文档内容
北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用） 2020.1
（考试时间120分钟 满分100分）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列事件中，随机事件是
（A）通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
（B）随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
（C）明天太阳从东方升起
（D）三角形的内角和是360°
2．抛物线 的顶点坐标是
（A）(2，1) （B）(-2，1) （C）(-2，-1) （D）(1，2)
3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数， 我国数学家陈景润在有关素数
的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取
一个，则抽到的数是7的概率是
（A） （B） （C） （D）1
4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值
（A）不变 （B）缩小为原来的
（C）扩大为原来的3倍 （D）扩大为原来的9倍
5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC． A
若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的面积之比为
D E
（A） （B）
（C） （D）
B C
6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M´P´N´，则旋转中心可
能是
（A）点A
（B）点B
（C）点C
（D）点D
九年级数学试卷 第 1 页 （共 8 页）7．已知⊙O, ⊙O, ⊙O 是等圆，△ABP内接于⊙O,点C， E分别在⊙O, ⊙O 上．
1 2 3 1 2 3
如图，
①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O 于点D,连接CD；
2
②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O 于点F,连接EF；
3
下面有四个结论：
①
②
③∠COD+∠EOF =∠AOB
2 3 1
④∠CDO +∠EFO =∠P
2 3
所有正确结论的序号是
（A）①②③④ （B）①②③ （C）②④ （D）②③④
8．如图，抛物线 与 轴交于A，B两点，D是以
点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段
AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是
（A）2 （B）
（C） （D）3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图
象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：_____．
第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 13 题
图 图 图 图
11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数 （约为0.618），就称这个矩形为黄金矩
形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD= ，则长AB为_____．
12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝
九年级数学试卷 第 2 页 （共 8 页）1，∠A＝45°，则 的长度为_____．
13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是
上任意一点，则∠P的正切值为_____．
14．抛物线 与x轴交于两点，分别是是（m，0），（n，0），则m+n的值
为_____．
15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售. 由于受道路条
件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地.村里负责销售的人员
从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获
得的数据记录如下表：
柑橘总质
100 150 200 250 300 350 400 450 500
量n/kg
完好柑橘
92.40 138.45 183.80 229.50 276.30 322.70 367.20 414.45 459.50
质量m/kg
柑橘完好
0.924 0.923 0.919 0.918 0.921 0.922 0.918 0.921 0.919
的频率
①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）；
②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为
.
16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与
双曲线 分别交于点C，D.
下面三个结论，
①存在无数个点P使 ；
②存在无数个点P使 ；
③存在无数个点P使 .
所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，
28题，每小题7分）
17．计算： .
九年级数学试卷 第 3 页 （共 8 页）18．如图，在△ABC中，∠B=30°，tanC= ，AD⊥BC于点D. 若AB=8，求BC的长．
19. 如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接
AD，CD，求∠ADC的度数.
20.已知一次函数 和二次函数 部分自变量和对应的函
数值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 1 2 3 4 …
1
y … 0 -1 0 3 8 …
2
（1）求 的表达式；
（2）关于x的不等式 的解集是 ．
21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，
点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为
圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车
工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
图1 九年级数学试卷 第 4 页 （共 8 页 图 ）222．在平面内， O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W.取OA
的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，
BD.
（1）求∠ABD的度数；
（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE=∠ABD，求直线DE与图形W的公共
点个数.
图1 备用图
23．阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC， P是△ABC内一点，
∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°，AP=1，求BP的长.
图1 图2
小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长.
请回答：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠PCB=∠PBA，
∴∠PCA= .
∵∠PAC=∠PCB，
∴△ACP∽△CBP.
∴ .
∵∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°.
∴ .
∵AP=1，
∴PC= .
∴PB= .
参考小军的思路，解决问题：
九年级数学试卷 第 5 页 （共 8 页）如图1，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若
∠ACB=30°，求 的值；
24．点A是反比例函数 的图象 l 上一点，直线 AB∥x轴，交反比例函数
1
的图象l 于点B， 直线AC∥y轴，交 l 于点C， 直线CD∥x轴，交 l
2 2 1
于点D．
(1)若点A(1，1)，求线段AB和CD的长度；
(2)对于任意的点A(a，b)，判断线段AB和CD的大小关系，并证明．
25．如图，在矩形ABCD中， E是BA延长线上的定点， M为BC边上的一个动点，连接
ME，将射线ME绕点M顺时针旋转 ，交射线CD于点F，连接MD．
小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究.
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的
几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9
BM/cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79. 4.00
DF/cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00
DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00
在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度
和 的长度都是这个自变量的函数；
九年级数学试卷 第 6 页 （共 8 页）（2）在同一平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm时，DM的长度约为 cm．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点(3，3) .
(1)用含a的式子表示b；
(2)直线 与直线 交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
(3)在(2)的条件下，已知点A(1，4)，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出
a(a＜0)的取值范围.
27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上
（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将
射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.
(1)根据题意补全图1；
(2)求证：①∠OAC=∠DCB；
②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；
(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意
的点C都有∠DCH =2∠DAH，写出你的猜想并证明.
图1 备用图
九年级数学试卷 第 7 页 （共 8 页）28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P
在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，
则称Q为点P的离点.例如，图1中的Q为点P的一个离点.
图1 图2
(1)已知点P(0，3)，Q为P的离点.
①如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为 ，线段PQ的长为 ；
②若B(2，0)，求线段PQ的长；
(2)已知1≤PA≤2, 直线l： （k≠0）.
①当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为 ；
②记直线l： （k≠0）在 的部分为图形G，如果图形G上存在
P的离点，直接写出k的取值范围.
九年级数学试卷 第 8 页 （共 8 页）
