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2021 北京朝阳初一（下）期末
数 学
考 1. 本试卷共6页，26道小题，满分100分，闭卷考试，时间90分钟.
生 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号.
须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
知
4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5. 考试结束，请将本试卷、答题卡、草稿纸一并交回.
一、选择题（本题共24分,每小题3分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 下面四个图形中，能由图 经过平移得到的是
A． B．
C． D．
2.在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是
A． B． C． D．
3. 的算术平方根为
A． B． C． D．
4.以下调查中，适宜抽样调查的是
A．了解某班同学每周参加劳动的时间
B．调查室场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
C．选出全校长跑最快的同学参加全市比赛
D．旅客登机前的安全检查
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学科网（北京）股份有限公司5.若 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
6. 如图，将三角尺的直角顶点 放在直线 上，且使 ，则 为
A． B． C． D．
7.将边长分别 和 的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数
A. B. C. D.
8. 如果 是方程 的解， 是正整数，则 的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9.如图，直线 相交于点 ，若 则 ．
10.请写出一个大于 的无理数： ．
11.如图，三角形 中， 三条边 ， ， 中，最长的为 ．
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学科网（北京）股份有限公司.若点 在 轴上，则 的值为 ．
12
13.一个正数的两个平方根分别是 和 ，则 的值为 ．
14.某班学生上学所用的交通工具中，自行车占 ，公交车占
，
其他占 ，画扇形统计图描述以上数据
时，“公交车”对应扇形的圆心角为 ．
15.在平面直角坐标系中，已知点 ，直线 与 轴平行，若 ，则点 的坐标为 ．
16.自主创业的小李经营一家工厂、生产甲、乙两种产品.根据生产规定，每件甲产品需分别在一台 设备上加工
小时，一台 设备上加工 小时，每件可获得利润 元；每件乙产品需分别在一台 设备上加工小时，一台
设备上加工 小时，每件可获得利润 元.已知 设备、 设备、 设备各只有一台，且每天最多能加工
的时间分别是 小时，要使每天的利润不低于 元，每天可生产甲产品件，乙产品件.（写出一种满
足条件的生产方案即可）
三、解答题 （本题共52分，第17-24题每小题5分，第25，26题每小题6分）
17. 计算：
18. 解方程组：
19. 解不等式组：
20.如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别是 将三角形
平移，使点 与点 重合，得到三角形 ，其中点 的对应点分别为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）画出三角形 ；
（2）写出点 的坐标；
（3）三角形 的面积为 ．
21.某社区组织 人到香山革命纪念馆和首都博物馆参观，到首都博物馆的人数比到香山革命纪念馆的人数的
倍少 ，到两处参观的人数各是多少？
22. 完成下面的证明.
已知：如图，
即
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学科网（北京）股份有限公司求证：
23.某学校为了解该校七年级学生学习党史知识的情况，对七年级共 名学生进行了测试，从中随机抽取 名
学生的成绩（百分制）进行整理、描述，得到部分信息：
这名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成 组：
）：
成绩在这一组的是：
成绩不低于 为优秀.
根据以上信，回答问题：
（1）补全频数分布直方图.
（2）下面说法正确的是 ．
本次抽样调查的样品容量是 ；
样本中，成绩为 分的学生不超过 人.
（3）估计该校七年级 名学生成绩优秀的人数.
24.阅读材料：
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学科网（北京）股份有限公司小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数 和 比较大小，有如下规律：若
则 若 则 若 则 上面的规律，反过来也成立.课上，通过与老师
和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的.
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小：
（填 或 ）
（2）已知 ，若 且 试比较的 和 大小.
25.已知有序数对 及常数 ，我们称有序数对 为有序数对 的“阶结伴数对”，如
的“ 阶结伴数对”为 ，即 .
（1）有序数对 的“ 阶结伴数对”为_________;
（2）若有序数对 的“ 阶结伴数对”为 ，求 的值；
（3）若有序数对 的“ 阶结伴数对”是它本身，则 满足的等量关系为________,此时 的值
为________.
26.对于平面直角坐标系 中的图形 ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形 上任意一点，
如果 两点间的距离有最小值，那么你这个最小值为图形 间的“邻近距离”，记为 （图形 ，图
形 ）.
已知点 ，且 .
（1） （点 ，线段 ）_________;
（2）若点 在 轴上，且 （点 ，线段 ） ，求点 的横坐标 的取值范围；
（3）一次连接 四点，得到正方形 （不含图形内部），记为图形 ，点 ，点
均不与点 重合，线段 组成的图形记为图形 ，若 （图形 ，图形 ），直
接写出 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司2021 北京朝阳初一（下）期末数学
参考答案
一、选择题(本题共24分，每小题3分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【解答】解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．
故选：A．
【点评】本题考查了平移的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图
形的平移与旋转或翻转．
2．【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、（1，2）在第一象限，故本选项错误；
B、（1，﹣2）在第四象限，故本选项错误；
C、（﹣1，2）在第二象限，故本选项错误；
D、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的
符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的
算术平方根，记为 ，即可得出答案．
【解答】解：4的算术平方根为： ＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
4．【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问
题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考
查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这
时就应选择抽样调查．
【解答】解：A．了解某班同学每周参加劳动的时间，适宜采用全面调查，故此选项不符合题意；
B．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，应用抽样调查，故此选项符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C．选出全校长跑最快的同学参加全市比赛，适宜采用全面调查，故此选项不符合题意；
D．旅客登机前的安全检查，适宜采用全面调查，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，
而抽样调查得到的调查结果比较近似．
5．【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、不等式a＞b的两边都加上2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
B、不等式a＞b的两边都减去3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式a＞b的两边都乘﹣4，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式a＞b的两边都除以5，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除
以）同一个正数，不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
6．【分析】根据平行线的性质得出∠DAB＝∠B＝30°，进而根据∠BAC＝90°得出∠DAC的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，∠B＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝30°+90°＝120°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确应用平行线的性质得出∠DAB度数是解题的关键．
7．【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，
∴正方形的面积为2，
∴该正方形的边长为： ，
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学科网（北京）股份有限公司∵1＜ ＜ ，
∴1＜ ＜1.5，
∴该正方形的边长最接近整数是：1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
8．【分析】根据方程的解的定义，将 代入方程2ax+by＝13，可得4a+b＝13．因a，b是正整数，故可知a及
b的值，从而求出a+b的最小值．
【解答】解：由题意得：4a+b＝13．
又∵a、b是正整数，
∴a＝1，b＝9或a＝2，b＝5或a＝3，b＝1．
当a＝1，b＝9时，a+b＝10．
当a＝2，b＝5时，a+b＝7．
当a＝3，b＝1时，a+b＝4．
∴a+b的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题属于简单题，主要考查方程的解的定义．
二、填空题(本题共24分，每小题3分)
9．【分析】直接根据对顶角相等得到∠2的度数．
【解答】解：∵直线a、b相交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝30°，
∴∠2＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．
10．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如 ， ，π等．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：如 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了无理数和估算无理数的大小的应用，题目比较好，难度不大．
11．【分析】结合图形和已知条件，根据点到直线的距离的定义和垂线段最短求解．
【解答】解：因为点A到BC的距离是线段AC的长，故AC＜AB；
点B到AC的距离是线段BC的长，故BC＜AB，
∴AB是最长边（垂线段最短）．
故答案为：AB．
【点评】本题考查了垂线段最短．解题的关键是掌握点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质．
12．【分析】根据点在y轴上的点横坐标为0求解．
【解答】解：根据点在y轴上的点横坐标为0，得：m﹣2＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了点与坐标的对应关系，熟记坐标轴上的点的特征是解答本题的关键．
13．【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．
【解答】解：根据题意得：a﹣1+（﹣3）＝0，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
14．【分析】用360°乘以“公交车”对应的百分比即可．
【解答】解：画扇形统计图描述以上数据时，“公交车”对应扇形的圆心角为360°×30%＝108°，
故答案为：108°．
【点评】本题主要考查扇形统计图，各部分圆心角的度数的公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百
分比×360°．
15．【分析】根据平行于x轴的点的坐标特征：纵坐标相等，及平面直角坐标系中，方向不同，点的坐标也不同，
得出点B的坐标具有两种情况．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】
解；如图，∵点A（2，1），直线AB与x轴平行，
∴直线AB上的点的纵坐标都为1；
∵AB＝3，
∴当点B在点A的右侧时，x '＝x +3＝2+3＝5，即B'（5，1），
B A
当点B在点A的左侧时，x ''＝x ﹣3＝2﹣3＝﹣1，即B''（﹣1，1）；
B A
∴综上所述，点B的坐标为（5，1）或（﹣1，1）．
【点评】本题的关键点和难点是：1．知道平行于x轴的点的坐标特征，纵坐标相等.2．分类讨论思想，在平面
直角坐标系中，由于组成要素数轴具有方向性，因为当条件不明确时，需分类讨论．在解决关于平面是直角坐
标系的问题中，分类讨论思想应用广泛．
16．【分析】设生产甲产品x件，生产乙产品y件，由题意列出不等式组，即可求解．
【解答】解：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，
由题意可得： ，
且x，y为正整数，
∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2，
故答案为：1，3或2，2．
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学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
三、解答题（本题共52分，第17-24题每小题5分，第25,26题每小题5分）
17．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣ +2 ﹣2
＝ ．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．
【解答】解： ，
①+②得，4x＝20，
解得x＝5，
把x＝5代入①得，5﹣y＝4，
解得y＝1，
所以原方程组是： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相
等或互为相反数时用加减消元法较简单．
19．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解： ，
由①得，x≥1；
由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到”的原则是解答此题的关键．
20．【分析】（1）将点A、B、C分别向右平移4个单位长度、向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接
即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据所作图形可得答案；
（3）利用割补法：用矩形的面积减去三个三角形的面积求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A′OC'即为所求．
（2）由图知，A′（2，4），C′（3，2）；
（3）三角形A′OC′的面积为3×4﹣ ×2×4﹣ ×3×2﹣ ×1×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应
点及割补法求三角形的面积．
21．【分析】设到香山革命纪念馆参观的有x人，则到首都博物馆参观的有（2x﹣1）人，根据到香山革命纪念馆
和首都博物馆参观的人数共152人，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设到香山革命纪念馆参观的有x人，则到首都博物馆参观的有（2x﹣1）人，
依题意得：x+（2x﹣1）＝152，
解得：x＝51，
∴2x﹣1＝101．
答：到香山革命纪念馆参观的有51人，到首都博物馆参观的有101人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．【分析】由平行线的性质得到∠BED＝∠BAC，可推出∠3＝∠4，即可判定EF∥AD，由平行线的性质得到
∠EFD＝∠ADC＝90°，即可得解．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠BAC（ 两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠BED﹣∠1＝∠BAC﹣∠2，
即∠3＝∠4，
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行 ），
∴∠EFD＝∠ADC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°（垂直的定义 ），
∴∠EFD＝90°，
∴EF⊥BC．
故答案为：两直线平行，同位角相等；EF；AD；同位角相等，两直线平行；垂直的定义．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”及“同位角相等，两直线平
行”是解题的关键．
23．【分析】（1）由题中给出的数据可得成绩在80≤x＜90这一组的的频数是17，根据随机抽取40名学生的成绩
可得成绩在70≤x＜80这一组的频数，即可补全频数分布直方图；
（2）①由随机抽取40名学生的成绩得本次抽样调查的样本容量是40；由频数分布直方图得成绩在90≤x＜100
这一组的频数是6，可判断②正确；
（3）根据题目中的数据和直方图中的数据，可以计算出七年级达到“优秀”的人数．
【解答】解：（1）由题意得，成绩在80≤x＜90这一组的的频数是17，
∵随机抽取40名学生的成绩，
∴成绩在70≤x＜80这一组的频数为：40﹣1﹣3﹣6﹣17＝13，
补全频数分布直方图：
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学科网（北京）股份有限公司（2）①由随机抽取40名学生的成绩得本次抽样调查的样本容量是40，①正确；
由频数分布直方图得成绩在90≤x＜100这一组的频数是6，所以成绩为100分的学生不超过6人．②正确；
故答案为：①②；
（3）400× ＝150（人），
答：估计该校七年级400名学生成绩优秀的人数有150人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，认真分析已知数据，利用
数形结合的思想解答．
24．【分析】（1）两数作差，根据3＜ 可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两边同时加一个正数，
不等号的方向不变解决；
（2）根据x+2y﹣2＝0，且x≥0求得y≤1，两式作差进而求解，
【解答】解：（1）∵3＜ ，
∴（3+ ）﹣（ + ）＝3﹣ ＜0，
∴3+ ＜ + ，
或∵3＜ ，
∴3+ ＜ + ，
故答案为：＜．
（2）∵x+2y﹣2＝0，
∴x＝2﹣2y，
∵x≥0，
∴2﹣2y≥0，
∴y≤1，
∴﹣y+1≥0，
∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1≥0，
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学科网（北京）股份有限公司∴A≥B．
【点评】本题考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根据x+2y﹣2＝0，且x≥0确
定y的取值．
25．【分析】（1）先根据题意得出3×（﹣2）+1和﹣2﹣1，再求出答案即可；
（2）根据题意得出方程组，再求出方程组的解即可；
（3）根据题意得出ka+b＝啊，a﹣b＝b，再求出即可．
【解答】解：（1）∵3×（﹣2）+1＝﹣5，﹣2﹣1＝﹣3，
∴有序数对（﹣2，1）的“3阶结伴数对”为（﹣5，﹣3），
故答案为：（﹣5，﹣3）；
（2）根据题意，得 ，
解得： ，
即a＝2，b＝﹣3；
（3）∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身，
∴ka+b＝a，a﹣b＝b，
∴a＝2b，
把a＝2b代入ka+b＝a得：2bk+b＝2b，
即2bk＝b，
解得：k＝ ，
所以a＝2b，k＝ ，
故答案为：a＝2b， ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司26．【分析】（1）根据“邻近距离”定义即可得出答案；
（2）根据“邻近距离”定义，当﹣2≤a≤3时，d（点G，线段AB）＝2，当a＜﹣2或a＞3时，d（点G，线段
AB）＞2，即可得出答案；
（3）画出图形，结合“邻近距离”定义，分类讨论即可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，﹣2），B（3，﹣2），
∴点O（0，0）到线段AB距离为2，
∴根据“邻近距离”定义得：d（点O，线段AB）＝2，
故答案为：2；
（2）∵A（﹣2，﹣2），B（3，﹣2），
∴根据“邻近距离”定义得：当﹣2≤a≤3时，d（点G，线段AB）＝2，当a＜﹣2或a＞3时，d（点G，线段
AB）＞2，
∴a＜﹣2或a＞3；
（3）如图1，当t＜0时，
∵1＜d（图形M，图形N）＜2，
∴根据“邻近距离”定义得：1＜ ﹣t＜2，
解得： ＜t＜0，
当0≤t≤ 时，如图2，
∵1＜d（图形M，图形N）＜2，
∴根据“邻近距离”定义得：1＜ ﹣t＜2，
解得：0＜t＜ 或1＜t＜ ，
当 ＜t＜2时，﹣1＜ ﹣t＜0，如图3，
解得： ＜t＜2，
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， ＜t＜0或0＜t＜ 或1＜t＜ 或 ＜t＜2．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用等，理解新定义，运用数
形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司19 / 19
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