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2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（理）
一、选择题
1.设2(z+z)+3(z-z)=4+6i，则z = ( ）
A.1-2i
B.1+2i
C.1+i
D.1-i
答案：
C
解析：
设z =a+bi，则z = a - bi，2(z+z)+3(z-z)=4a+6bi=4+6i，所以a =1，b=1
，所以z =1+i .
2.已知集合S ={s|s = 2n+1,nÎZ}，T ={t |t = 4n+1,nÎZ}，则S T = ( )
I
A.Æ
B.S
C.T
D.Z
答案：
C
解析：
s =2n+1，nÎZ；
当n=2k ，kÎZ时，S ={s |s = 4k +1,k Î Z}；当n=2k +1，kÎZ时，
S ={s|s = 4k +3,k ÎZ}.所以TÜS，S T =T .故选C.
I
3.已知命题 p:$xÎR﹐sinx<1；命题 q:"xÎR,e|x| ³1 ，则下列命题中为真命题的是（
）
第1页 | 共16页A. pÙq
B.ØpÙq
C. pÙØq
D.Ø(pÚq)
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域sinxÎ[-1,1]，故$xÎR，sinx<1， p 为真命题，而函数
y=y=e|x| 为偶函数，且x ³0时， y=e|x| ³1 ，故"xÎR， y=e|x| ³1 恒成立.，则q也
为真命题，所以 pÙq为真，选A.
1- x
4.设函数 f (x) = ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1+ x
A. f (x -1)-1
B. f (x -1)+1
C. f (x +1)-1
D. f (x +1)+1
答案：
B
解析：
1-x 2 2
f(x)= =-1+ ， f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x)= 为奇
1+x 1+x x
函数.
5.在正方体 ABCD-ABCD 中，P 为 BD 的中点，则直线PB与 AD 所成的角为（
1 1 1 1 1 1 1
）
p
A.
2
p
B.
3
p
C.
4
第2页 | 共16页p
D.
6
答案：
D
解析：
如图， ÐPBC 为直线PB与 AD 所成角的平面角.
1 1
易知 DABC 为正三角形，又P 为 AC 中点，所以ÐPBC = p .
1 1 1 1 1 6
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每
名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
答案：
C
解析：
所求分配方案数为C2A4 =240.
5 4
1
7.把函数 y = f (x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲
2
p p
线向右平移 个单位长度，得到函数 y =sin(x- )的图像，则 f (x)=（ ）
3 4
x 7p
A.sin( - )
2 12
x p
B.sin( + )
2 12
第3页 | 共16页7p
C.sin(2x- )
12
p
D.sin(2x + )
12
答案：
B
解析：
p 左移 p p 1 p
逆向：y=sin(x- )¾¾¾3®y=sin(x+ )¾横¾坐¾标变¾为原¾来的¾2倍¾®y=sin( x+ ).
4 12 2 12
故选B.
7
8.在区间(0,1) 与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
4
7
A.
9
23
B.
32
9
C.
32
2
D.
9
答案：
B
解析：
7
由题意记xÎ(0,1)，yÎ(1,2)，题目即求x + y > 的概率，绘图如下所示.
4
1 1 3 3
1´1- AM ×AN 1- ´ ´
S 23
故P = 阴 = 2 = 2 4 4 = .
S 1´1 1 32
正ABCD
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.
第4页 | 共16页如图，点E,H,G 在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的
高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差
称为“表目距的差”，则海岛的高AB=（ ）
表高´表距
A.
+表高
表目距的差
表高´表距
B.
-表高
表目距的差
表高´表距
C.
+表距
表目距的差
表高´表距
D.
-表距
表目距的差
答案：
A
解析：
连接DF交AB于M，则AB= AM +BM .
MB MB
记ÐBDM =a，ÐBFM =b，则 - =MF-MD=DF.
tanb tana
FG ED
而tanb= ，tana= .所以
GC EH
MB MB 1 1 GC EH GC-EH
- =MB( - )=MB×( - )=MB× .
tanb tana tanb tana FG ED ED
ED×DF 表高´表距 表高´表距
故MB= = ，所以高AB= +表高 .
GC-EH 表目距的差 表目距的差
第5页 | 共16页10.设a ¹0，若
x=a
为函数
f(x)=a(x-a)2(x-b)
的极大值点，则
A.ab
C.ab< a2
D.ab > a2
答案：
D
解析：
若a >0，其图像如图（1），此时，0b>0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，
a2 b2
PB £2b，则C 的离心率的取值范围是（ ）
2
A.[ ,1)
2
1
B.[ ,1)
2
2
C.(0, ]
2
1
D.(0, ]
2
答案：
C
解析：
x2 y2 y2
由题意，点B(0,b)，设 P(x,y ) ，则 0 + 0 =1Þx2 =a2(1- 0)，故
0 0 a2 b2 0 b2
y2 c2
PB 2 =x2+(y -b)2 =a2(1- 0)+y2-2by +b2 =- y2-2by +a2+b2 ，
0 0 b2 0 0 b2 0 0
y Î[-b,b]
.
0
b3
由题意，当 y =-b 时， PB 2 最大，则- £-b，b2 ³ c2，a2 -c2 ³ c2，
0 c2
c 2 2
c= £ ，cÎ(0, ].
a 2 2
12.设a=2ln1.01，b=ln1.02， c= 1.04-1 ，则（ ）
A.ac
故g(x) 在[0.2) 上单调递增，所以g(0.01) > g(0) = 0，故 .
综上，a>c>b.
二、填空题
x2
13.已知双曲线C ： - y2 =1(m>0)的一条渐近线为 3x+my=0，则C 的焦距为
m
.
答案：
4
解析：
b
易知双曲线渐近线方程为 y = ± x ，由题意得a2 = m ，b2 =1，且一条渐近线方程为
a
3
y =- x，则有m=0（舍去），m=3，故焦距为2c = 4.
m
r r r r r
14.已知向量a = (1,3)，b=(3,4)，若(a-lb)^b，则l= .
答案：
3
5
解析：
第8页 | 共16页r r r 3
由题意得(a -lb)×b = 0，即15-25l=0，解得l= .
5
15.记DABC的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b， c ，面积为 3 ， B = 60°，
a2 +c2 = 3ac，则b = .
答案：
2 2
解析：
1 3
S = acsinB = ac= 3，所以ac = 4，
DABC 2 4
由余弦定理，b2 = a2 +c2 -ac = 3ac-ac = 2ac =8，所以b = 2 2 .
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的
三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
答案：
②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面PAC^平面ABC，PA = PC = 2 ， BA=BC= 5 ，
AC=2，俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2），PA^平面ABC，PA=1， AC=AB= 5 ，BC=2，俯视
图为④.
第9页 | 共16页三、解答题
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和 y ， 样本方差分别
己为s2 和S2
.
1 2
（1）求x， y ，s2 ，s2 ：
1 2
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果
s2 +s2
y-x ³2 1 2 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否
10
则不认为有显著提高 ) 。
答案：
见解析
解析：
（1）各项所求值如下所示.
第10页 | 共16页1
x = (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0，
10
1
y = (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，
10
1
s2 = ´[(9.7-10.0)2 +2´(9.8-10.0)2 +(9.9-10.0)2 +2´(10.0-10.0)2 +(10.1-10.0)2
1 10
+2´(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036
，
1
s2 = ´[(10.0-10.3)2 +3´(10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2´(10.4-10.3)2 +
2 10
2´(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04
.
s2 +s2 s2 +s2
y -x =0.3,2 1 2 0.34 y-x <2 1 2
（2）由（1）中数据得 .显然 .所以不认
10 10
为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.如图，四棱锥P- ABCD的底面是矩形，PD^底面ABCD，PD= DC =1
,
M为
BC 的中点，且PB^AM.
（1）求BC ；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值.
答案：
第11页 | 共16页见解析
解析：
（1）因为PD^平面ABCD，且矩形ABCD中，AD^DC.所以以 u D uu A r ， u D uu C r ， u D uu P r
分别为 x ， y ，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D - xyz .设BC =t，
uuur
A(t,0,0)，B(t,1,0)，M( t ,1,0)，P(0,0,1)，所以PB=(t,1,-1)， u A u M uur = (- t ,1,0)
2 2
uuur uuuur t2
因为PB^AM，所以PB×AM =- +1=0所以t = 2 ，所以BC = 2 .
2
uuur
(2)设平面APM的一个法向量为m =(x,y,z)，由于AP=(- 2,0,1)，则
ur uuur
ìm×AP =- 2x+z =0
ï
í ur uuuur 2 .令x = 2 ，的m=( 2,1,2).设平面PMB的一个法向量为
ïm×AM =- x+ y =0
î 2
r uuur
r ì ïn×CB = 2x¢=0 r
n=(x¢,y¢,z¢)，则í .令y¢=1，的n=(0,1,1).所以
r uuur
ïîn×PB = 2x¢+ y¢-z¢=0
ur r
ur r m×n 3 3 14 70
cosám,nñ = = = ，所以二面角A-PMN-B的正弦值为 .
ur r
|m||n| 7´ 2 14 14
2 1
19.记 S 为数列 {a} 的前 n 项和， b 为数列 {S} 的前 n 项积，已知 + =2.
n n n n
S b
n n
{b}
（1）证明：数列 是等差数列；
n
{a}
（2）求 的通项公式.
n
答案：
见解析
解析：
2 1 b
（1）由已知 + =2，则 n = S (n³2)，
S b b n
n n n-1
2b 1 1
3
Þ n-1 + =2Þ2b +2=2b Þb -b = (n³2)，b = ，
b b n-1 n n n-1 2 1 2
n n
{b} 3 1
故 是以 为首项， 为公差的等差数列.
n
2 2
第12页 | 共16页2 2 n+2
3 1 n+2
（2）由（1）知b = +(n-1) = ，则 + =2ÞS = ，
n 2 2 2 S n+2 n n+1
n
n+2 n+1 1
3
n =1时，a = S = ，n³2时，a =S -S = - =- ，
1 1 2 n n n-1 n+1 n n(n+1)
ì3
,n =1
ï
ï2
故a = í .
n 1
ï- ,n³ 2
ïî n(n+1)
20.设函数 f (x) = ln(a- x)，已知x =0是函数 y = xf (x)的极值点.
a
（1）求 ；
x+ f(x)
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x) <1.
xf(x)
答案：
见解析
解析：
（1）令h(x)= xf(x)= xln(a-x)
x
则h¢(x)=ln(a-x)- .
a-x
∵x=0是函数y = xf(x)的极值点.
∴h¢(0)=0.
解得：a =1；
由（1）可知： f(x)=ln(1-x)
（2）
x+ f(x) 1 1
g(x)= = + ，
xf(x) f(x) x
1 1 1 1-x
要证g(x)<1，即证 + <1Û + <0（x<1且x¹0）
f(x) x ln(1-x) x
x+(1-x)ln(1-x)
Û <0.
xln(1-x)
∵当x<0时，x×ln(1-x)<0.
第13页 | 共16页当0< x<1时，x×ln(1-x)<0.
∴只需证明x+(1-x)ln(1-x)>0
令H(x)= x+(1-x)ln(1-x)，且易知H(0)=0.
-1
则H¢(x)=1-ln(1-x)+ (1-x)=-ln(1-x)
1-x
（i）当x<0时，易得H¢(x)<0，则H(x)在(-¥,0)上单调递减，
∵H(0)=0，∴H(x)> H(0)=0，得证.
（ii）当0< x<1时，易得H¢(x)>0，则H(x)在(0,1)上单调递增.
∵H(0)=0，∴H(x)> H(0)=0，得证.
综上证得g(x)<1.
21.已知抛物线C ： x2 =2py(p>0) 的焦点为F ，且F 与圆M： x2+(y+4)2 =1 上点
的距离的最小值为4.
（1）求 p ；
（2）若点P 在M上，PA，PB是C 的两条切线， A，B 是切点，求DPAB面积的
最大值.
答案：
见解析
解析：
p x2+(y+4)2 =1 p
（1）焦点F(0, )到 的最短距离为 +3 = 4，所以 p = 2.
2 2
1 A(x,y) B(x,y ) P(x,y)
（2）抛物线 y = x2，设 ， ， ，得
1 1 2 2 0 0
4
l 1 1 1 1
：y = x (x- x )+ y = x x- x2 = x x- y ，
PA 2 1 1 1 2 1 4 1 2 1 1
l ： y = 1 x x- y ，且x 2 =-y 2-8y -15，
PB 2 2 2 0 0 0
ì 1
y = x x - y
l l P(x,y) ï ï 0 2 1 0 1
PA
，
PB
都过点
0 0
，则í ，
1
ï
y = x x - y
ïî 0 2 2 0 2
第14页 | 共16页l 1 1
故 ： y = x x- y ，即 y = x x- y ，
AB 0 2 0 2 0 0
ì 1
联立 ï í y = 2 x 0 x- y 0 ，得x2-2x 0 x+4y 0 =0，D=4x 0 2-16y 0 ，
ï îx2 = 4y
x 2
所以 AB = 1+ 0 × 4x 2 -16y = 4+x 2 × x 2 -4y ，
4 0 0 0 0 0
x 2 -4y
0 0 1 1
d = ，所以S = AB ×d = x 2 -4y × x 2 -4y
P®AB x 2 +4 DPAB 2 P®AB 2 0 0 0 0
0
1 3 1 3
= (x 2-4y )2 = (-y 2-12y -15)2.
2 0 0 2 0 0
而 y Î[-5,-3] ，故当 y =-5 时， S 达到最大，最大值为20 5.
0 0 DPAB
22.在直角坐标系xOy中， C 的圆心为C(2,1)，半径为1.
（1）写出 C 的一个参数方程;
x
（2）过点F(4,1)作 C 的两条切线.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，
求这两条切线的极坐标方程.
答案：
见解析
解析：
ìx=2+cosq
（1）
C 的参数方程为í （q为参数）
îy =1+sinq
（2） C 的方程为(x-2)2 +(y-1)2 =1
①当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-4)，化简为kx- y-4k +1=0，
|2k -1-4k +1|
此时圆心C(2,1)到直线的距离为d = =r =1，
k2 +1
化简得2|k|= k2 +1，
第15页 | 共16页3
两边平方有4k2 =k2 +1，所以k =± .
3
代入直线方程并化简得x- 3y+ 3-4=0或x+ 3y- 3-4=0化为极坐标方程为
5p
rcosq- 3rsinq=4- 3 Ûrsin(q+ )=4- 3
6
p
或rcosq+ 3rsinq=4+ 3 Ûrsin(q+ )=4+ 3.
6
23.已知函数 f(x)=|x-a|+|x+3|.
（1）当a =1时，求不等式 f(x)³6的解集；
（2）若 f(x)>-a，求a的取值范围.
答案：
见解析
解析：
当a =1时， f(x)³6Û|x-1|+|x+3|³6，
当x£-3时，不等式Û1-x-x-3³6，解得x£-4；
当-3< x<1时，不等式Û1-x+x+3³6，解得xÎÆ；
当x³1时，不等式Û x-1+x+3³6，解得x³2.
综上，原不等式的解集为(-¥,-4] [2,+¥).
U
（2）若 f(x)>-a，即 f(x) >-a，
min
因为 f(x)=|x-a|+|x+3|³|(x-a)-(x+3)|=|a+3|（当且仅当(x-a)(x+3)£0时，
等号成立），所以 f(x) =|a+3|，所以|a+3|>-a，即a+3-a，解得
min
3
aÎ(- ,+¥).
2
第16页 | 共16页
