2022年高考数学试卷（理）（全国乙卷）（解析卷）_A1502026各地模拟卷（超值！）_赠送：2008-2024全套高考真题_高考数学真题_新·PDF版2008-2024·高考数学真题_76

绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集U ={1,2,3,4,5}，集合M满足ð M ={1,3}，则（ ）
U
A. 2ÎM B. 3ÎM C. 4ÏM D. 5ÏM
【答案】A
【解析】
【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可
【详解】由题知M ={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误
故选:A
2. 已知z =1-2i，且z+az +b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A. a=1,b=-2 B. a =-1,b=2 C. a=1,b=2 D.
a =-1,b=-2
【答案】A
【解析】
【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】z = 1 + 2i
z+az +b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i
ì1+a+b=0 ìa=1
由z+az +b=0,得í ,即í
î2a-2=0 îb=-2
故选:A
r r r r r r r r
3. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3，则a×b=（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
第1页 | 共24页【详解】解：∵|a r -2b r |2=|a r |2 -4a r ×b r +4 b r2 ，
又∵|a r |=1,|b r |= 3,|a r -2b r |=3,
r r
∴9=1-4a r ×b +4´3=13-4a r ×b，
r
∴a r ×b =1
故选：C.
4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的
人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
b 
：
n
1
1 b =1+
1 b =1+ 3 1
b =1+ ， 2 1 ， a+ ，…，依此类推，其中
1 a a+ 1 1
1 1 a a +
2 2 a
3
a
k
ÎN*(k =1,2,
L
)．则（ ）
A b <b B. b <b C. b <b D. b <b
. 1 5 3 8 6 2 4 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据a ÎN*k =1,2,…  ，再利用数列 b  与a 的关系判断 b  中各项的大
k n k n
小，即可求解.
【详解】解：因为a k ÎN*k =1,2, L  ，
1 1
1 >
所以a <a+ ，a 1 ，得到b >b ，
1 1 a 1 a+ 1 2
2 1 a
2
1 1
a+ >a+
同理 1 a 1 1 ，可得b <b ，b >b
2 a + 2 3 1 3
2 a
3
1 1 1 1
> ,a+ <a+
a 1 1 1 1 1
又因为 2 a + a + a + ，
2 1 2 a 2 1
a + 3 a +
3 a 3 a
4 4
故b <b ，b >b ；
2 4 3 4
以此类推，可得b >b >b >b >… ，b >b ，故A错误；
1 3 5 7 7 8
b >b >b ，故B错误；
1 7 8
第2页 | 共24页1 1
>
a 1
2 a + ，得b <b ，故C错误；
2 1 2 6
a +…
3 a
6
1 1
a+ >a+
1 1 1 1
a + a +… ，得b <b ，故D正确.
2 1 2 1 4 7
a + a +
3 a 6 a
4 7
故选：D.
5. 设F为抛物线C: y2 =4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若 AF = BF ，则
AB =（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 3 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得
点A坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，F1,0 ，则 AF = BF =2，
即点A到准线x=-1的距离为2，所以点A的横坐标为-1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2
，
所以 AB = 3-12 +0-22 =2 2.
故选：B
6. 执行下边的程序框图，输出的n=（ ）
第3页 | 共24页A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据框图循环计算即可.
【详解】执行第一次循环，b=b+2a =1+2=3，
a =b-a =3-1=2,n=n+1=2，
b2 32 1
-2 = -2 = >0.01；
a2 22 4
执行第二次循环，b=b+2a =3+4=7，
a =b-a =7-2=5,n=n+1=3，
b2 72 1
-2 = -2 = >0.01；
a2 52 25
执行第三次循环，b=b+2a=7+10=17，
a =b-a =17-5=12,n=n+1=4，
b2 172 1
-2 = -2 = <0.01，此时输出n=4.
a2 122 144
故选：B
7. 在正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）
1 1 1 1
A. 平面BEF ^平面BDD B. 平面BEF ^平面ABD
1 1 1 1
C. 平面BEF //平面AAC D. 平面BEF //平面ACD
1 1 1 1 1
第4页 | 共24页【答案】A
【解析】
【分析】证明EF ^平面BDD ，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标
1
系，设AB=2，分别求出平面BEF ，ABD，ACD的法向量，根据法向量的位置关
1 1 1 1
系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体ABCD-ABCD 中，
1 1 1 1
AC ^BD且DD ^平面ABCD，
1
又EF Ì平面ABCD，所以EF ^ DD ，
1
因为E,F 分别为AB,BC的中点，
所以EF P AC，所以EF ^ BD，
又BD
I
DD
1
= D，
所以EF ^平面BDD ，
1
又EF Ì平面BEF ，
1
所以平面BEF ^平面BDD ，故A正确；
1 1
如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，
则B 2,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A 2,0,2,A2,0,0,C0,2,0 ，
1 1
C 0,2,2 ，
1
uuur uuur uuur uuuur
则EF =-1,1,0,EB =0,1,2，DB=2,2,0,DA =2,0,2，
1 1
uuur uuur uuuur
AA =0,0,2,AC =-2,2,0,AC =-2,2,0,
1 1 1
ur
设平面BEF 的法向量为m=x ,y ,z ，
1 1 1 1
uuuv
ìïmv×EF =-x + y =0 ur
则有í uuuv 1 1 ，可取m=2,2,-1，
ïî mv×EB = y +2z =0
1 1 1
ur
同理可得平面ABD的法向量为n =1,-1,-1，
1 1
uur
平面AAC的法向量为n =1,1,0，
1 2
uur
平面ACD的法向量为n =1,1,-1，
1 1 3
ur ur
则m×n =2-2+1=1¹0，
1
所以平面BEF 与平面ABD不垂直，故B错误；
1 1
uur
ur
因为m与n 不平行，
2
第5页 | 共24页所以平面BEF 与平面AAC不平行，故C错误；
1 1
ur uur
因为m与n 不平行，
3
所以平面BEF 与平面ACD不平行，故D错误，
1 1 1
故选：A.
8. 已知等比数列 a  的前3项和为168，a -a =42，则a =（ ）
n 2 5 6
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列 a  的公比为q,q¹0，易得q ¹1，根据题意求出首项与公比，再根
n
据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 a  的公比为q,q¹0，
n
若q =1，则a -a =0，与题意矛盾，
2 5
所以q ¹1，
ì a  1-q3 ìa =96
ïa +a +a = 1 =168 ï 1
则í 1 2 3 1-q ，解得í 1 ，
q=
ï ï
a -a =aq-aq4 =42 î 2
î
2 5 1 1
所以a =aq5 =3.
6 1
故选：D.
9. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
第6页 | 共24页1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最
大值为2r2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而
得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为a，
1 1 1
则S = ×AC×BD×sina£ ×AC×BD£ ×2r×2r =2r2
ABCD 2 2 2
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2
又r2 + h2 = 1
3
1 2 2 ær2 +r2 +2h2 ö 4 3
则V = ×2r2×h= r2×r2×2h2 £ ç ÷ =
O-ABCD 3 3 3 è 3 ø 27
当且仅当r2 =2h2即h= 3 时等号成立，
3
故选：C
10. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与
甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p ,p ,p ，且 p > p > p >0．记该棋手连胜两盘的
1 2 3 3 2 1
概率为p，则（ ）
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两
盘的概率 p ；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 p ；该棋手在第二盘与丙比赛
甲 乙
且连胜两盘的概率 p .并对三者进行比较即可解决
丙
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为 p
甲
则 p =2(1- p )p p +2p p (1- p )=2p (p + p )-4p p p
甲 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
第7页 | 共24页记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 p
乙
则 p =2(1- p )p p +2p p (1- p )=2p (p + p )-4p p p
乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 p
丙
则 p =2(1- p )p p +2p p (1- p )=2p (p + p )-4p p p
丙 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3
则 p - p =2p (p + p )-4p p p -2p (p + p )-4p p p =2p - p  p <0
甲 乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
p - p =2p (p + p )-4p p p -2p (p + p )-4p p p =2p - p  p <0
乙 丙 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1
即 p < p ， p < p ，
甲 乙 乙 丙
则该棋手在第二盘与丙比赛， p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
11. 双曲线C的两个焦点为F,F ，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 作D的切线与C
1 2 1
3
的两支交于M，N两点，且cosÐFNF = ，则C的离心率为（ ）
1 2 5
5 3 13 17
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】C
【解析】
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，可判断N 在
1
双曲线的右支，设ÐFNF =a，ÐF FN =b，即可求出sina，sinb，cosb，在
1 2 2 1
V F 2 F 1 N中由sinÐF 1 F 2 N =sina+b 求出sinÐF 1 F 2 N，再由正弦定理求出 NF 1 ，
NF ，最后根据双曲线的定义得到2b=3a，即可得解；
2
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，
1
3
所以OG ^ NF ，因为cosÐFNF = >0，所以N 在双曲线的右支，
1 1 2 5
所以 OG =a， OF =c， GF =b，设ÐFNF =a，ÐF FN =b，
1 1 1 2 2 1
3 3 4 a b
由cosÐFNF = ，即cosa= ，则sina= ，sinb= ，cosb= ，
1 2 5 5 5 c c
在V F
2
F
1
N中，sinÐF
1
F
2
N =sinp-a-b=sina+b
4 b 3 a 3a+4b
=sinacosb+cosasinb= ´ + ´ = ，
5 c 5 c 5c
第8页 | 共24页2c NF NF 5c
由正弦定理得 = 2 = 1 = ，
sina sinb sinÐFF N 2
1 2
5c 5c 3a+4b 3a+4b 5c 5c a 5a
所以 NF = sinÐFF N = ´ = ， NF = sinb= ´ =
1 2 1 2 2 5c 2 2 2 2 c 2
3a+4b 5a 4b-2a
又 NF - NF = - = =2a，
1 2 2 2 2
b 3
所以2b=3a，即 = ，
a 2
c b2 13
所以双曲线的离心率e= = 1+ =
a a2 2
故选：C
12. 已知函数 f(x),g(x)的定义域均为R，且
f(x)+g(2-x)=5,g(x)- f(x-4)=7．若y = g(x)的图像关于直线x=2对称，
22
g(2)=4，则å f(k)=（ ）
k=1
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性和已知条件得到 f(x)+ f(x-2)=-2，从而得到
f 3+ f 5+ + f 21=-10， f 4+ f 6+ + f 22=-10，然后根据条件得
K K
第9页 | 共24页到 f(2)的值，再由题意得到g3=6从而得到 f 1 的值即可求解.
【详解】因为y = g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2-x= gx+2
，
因为g(x)- f(x-4)=7，所以g(x+2)- f(x-2)=7，即g(x+2)=7+ f(x-2)，
因为 f(x)+g(2-x)=5，所以 f(x)+g(x+2)=5，
代入得 f(x)+7+ f(x-2)=5，即 f(x)+ f(x-2)=-2，
所以 f 3+ f 5+ + f 21=-2´5=-10，
K
f 4+ f 6+
K
+ f 22=-2´5=-10.
因为 f(x)+g(2-x)=5，所以 f(0)+g(2)=5，即 f 0=1，所以
f(2)=-2- f 0=-3.
因为g(x)- f(x-4)=7，所以g(x+4)- f(x)=7，又因为 f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g2-x+gx+4=12，
所以y = g(x)的图像关于点 3,6 中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3=6
因为 f(x)+g(x+2)=5，所以 f 1=5-g3=-1.
所以
22
å f(k)= f 1+ f 2+éf 3+ f 5+ + f 21ù+éf 4+ f 6+ + f 22ù =-1-3-10-10=-24
ë K û ë K û
k=1
.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰
当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为
____________．
3
【答案】 ##0.3
10
【解析】
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C3 =10
5
第10页 | 共24页3
甲、乙都入选的方法数为C1 =3，所以甲、乙都入选的概率P=
3 10
3
故答案为：
10
14. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
2 2
【答案】x-22 +y-32 =13或x-22 +y-12
=5或
æ
x-
4ö
+
æ
y-
7ö
=
65
或
ç ÷ ç ÷
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
x- +y-12 = ；
ç ÷
è 5ø 25
【解析】
【分析】设圆的方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得
即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，
ìF =0 ìF =0
ï ï
若过 0,0 ， 4,0 ，-1,1，则í16+4D+F =0 ，解得íD=-4，
ï ï
1+1-D+E+F =0 E =-6
î î
所以圆的方程为x2 + y2 -4x-6y =0，即x-22 +y-32 =13；
ìF =0 ìF =0
ï ï
若过 0,0 ， 4,0 ， 4,2 ，则í16+4D+F =0 ，解得íD=-4，
ï ï
16+4+4D+2E+F =0 E =-2
î î
所以圆的方程为x2 + y2 -4x-2y =0，即x-22 +y-12 =5；
ì
ïF =0
ìF =0
ï
ï ï 8
若过 0,0 ， 4,2 ，-1,1，则í1+1-D+E+F =0 ，解得íD=- ，
3
ï ï
16+4+4D+2E+F =0
î
ï 14
E =-
ï
î 3
8 14 æ 4ö 2 æ 7ö 2 65
所以圆的方程为x2 + y2 - x- y =0，即 x- + y- = ；
ç ÷ ç ÷
3 3 è 3ø è 3ø 9
第11页 | 共24页ì 16
F =-
ï
5
ì1+1-D+E+F =0 ï
ï ï 16
若过-1,1， 4,0 ， 4,2 ，则í16+4D+F =0 ，解得íD=- ，
5
ï ï
16+4+4D+2E+F =0
î
ïE =-2
ï
î
16 16 æ 8ö 2 169
所以圆的方程为x2 + y2 - x-2y- =0，即 x- +y-12 = ；
ç ÷
5 5 è 5ø 25
2 2
故答案为：x-22 +y-32 =13或x-22 +y-12
=5或
æ
x-
4ö
+
æ
y-
7ö
=
65
ç ÷ ç ÷
è 3ø è 3ø 9
2
æ 8ö 169
或 x- +y-12 = ；
ç ÷
è 5ø 25
3
15. 记函数 f x=coswx+j(w>0,0<j<π)的最小正周期为T，若 f(T)= ，
2
p
x= 为 f(x)的零点，则w的最小值为____________．
9
【答案】3
【解析】
3 π
【分析】首先表示出T ，根据 f T= 求出j，再根据x= 为函数的零点，即可求出
2 9
w的取值，从而得解；
【详解】解： 因为 f x=coswx+j ，（w>0，0<j<π）
2π æ 2π ö 3
所以最小正周期T = ，因为 f T=cos w× +j =cos2π+j=cosj= ，
ç ÷
w è w ø 2
π æ πö
又0<j<π，所以j= ，即 f x=cos ç wx+ ÷，
6 è 6ø
π π π π
又x= 为 f x 的零点，所以 w+ = +kπ,kÎZ，解得w=3+9k,kÎZ，
9 9 6 2
因为w>0，所以当k =0时w =3；
min
故答案为：3
16. 已知x= x 和x= x 分别是函数 f(x)=2ax -ex2（a >0且a ¹1）的极小值点和极
1 2
大值点．若x <x ，则a的取值范围是____________．
1 2
æ1 ö
【答案】ç ,1 ÷
èe ø
第12页 | 共24页【解析】
【分析】由x,x 分别是函数 f x=2ax -ex2的极小值点和极大值点，可得
1 2
xÎ-¥,x Èx ,+¥ 时， f¢x<0，xÎx ,x  时， f¢x>0，再分a>1和
1 2 1 2
0<a<1两种情况讨论，方程2lna×ax -2ex=0的两个根为x,x ，即函数y =lna×ax与
1 2
函数y =ex的图象有两个不同的交点，构造函数gx=lna×ax，根据导数的结合意义结
合图象即可得出答案.
【详解】解： f¢x=2lna×ax -2ex，
因为x,x 分别是函数 f x=2ax -ex2的极小值点和极大值点，
1 2
所以函数 f x 在 -¥,x  和 x ,+¥ 上递减，在 x ,x  上递增，
1 2 1 2
所以当xÎ-¥,x Èx ,+¥ 时， f¢x<0，当xÎx ,x  时， f¢x>0，
1 2 1 2
若a>1时，
当x<0时，2lna×ax >0,2ex<0，
则此时
f¢x>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若0<a<1时，
则方程2lna×ax -2ex=0的两个根为x,x ，
1 2
即方程lna×ax =ex的两个根为x,x ，
1 2
即函数y =lna×ax与函数y =ex的图象有两个不同的交点，
令gx=lna×ax，则g¢x=ln2a×ax,0<a<1，
设过原点且与函数y = gx 的图象相切的直线的切点为  x ,lna×ax 0  ，
0
则切线的斜率为g¢x =ln2a×ax
0 ，
0
故切线方程为y-lna×ax 0 =ln2a×ax 0 x-x  ，
0
则有-lna×ax 0 =-x ln2a×ax 0，
0
1
解得x = ，
0 lna
1
则切线的斜率为 ，
ln2a×alna =eln2a
因为函数y =lna×ax与函数y =ex的图象有两个不同的交点，
1
所以eln2a<e，解得 <a<e，
e
第13页 | 共24页1
又0<a<1，所以 <a<1，
e
æ1 ö
综上所述，a的范围为ç ,1 ÷.
èe ø
【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类
讨论思想，有一定的难度.
三、解答题：共 0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要
求作答．
（一）必考题：共 60分．
17. 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
V
sinCsin(A-B)=sinBsin(C- A)．
（1）证明：2a2 =b2 +c2；
25
（2）若a =5,cosA= ，求 ABC的周长．
V
31
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即
可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.
【小问1详解】
证明：因为sinCsinA-B=sinBsinC-A
，
所以sinCsin AcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsin AcosC ，
第14页 | 共24页a2 +c2 -b2 b2 +c2 -a2 a2 +b2 -c2
所以ac× -2bc× =-ab× ，
2ac 2bc 2ab
a2 +c2 -b2 a2 +b2 -c2
即 -  b2 +c2 -a2 =- ，
2 2
所以2a2 =b2 +c2；
【小问2详解】
25
解：因为a =5,cosA= ，
31
由（1）得b2 +c2 =50，
由余弦定理可得a2 =b2 +c2 -2bccosA，
50
则50- bc=25，
31
31
所以bc= ，
2
故b+c2 =b2 +c2 +2bc=50+31=81，
所以b+c=9，
所以 ABC的周长为a+b+c=14.
V
18. 如图，四面体ABCD中，AD ^CD,AD =CD,ÐADB =ÐBDC，E为AC的中
点．
（1）证明：平面BED^平面ACD；
（2）设AB = BD =2,ÐACB =60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF
与平面ABD所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
4 3
（2）CF 与平面ABD所成的角的正弦值为
7
【解析】
第15页 | 共24页【分析】（1）根据已知关系证明△ABD≌△CBD，得到AB =CB，结合等腰三角形三线
合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到BE ^ DE，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法
则进行计算即可.
【小问1详解】
因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC ^DE；
在△ABD和 CBD中，因为AD=CD,ÐADB=ÐCDB,DB= DB，
V
所以△ABD≌△CBD，所以AB =CB，又因为E为AC的中点，所以AC ^ BE；
又因为DE,BE Ì平面BED，DEÇBE = E，所以AC ^平面BED，
因为ACÌ平面ACD，所以平面BED^平面ACD.
【小问2详解】
连接EF ，由（1）知，AC ^平面BED，因为EF Ì平面BED，
1
所以AC ^ EF，所以S = AC×EF ，
△AFC 2
当EF ^ BD时，EF 最小，即△AFC的面积最小.
因为△ABD≌△CBD，所以CB= AB=2，
又因为ÐACB=60°，所以 ABC是等边三角形，
V
因为E为AC的中点，所以AE = EC =1，BE = 3，
1
因为AD^CD，所以DE = AC =1,
2
在 DEB中，DE2 +BE2 = BD2，所以BE ^ DE.
V
以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，
  uuur uuur  
则A1,0,0,B 0, 3,0 ,D0,0,1 ，所以AD=-1,0,1,AB= -1, 3,0 ，
r
设平面ABD的一个法向量为n=x,y,z，
uuuv
ì ïnv×AD=-x+z =0 r  
则í ，取y = 3，则n= 3, 3,3 ，
uuuv
ïînv×AB=-x+ 3y =0
æ 3 3ö uuur æ 3 3ö
又因为C-1,0,0,Fç0, , ÷，所以CF =ç1, , ÷，
ç ÷ ç ÷
4 4 4 4
è ø è ø
r uuur
r uuur n×CF 6 4 3
cos n,CF = = =
r uuur
所以 n CF 7 7 ，
21´
4
第16页 | 共24页æ pö
设CF 与平面ABD所成的角的正弦值为q ç 0£q£ ÷，
è 2ø
r uuur 4 3
所以sinq= cos n,CF = ，
7
4 3
所以CF 与平面ABD所成的角的正弦值为 .
7
19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总
材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量
（单位：m3），得到如下数据：
总
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
根部横截面积
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
10 10 10
并计算得 åx2 =0.038,åy2 =1.6158,åx y =0.2474．
i i i i
i=1 i=1 i=1
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积
总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林
区这种树木的总材积量的估计值．
n
å(x -x)(y - y)
i i
附：相关系数r = i=1 , 1.896 »1.377．
n n
å(x -x)2å(y - y)2
i i
i=1 i=1
第17页 | 共24页【答案】（1）0.06m2；0.39m3
（2）0.97
（3）1209m3
【解析】
【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该
林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的
总材积量的估计值．
【小问1详解】
0.6
样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x = =0.06
10
3.9
样本中10棵这种树木的材积量的平均值y = =0.39
10
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，
平均一棵的材积量为0.39m3
【小问2详解】
10 10
åx -xy - y åx y -10xy
i i i i
r = i=1 = i=1
10 10 æ 10 öæ 10 ö
åx -x2åy - y2 åx2 -10x2 åy2 -10y2
i i ç i ÷ç i ÷
i=1 i=1 è i=1 øè i=1 ø
0.2474-10´0.06´0.39 0.0134 0.0134
= = » »0.97
(0.038-10´0.062)(1.6158-10´0.392) 0.0001896 0.01377
则r»0.97
【小问3详解】
设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
0.06 186
可得 = ，解之得Y=1209m3．
0.39 Y
则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3
æ3 ö
20. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,-2,B ç ,-1 ÷两
è2 ø
点．
（1）求E的方程；
第18页 | 共24页（2）设过点P1,-2
的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交
uuur uuur
于点T，点H满足MT =TH ．证明：直线HN过定点．
y2 x2
【答案】（1） + =1
4 3
（2）(0,-2)
【解析】
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【小问1详解】
æ3 ö
解：设椭圆E的方程为mx2 +ny2 =1，过A0,-2,B ç ,-1 ÷，
è2 ø
ì 4n=1
ï 1 1
则í9 ，解得m= ，n= ，
m+n=1 3 4
ï
î4
y2 x2
所以椭圆E的方程为： + =1.
4 3
【小问2详解】
3 2
A(0,-2),B( ,-1)，所以AB: y+2= x，
2 3
x2 y2
①若过点P(1,-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入 + =1，
3 4
2 6 2 6 2
可得M(1, )，N(1,- )，代入AB方程y = x-2，可得
3 3 3
2 6 uuur uuur 2 6
T( 6+3, )，由MT =TH 得到H(2 6+5, ).求得HN方程：
3 3
2 6
y =(2- )x-2，过点(0,-2).
3
②若过点P(1,-2)的直线斜率存在，设kx- y-(k+2)=0,M(x ,y ),N(x ,y ).
1 1 2 2
ìkx- y-(k+2)=0
ï
联立í x2 y2 ,得(3k2 +4)x2 -6k(2+k)x+3k(k+4)=0，
+ =1
ï
î 3 4
第19页 | 共24页ì 6k(2+k) ì -8(2+k)
x +x = y + y =
ï ï 1 2 3k2 +4 ï ï 1 2 3k2 +4
可得í ，í ，
3k(4+k) 4(4+4k-2k2)
ï ï
x x = y y =
ïî 1 2 3k2 +4 ïî 2 2 3k2 +4
-24k
且x y +x y = (*)
1 2 2 1 3k2 +4
ì y = y
ï 1 3y
联立í 2 ,可得T( 1 +3,y ),H(3y +6-x ,y ).
y = x-2 2 1 1 1 1
ï
î 3
y - y
可求得此时HN : y- y = 1 2 (x-x )，
2 3y +6-x -x 2
1 1 2
将(0,-2)，代入整理得2(x +x )-6(y + y )+x y +x y -3y y -12=0，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
将(*)代入，得24k+12k2 +96+48k-24k-48-48k+24k2 -36k2 -48=0,
显然成立，
综上，可得直线HN过定点(0,-2).
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
21. 已知函数 f x=ln1+x+axe-x
（1）当a =1时，求曲线y = f x 在点  0, f 0 处的切线方程；
（2）若 f x 在区间 -1,0,0,+¥ 各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）y =2x
（2）(-¥,-1)
【解析】
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对a分类讨论,对x分(-1,0),(0,+¥)两部分研究
【小问1详解】
f(x)的定义域为(-1,+¥)
x
当a =1时, f(x)=ln(1+x)+ , f(0)=0,所以切点为(0,0)
ex
1 1-x
f¢(x)= + , f¢(0)=2,所以切线斜率为2
1+x ex
所以曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y =2x
第20页 | 共24页【小问2详解】
ax
f(x)=ln(1+x)+
ex
1 a(1-x) ex +a  1-x2
f¢(x)= + =
1+x ex (1+x)ex
设g(x)=ex +a  1-x2
1°若a >0,当xÎ(-1,0),g(x)=ex +a  1-x2 >0,即 f¢(x)>0
所以 f(x)在(-1,0)上单调递增, f(x)< f(0)=0
故 f(x)在(-1,0)上没有零点,不合题意
2°若-1„ a„ 0,当xÎ(0,+¥),则g¢(x)=ex -2ax>0
所以g(x)在(0,+¥)上单调递增所以g(x)> g(0)=1+a…0,即 f¢(x)>0
所以 f(x)在(0,+¥)上单调递增, f(x)> f(0)=0
故 f(x)在(0,+¥)上没有零点,不合题意
3°若a<-1
(1)当xÎ(0,+¥),则g¢(x)=ex -2ax>0,所以g(x)在(0,+¥)上单调递增
g(0)=1+a<0,g(1)=e>0
所以存在mÎ(0,1),使得g(m)=0,即 f¢(m)=0
当xÎ(0,m), f¢(x)<0, f(x)单调递减
当xÎ(m,+¥), f¢(x)>0, f(x)单调递增
所以
当xÎ(0,m), f(x)< f(0)=0
当x®+¥, f(x)®+¥
所以 f(x)在(m,+¥)上有唯一零点
又(0,m)没有零点,即 f(x)在(0,+¥)上有唯一零点
(2)当xÎ(-1,0),g(x)=ex +a  1-x2
设h(x)= g¢(x)=ex -2ax
h¢(x)=ex -2a>0
所以g¢(x)在(-1,0)单调递增
1
g¢(-1)= +2a<0,g¢(0)=1>0
e
第21页 | 共24页所以存在nÎ(-1,0),使得g¢(n)=0
当xÎ(-1,n),g¢(x)<0,g(x)单调递减
当xÎ(n,0),g¢(x)>0,g(x)单调递增 g(x)< g(0)=1+a<0
,
1
又g(-1)= >0
e
所以存在tÎ(-1,n),使得g(t)=0,即 f¢(t)=0
当xÎ(-1,t), f(x)单调递增,当xÎ(t,0), f(x)单调递减
有x®-1, f(x)®-¥
而 f(0)=0,所以当xÎ(t,0), f(x)>0
所以 f(x)在(-1,t)上有唯一零点,(t,0) 上无零点
即 f(x)在(-1,0)上有唯一零点
所以a<-1,符合题意
所以若 f(x)在区间(-1,0),(0,+¥)各恰有一个零点,求a的取值范围为(-¥,-1)
【点睛】方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需
要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
（二）选考题，共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
ìïx= 3cos2t
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í ，（t为参数），以坐标原点
ïîy =2sint
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
æ pö
rsin
ç
q+
÷
+m=0．
è 3ø
第22页 | 共24页（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】（1） 3x+ y+2m=0
19 5
（2）- £m£
12 2
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【小问1详解】
æ pö 1 3
因为l：rsin ç q+ ÷ +m=0，所以 r×sinq+ r×cosq+m=0，
è 3ø 2 2
1 3
又因为r×sinq= y,r×cosq= x，所以化简为 y+ x+m=0，
2 2
整理得l的直角坐标方程： 3x+ y+2m=0
【小问2详解】
联立l与C的方程，即将x= 3cos2t，y =2sint 代入
3x+ y+2m=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0，
所以3(1-2sin2t)+2sint+2m=0，
化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0，
要使l与C有公共点，则2m=6sin2t-2sint-3有解，
令sint =a，则aÎ-1,1 ，令 f(a)=6a2 -2a-3，(-1≤a≤1)，
1
对称轴为a= ，开口向上，
6
所以 f(a) = f(-1)=6+2-3=5，
max
1 1 2 19
f(a) = f( )= - -3=- ，
min 6 6 6 6
19
所以- £2m£5
6
19 5
m的取值范围为- £m£ .
12 2
[选修 4-5：不等式选讲]
3 3 3
23. 已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
a2 +b2 +c2 =1
第23页 | 共24页1
（1）abc£ ；
9
a b c 1
（2） + + £ ；
b+c a+c a+b 2 abc
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
【小问1详解】
3 3 3
证明：因为a >0，b>0，c>0，则 ， ， ，
a2 >0 b2 >0 c2 >0
3 3 3
所以 a2 +b2 +c2 3 3 3 3 ，
³ a2 ×b2 ×c2
3
即abc 1 2 £ 1 ，所以abc£ 1 ，当且仅当 a 3 2 =b 3 2 =c 3 2 ，即a =b=c= 3 1 时取等号．
3 9 9
【小问2详解】
证明：因为a >0，b>0，c>0，
所以b+c³2 bc ，a+c³2 ac ，a+b³2 ab ，
3 3 3
a a a2 b b b2 c c c2
所以 ， ，
£ = £ = £ =
b+c 2 bc 2 abc a+c 2 ac 2 abc a+b 2 ab 2 abc
3 3 3 3 3 3
a b c a2 b2 c2 a2 +b2 +c2 1
+ + £ + + = =
b+c a+c a+b 2 abc 2 abc 2 abc 2 abc 2 abc
当且仅当a=b=c时取等号．
第24页 | 共24页