 长度
的关系，并证明你的结论．
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25．（2023年北京市中考数学真题）如图，在 中，点E，F分别在 ， 上， ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2) ， ， ，求 的长．
26．（2020·广西贵港·中考真题）已知：在矩形 中， ， ， 是 边上的一个动点，
将矩形 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，则线段 _______________， _____________；
（2）如图2，当点 与点 ， 均不重合时，取 的中点 ，连接并延长 与 的延长线交于点 ，
连接 ， ， ．
①求证：四边形 是平行四边形：
②当 时，求四边形 的面积．
27．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为
铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的
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图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直
线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，
这两个矩形的对称中心O，O 所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的
1 2
面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线OO 是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分
1 2
别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
（2）设 ＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相
交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
28．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与
探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
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(1)【问题一】如图①，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点， 交
于点 ， 交 于点 ，则 与 的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 、 经过正方形 的对称中心 ，直线 分
别与 、 交于点 、 ，直线 分别与 、 交于点 、 ，且 ，若正方形 边长为
8，求四边形 的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 的顶点 在正方形 的边 上，顶
点 在 的延长线上，且 ， ．在直线 上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，
求出 的长度；若不存在，说明理由．
29．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，四边形 是边长为 的菱形， ，点 为
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的中点， 为线段 上的动点，现将四边形 沿 翻折得到四边形 ．
(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)当点 在线段 上移动时，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的函数表达式．
30．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边
形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
31．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如图，在圆内接正六边形 中， 分别交
于点G，H，若该圆的半径为12，则线段 的长为（ ）
A．6 B． C． D．8
32.（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）已知在菱形 中， ， ，则菱形
的面积为（ ）
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A． B．126 C．63 D．
33．（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）如图，在菱形 中，分别以 、 为圆心，大于
为半径画弧，两弧分别交于点 、 ，连接 ，若直线 恰好过点 与边 交于点 ，连接 ，
则下列结论错误的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．
34．（2023·辽宁·校联考三模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分
∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB= BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD= ③S =AB•AC④OE= AD⑤S = ，正确的个数是（ ）
平行四边形ABCD APO
△
A．2 B．3 C．4 D．5
35．（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．
再选择一个格点C，使 ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
△
A．1 B．2 C．3 D．4
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36．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，点 为线段 的中
点， 为 上一点，连接 ，将 沿 折叠得到 ．当 时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
37．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，正方形的对角线刚好与正六边形最
长的对角线重合，则 （ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
38．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，以正方形 的对角线 为一边作菱形 ，点F在 的
延长线上，连接 交 于点G，则 ．
39．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）图1、图2的两个正方形网格的面积分别为
、 ，正方形 、 满足 ，下列结论正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
40．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，已知四边形 是平行四边形，下列三个结论：①当
时，它是菱形，②当 时，它是矩形，③当 时，它是正方形．其中结论正确的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
41．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）已知一个正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的
边数是 ．
42．（2023·云南丽江·统考二模）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 ．
43．（2023·辽宁本溪·统考二模）如图，一正六边形 的对角线 的长为 ，则正六边形
的边长为 ．
44．（2023·山东济南·统考三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为 ，且正六边形的边
与正方形的边 在同一条直线上，则 的度数是 ．
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45．（2023·山东济南·统考三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵
爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形
，记空隙处正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ，则下列四个判断：①
② ；③若 ，则 ；④若点A是线段 的中点，则
，其中正确的序号是
46．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考三模）如图，从一个边长为 的铁皮正六边形 上，
剪出一个扇形 ．若将剪下来的扇形 围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
47．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在矩形 中， ，把边 沿
对角线 平移，点 分别对应点 ， 的最小值为 ．
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48．（2023·浙江杭州·校考二模）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的
度数为 ．
49．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上
一个动点，把 BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A 恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为
1
． △
50．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，将矩形纸片 折叠，折痕为 ，点 ， 分别在边 ，
上，点 ， 的对应点分别在 ， ，且点 在矩形内部， 的延长线交边 于点 ， 交边
于点 ． ， ，当点 为 三等分点时， 的长为 ．
51．（2023·福建福州·校考二模）如图，在平行四边形 中，E为 的中点，连接 并延长交
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的延长线于点F，连接 ，且 ．判断四边形 的形状并证明；
52．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考三模）定义：长宽比为 ：1（n为正整数）的矩形称为
矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图①所示．
操作1：将正方形 沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线 上的点G处，折痕为 ．
操作2：将 沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边 ， 上，折痕为 ，则四边形
为 矩形．
设正方形 的边长为1，则 ．
由折叠性质可知 ， ，则四边形 为矩形，∴ ，∴
，∴ ，即 ，∴ ，∴ ，∴四边形 为
矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与 相等的线段是 ， 的值是 ；
（2）已知四边形 为 矩形，模仿上述操作，得到四边形 ，如图②，求证：四边形
是 矩形；
（3）将图②中的 矩形 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩形”，则n的值是 ．
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53．（2023·北京昌平·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数
学之美.如图，正方形 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 ，若
，则四边形 的外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
54．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正
方形ACEF的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．20
55.（2023·四川攀枝花·统考二模）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形 ，
测得 ，活动学具成图（2）所示的四边形 ，测得 ，则图（2）中 的长是
（ ）
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A． B． C． D．
56．（2023·江苏无锡·统考三模）若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
57．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心
连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S，正八边形外侧八个扇形
1
（阴影部分）面积之和为S，则 =（ ）
2
A． B． C． D．1
58．（2023·北京昌平·统考二模）一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正
边形.
59．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上
一个动点，把 BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A 恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为
1
． △
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60．（2023·山东济南·统考三模）如图，折叠矩形纸片 ，使点D落在 边的点M处， 为折痕，
， ．则四边形 面积的最小值是 ．
22
