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2022-2023 学年北京市大兴区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，共16分）
1. 微纳制造技术是“科学绣花针”，可制造与处理那些大小处于微米到纳米级别物体的高
新技术．利用该技术制造的某零件直径为0.0000000007米，将0.0000000007用科学记数
法表示为( )
A. 7×10−10 B. 0.7×10−9 C. 7×109 D. 0.7×1010
1
2. 分式 有意义，则x的取值范围是( )
x−4
A. x>4 B. x<4 C. x≠4 D. x≠−4
3. 下列计算正确的是( )
2x 4x2
A. x3 ⋅x2 ⋅x=x5 B. (x2 ) 3=x5 C. (− ) 2= D. x2+x3=x5
y y2
4. 一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
x
5. 若把分式 中的x，y都变为原来的5倍，则分式的值( )
x+2y
1
A. 是原分式值的5倍 B. 是原分式值的 C. 与原分式值相等 D.
5
1
是原分式值的
10
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=CD，AD=BC，则
图中的全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
7. 下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. x2+4xy−x=x(x+4 y)
B. x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x
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学科网（北京）股份有限公司 1 20C. x2−6x+5=(x−1)(x−5)
D. (x+2)(x−2)=x2−4
8. 如图，△ABC中，AB>AC，AD是中线，有下面四个结论：
①△ABD与△ACD的面积相等；
1
②AD< (AB+AC)；
2
③若点P是线段AD上的一个动点(点P不与点A，D重合)，连接PB，PC，则△ABP的面
积比△ACP的面积大；
④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点(点P与点Q不重合)，若DP=DQ，连接PB，
QC，则PB//QC．
所有正确结论的序号是( )
A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①③④
二、填空题（本题共8小题，共16分）
9. 计算：π0−3−1=______．
a−2
10. 若分式 值为0，则a的值为______．
a
11. 在平面直角坐标系xOy中，点P(1,2)关于y轴的对称点Q的坐标是______．
3 3x
12. 计算： + =______．
x+1 x+1
13. 若x2+3x=2，则多项式2x2+6x+3的值是______．
14. 若P=(x+2) 2，Q=(x+1)(x+3)，比较大小：P ______Q(用“>“或“<“或“=”
填空)．
15. 请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是______．
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学科网（北京）股份有限公司 2 2016. 如图，在△ABC中，AB∠MAB；
②BM=CM；
③射线BM是∠EBC的角平分线；
1
④∠BMC=90°− ∠BAC．
2
所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本题共12小题，共68分）
17. 分解因式：5a2−10ab+5b2．
a 1 3a+b
18. 若 = ，求分式 的值．
b 2 b
4x y 4
19. 计算： ⋅ ÷ ．
y3 2x2 x y3
1
20. 先化简，再求值：x(x+2)−(x+1)(x−5)，其中x=− ．
2
21. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．
求证：BC=DC．
2x 1
22. 计算： − ．
x2−4 y2 x−2y
x−3 3
23. 解分式方程： +1= ．
x−2 2−x
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学科网（北京）股份有限公司 3 2024. 阅读下面的材料：
已知△ABC中，AC>BC，在AC上确定一点P，使得AC=PB+PC．
下面是小方设计的尺规作图过程：
作法：如图，
1
①分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，点N，作直线
2
MN，直线MN交AC于点P；
②连接PB．
所以点P即为所求．
根据小方设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵MN是AB的垂直平分线，直线MN交AC于点P，
∴PA=______(______)(填推理的依据)．
∵AC=PA+PC，
∴AC=PB+PC．
∴点P即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司 4 2025. 为促进学生加强体育锻炼，某学校准备购买一些篮球和足球．已知篮球单价比足球的
单价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球数量是足球数量的2倍．
求篮球和足球的单价分别是多少元？
26. 已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M是AB的中点，作∠DME=90°，
使得射线MD与射线ME分别交射线AC，CB于点D，E．
(1)如图1，当点D在线段AC上时，线段MD与线段ME的数量关系是______；
(2)如图2，当点D在线段AC的延长线上时，用等式表示线段CD，CE和BC之间的数量关
系并加以证明．
27. 如图，△ABC为等边三角形，AC=AD，∠DAC>60°，连接BD交AC于点E，分
别延长DA，CB交于点F．
(1)依题意补全图形；
(2)若∠DBC=40°，直接写出∠BAF的度数为______；
(3)用等式表示线段CF，AF，AE之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为不重合的两个点，若点C到A，B两点的距离相等，
则称点C是线段AB的“公正点”.特别地，当60°≤∠ACB≤180°时，称点C是线段AB的
“近公正点”．
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学科网（北京）股份有限公司 5 20(1)已知A(1,0)，B(3,0)，在点C(2,0)，D(1,2)，E(2,−2.3)，F(0,4)中，线段AB的
“公正点”为______；
(2)已知点M(0,3)，作∠OMN=60°，射线MN交x轴负半轴于点N．
①若点P在y轴上，点P是线段MN的“公正点”，则点P的坐标是______；
②若点Q(a,b)是线段MN的“近公正点”，直接写出b的取值范围是______．
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学科网（北京）股份有限公司 6 20答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：0.0000000007=7×10−10．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，
n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】C
1
【解析】解：∵分式 有意义，
x−4
∴x−4≠0，
解得x≠4．
故选：C．
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵x3 ⋅x2 ⋅x=x3+2+1=x6，
∴A选项的结论不符合题意；
∵(x2
)
3=x2×3=x6，
∴B选项的结论不符合题意；
2x 4x2
∵(− ) 2= ，
y y2
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学科网（北京）股份有限公司 7 20∴C选项的结论符合题意；
∵x2，x3不是同类项，不能合并，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：C．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则和合并同类项的法则对每个选项进行
逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则和合并同类项的法则，正
确利用上述法则进行解答是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式，一元一次方程的解法，熟记公式是解题的关键．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列式进行计算即可求解．
【解答】
解：设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5．
故选：B．
5.【答案】C
x
【解析】解：把分式 中的x，y都变为原来的5倍，可得：
x+2y
5x x
= ．
5x+10 y x+2y
分式的值与原分式值相等，
故选：C．
根据分式的基本性质解答即可．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除
以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
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学科网（北京）股份有限公司 8 206.【答案】D
【解析】解：共4对，△ABD △CDB，△ACD △CAB，△AOD △COB，△AOB △COD，
理由是：在△ABD和△CDB中≌ ≌ ≌ ≌
{AB=CD
AD=BC，
BD=BD
∴△ABD △CDB，
同理△AC≌D △CAB，
∵AB=CD，≌AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB △COD，
同理△AO≌D △COB，
故选：D． ≌
根据平行四边形的判定推四边形ABCD是平行四边形，推出OA=OC，OD=OB，根据全等三
角形的判定定理SAS，SSS，推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定和全等三角形的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推
理的能力．
7.【答案】C
【解析】解：A、x2+4xy−x=x(x+4 y−1)，原变形错误，不符合题意；
B、不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、不是因式分解，不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义解答即可．
本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项
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学科网（北京）股份有限公司 9 20式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：①如图①，作AE⊥BC，垂足为E．
∵D为BC中点，
∴BD=BC，
1
∴S = BD⋅AE，
△ABD 2
1
S = CD⋅AE，
△ACD 2
∴S =S ，
△ABD △ACD
故本选项正确；
②延长AD，使得ED=AD，
则△ADC △EDC，
∴AB=CE≌，
∴AE
【解析】解：P−Q
=(x+2) 2−(x+1)(x+3)
=x2+4x+4−(x2+4x+3)
=x2+4x+4−x2−4x−3
=1，
即P−Q=1，
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学科网（北京）股份有限公司 13 20∴P>Q．
故答案为：>．
把两个式子相减，即可判断．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.【答案】xy(答案不唯一)
【解析】解：这个整式A可以是：xy(答案不唯一)．
故答案为：xy(答案不唯一)．
根据因式分解的定义解答即可．
本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项
式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：∵∠MCD是△ACM的外角，
∴∠MCD>∠MAC，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAB=∠MAC，
∴∠MCD>∠MAB，
因此①正确；
如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分别为N、P、Q，
∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，
∴MN=MQ，MP=MQ，
∴MN=MP，
∴BM平分∠CBE，
因此③正确；
∵ABMC，
因此②不正确；
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学科网（北京）股份有限公司 14 20由上述证明可知，点M是△ABC的内角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分线的交点，
∴∠BMC=180°−∠MBC−∠MCB
1
=180°− (∠BCD+∠CBE)
2
1
=180°− (∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠BAC)
2
1
=180°− (180°+∠BAC)
2
1
=90°− ∠BAC，
2
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
根据角平分线的定义和性质，三角形的边角不等关系逐项进行判断即可．
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的定义和性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
17.【答案】解：原式=5(a2−2ab+b2
)
=5(a−b) 2．
【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
a 1
18.【答案】解：∵ = ，
b 2
3a+b
∴
b
3a
= +1
b
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学科网（北京）股份有限公司 15 203
= +1
2
5
= ．
2
【解析】化简整理分式，整体代入求值．
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入求值．
4x y x y3
19.【答案】解：原式= ⋅ ⋅
y3 2x2 4
= y．
【解析】根据乘除法法则解答即可．
此题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：原式=x2+2x−(x2−5x+x−5)
=x2+2x−x2+4x+5
=6x+5，
1
当x=− 时，
2
1
原式=6×(− )+5
2
=−3+5
=2．
【解析】直接利用单项式乘多项式以及多项式乘多项式运算法则化简，进而把已知数据代入得出
答案．
此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司 16 2021.【答案】证明：连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=DC．
【解析】连接BD，根据AB=AD，可得∠ABD=∠ADB，再根据∠ABC=∠ADC，可证
∠CBD=∠CDB即可．
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，连接BD，证明△ABD是等腰三角
形，这是解答此题的关键．
2x 1
22.【答案】解： −
x2−4 y2 x−2y
2x x+2y
= −
(x+2y)(x−2y) (x+2y)(x−2y)
x−2y
=
(x+2y)(x−2y)
1
= ．
x+2y
【解析】先进行分式的通分，再计算加减，最后进行约分化成最简分式．
此题考查了分式的加减运算能力，关键是能进行正确地通分、运算与约分化简．
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学科网（北京）股份有限公司 17 20x−3 3
23.【答案】解： +1= ，
x−2 2−x
x−3+x−2=−3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−2≠0，
∴x=1是原方程的根．
【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
24.【答案】PB 线段垂直平分线的性质
【解析】解：(1)如图所示；
(2)证明：∵MN是AB的垂直平分线，直线MN交AC于点P，
∴PA=PB(线段垂直平分线的性质)(填推理的依据)．
∵AC=PA+PC，
∴AC=PB+PC．
∴点P即为所求，
故答案为：PB，线段垂直平分线的性质．
(1)根据线段垂直平分线的作法作出图形即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，正确地作出图形是解题的关键．
25.【答案】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+20)元，
7000 2500
由题意得： = ×2，
x+20 x
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解且符合题意，
∴x+20=70，
答：篮球的单价为70元，足球的单价为50元．
【解析】设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+20)元，由题意：花费7000元购买篮球的数
量是花费2500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可．
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学科网（北京）股份有限公司 18 20本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26.【答案】MD=ME
【解析】解：(1)连接CM，
∵△ABC是等腰直角三角形，M是AB的中点，
1
∴CM=MB，CM⊥AB，∠ACM= ∠ACB=45°．
2
∴∠ACM=∠B=45°，
又∵∠DMC+∠CME=∠BME+∠CME=90°，
∴∠DMC=∠BME，
∴△MCD △MBE(ASA)，
∴MD=M≌E；
故答案为：MD=ME；
(2)CE=CB+CD．
证明：连接CM，
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学科网（北京）股份有限公司 19 20同(1)可知CM=BM，∠ACM=∠CBA=45°，
∴∠DCM=∠MBE=135°，
∵∠DMC+∠DMB=∠BME+∠DMB=90°，
∴∠CMD=∠BME，
∴△MCD △MBE(ASA)，
∴CD=BE≌，
∴CE=CB+BE=CB+CD．
(1)连接CM，证明△MCD △MBE(ASA)，由全等三角形的性质可得出MD=ME；
(2)连接CM，同(1)可证△M≌CD △MBE(ASA)，由全等三角形的性质可得出CD=BE，则可
得出结论． ≌
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形
是解本题的关键．
27.【答案】40°
【解析】解：(1)依题意补全图形如下：
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=AC，
∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABE=∠ADE，
∵∠DBC=40°，
∴∠ABE=∠ABC−∠DBC=60°−40°=20°，
∴∠ADE=20°，
∴∠BAF=∠ABE+∠ADE=40°；
故答案为：40°；
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学科网（北京）股份有限公司 20 20(3)CF=AF+AE．
证明：在BC上取点M，使CM=AE，连接AM，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC，
在△ABE和△CAM中，
{
AB=AC
∠BAE=∠ACM，
AE=CM
∴△ABE △CAM(ASA)，
∴∠ABE≌=∠CAM，
∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABE=∠ADB，
∴∠FAB=∠ABD+ADB=2∠ABD，
∴∠FAM=∠FAB+∠BAC−∠CAM=2∠ABE+60°−∠ABE=∠ABE+60°，
∵∠AMB=∠CAM+∠ACB=∠ABE+60°，
∴∠FAM=∠AMB，
∴AF=FM，
∵CF=AF+CM，
∴CF=AF+AE．
(1)由题意画出图形即可；
(2)由等边三角形的性质得出∠ABC=60°，AB=AC，由等腰三角形的性质及三角形外角的性
质可得出答案；
(3)在BC上取点M，使CM=AE，连接AM，证明△ABE △CAM(ASA)，由全等三角形的性
质得出∠ABE=∠CAM，证出AF=FM，则可得出结论．≌
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，
三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3
28.【答案】点C(2,0)，点E(2,−2.3) (0,−3) −3≤b≤
2
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学科网（北京）股份有限公司 21 20【解析】解：(1)如图，A(1,0)，B(3,0)，线段AB
的“公正点”在线段AB的中垂线上．
即“公正点”在直线x=2的直线上，
在C(2,0)，D(1,2)，E(2,−2.3)，F(0,4)中只有
点C、点E在直线x=2上，
故答案为：点C(2,0)，点E(2,−2.3)；(2)①
如图，作MN的中垂线交MN于Q，交y轴的负半轴
于P，∵OM=3
，∠OMN=60°，∴MN=2OM=6
，ON=√3OM=3√3，
1
在Rt△PQM中，MQ= MN=3，∠OMN=60°，∴PM=6
2
，∴OP=PM−OM=6−3=3
，∴
点P(0,−3)，
故答案为：(0,−3)；②∵
点Q(a,b)是线段MN的“近公正点”，∴60°≤∠MQN≤180°
，
即点Q在线段PQ上，
当点Q在点P时，b=−3，
3 3
当点Q在Q时，DQ= ，即b= ，∴b
2 2
3
的取值范围为−3≤b≤ ，
2
3
故答案为：−3≤b≤ ．(1)
2
判断点C(2,0)，D(1,2)，E(2,−2.3)，F(0,4)在直线x=2上即可；(2)①
画出相应的图形，根据坐标转化为线段的长，再根据直角三角形的边角关系得出答案即可；②
得出点Q的两个“临界值”，即b的“临界值”即可．
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学科网（北京）股份有限公司 22 20本题考查线段垂直平分线，坐标与图形性质，掌握线段垂直平分线的定义以及解直角三角形是正
确解答的前提．
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学科网（北京）股份有限公司 23 20第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 24 20
