1.1 集合（精练）（提升版）
题组一 集合的基本运算
1．（2022·四川·树德中学高三）集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D． ．
【答案】D
【解析】因 ,
,所以 故选：D
2．（2022·河南新乡·二模）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ，故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数 有意义，须满足 ，即 ，所以集合 ，不等式 的解为 ，所以集合 ，所以 .故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于集合 ， .
所以 .对于集合 ， ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，集合 ，
则集合 的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意得，直线 与抛物线 有2个交点，故 的子集有4个.
6．（2022·全国·高三专题练习）设 是全集，若 ，则下列关系式一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图， ，此时 ∅，A错，B ，B错， ，D错，故选：C7．（2022·全国·高三专题练习）设集合A＝ ，集合B＝
.则A B＝（ ）
A． B．
C． D．R
【答案】D
【解析】由 得 ，所以 ，
， 时， ，
， ，由勾形函数知 在 上递减，在 上递增，
时， ， 时， ， 时， ，所以 ，
所以 ，即 ， ，所以 ．故选：D．
8．（2022·上海·高三专题练习）若 、 ，点集 ，
， ，则
（ ）
A． B． C． D．以上皆错
【答案】A【解析】如图，集合 表示以 为顶点的正方形内部（不含边界）点的集合，
集合 表示以 为顶点的六边形内部（不含边界）点的集
合，集合 表示以 为焦点， 为长轴（长轴长为 ）的椭圆内部（不含边界）点
的集合，
由图可得 ，
故选：A．
9．（2022·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余
20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学
生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【解析】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元
素，集合B有33个元素.
设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合 的元素个数为 ，如图，
由Venn图可知， ，即 ，解得 ，
所以对A，B都赞成的学生有21人.故选：D
10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，
则 的元素个数是______.
【答案】0
【解析】因为 中的元素是有序实数对，
而 中的元素是实数，所以两个集合没有公共元素，即 ，
所以 的元素个数为0.故答案为：0
题组二 集合中的参数问题
1．（2022·全国·高三专题练习）设常数 ，集合 ， ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 ， ，由 ，可知
当 时， 或 ， ，
结合数轴知： ，解得 ，即得 ；
当 时， ， ，满足 ，故 符合；
当 时， 或 ， ，结合数轴知： ，解得 ，即得 由①②③知 .故选：B.
2．（2022·浙江·舟山中学高三阶段练习）若集合 ， ，则能使
成立的所有a组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，即 ， 时成立；
当 时，满足 ，解得 ；综上所述： .故选：C.
3．（2022·上海·高三专题练习）设集合 ， ，若 ⊆ ，则对应的实数对
有
A． 对 B． 对 C． 对 D． 对
【答案】D
【解析】因为集合 ，所以 ， ，
因为 ， ， ， ，所以 ，或 ，或 ，
①当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
②当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
③当 时，则 或
当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
当 时，即 ， ， ，此时可知 ， ， ，成立，即 ， ；
综上所述： ， ，或 ， ，或 ， ，或 ， ，共4对．故选： ．
4．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模）已知集合A＝{x∈Z| －4x－5<0}，B＝{x| > }，若
A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是( )
A．[3，6) B．[1，2)
C．[2，4) D．(2，4]
【答案】C
【解析】∵A＝{x∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x> }，A∩B有三个元素，∴1≤ <2，即2≤m<4.
故答案为C
5．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（理））设集合
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 有4个元素 D．若 ，则
【答案】D
【解析】（1）当 时， ， ；
（2）当 时， ， ；
（3）当 时， ， ；
（4）当 时， ， ；
综上可知A，B，C，不正确，D正确故选：D
6．（2022·上海·高三专题练习）设集合A= 若A B,则实数a,b
必满足
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，若A B，则有 或
7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ， 且 ，
则 的元素个数为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】对于集合 ，任取 ，令 ，
对于集合 ，任取 ，令 ，
令 ，则 ，可得 ，
因为 且 ，则 ，
可集合 中能被 整除的数为 、 、 ，
共有 组 、 数据满足条件，故 的元素个数为 .
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若
集合 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 得到 ； 得到 ；
因为 所以 ， ，所以 交 是否是空集取决于 的范围，
因为 ，所以 ，
当 时， ；当 时， 所以当集合 时，实数 的取值范围是：
故选：A．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 的解集为 ，关于x的不等式 的解
集为B，且 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】由 得 ， ，解得 ，
因为 ，所以
所以可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，故只需 ，
，当 时， ，故 ．
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，集合 . 若
中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________
【答案】
【解析】解：由 中不等式变形得： ，
解得 或 ，即 或 ，
函数 的对称轴为 ，
， ， ，
由对称性可得，要使 恰有个整数，
即这个整数解为2，3,
（2） 且 （3） 且
即 ，
解得 ，则 的取值范围为 ， ．
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，
若 ，则 的取值范围是______________．
【答案】
【解析】因为集合A表示如图的边长为2的正方形及正方形的内部，则对角线的长为 ，
集合B表示以C（a，a）为圆心，半径为1的圆及圆的内部，且圆心在直线y=x上，
先画出以（0,0）为圆心，半径为 的圆，沿着直线y=x，进行移动，可得当A∩B不等于 时，
，即 ，解得 ，
故答案为： .12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝
{x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围______．
【答案】[1，2]
【解析】由已知得A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，
所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，
C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，
①当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：
则C⊇（A∩B）等价为： ，
解得，1≤a≤2，经检验符合题意；
②当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；
C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，
因此C⊇（A∩B）是不可能的，故无解；
③当a＝0时，C＝∅，此时C⊇（A∩B）是不可能的，也无解．
综合以上讨论得，a∈[1，2]．
故答案为：[1，2]．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||
f(x)|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．
【答案】0＜t＜1
【解析】 要解|f(x)|≥1，需要分类来看，当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤-1∴x≥2或x≤0或x＝1，又x≥0
∴x≥2或x＝1或x＝0．
当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1
∴﹣2≤x≤0或 或 ，又x＜0∴﹣2≤x＜0或
综上可知B＝{x|-2≤x≤0或 或x≥2或x＝1}
∵集合A∩B只含有一个元素，∴t＞0且t+1＜2∴0＜t＜1故答案为：0＜t＜1
14．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 的解集为 ，则当 ，且 时，
实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】根据题意，不等式 的解集为 ，若 ，且 ，
则有 ，解可得 或 ，即 的取值范围为 ；
故答案为： ．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合M＝ ，若 ，则实数a的取值范围
是____________．
【答案】
【解析】由集合M＝ ，得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，得 ，显然不满足题意，
当a>0时，原不等式可化为 ，若 ，则解得 或 ，所以只需满足 ，解得 ；
若 ，则解得 或 ，所以只需满足 ，解得9<a≤25，
当a<0时，当 时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意，
综上，实数a的取值范围是 ．
16．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， 或 ，
若 ，且关于 的方程 无实数解，则实数 的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】根据题意得 或 表示的集合如图所示，
因为若 ，且关于 的方程 无实数解，
即构造定义域为 上的函数 使得 时，方程 无实数解
所以函数 的图象上的点构成的集合可以是以下几种情况：
1），当 是图1时，方程 无实数解，则 ；2），当 是图2时，方程 无实数解，则 ；
3），当 是图3时，方程 无实数解，则 .
此外，还有其他情况，但均与这三类问题相类似.
综上，当 ，且关于 的方程 无实数解，则实数 的取值范围为 .故答案为： .
17．（2022·上海·高三专题练习）已知集合 中的所有元素之和为 ，则实
数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】令 ，解得：①若 无实根，即 ，解得：
此时集合只有一个元素 ，满足题意
②若 有两个相等实根，即 ，解得：
，解得： 集合为 ，不满足元素之和为
③若 有两个不等实根，即 ，解得：
设此时方程 的两根为 ，则
若 ， ，此时集合为 ，不满足元素之和为
若 ，则 ，此时集合为 ，满足元素之和为
综上所述： 故答案为
题组三 集合新定义
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ，定义 且
,则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
或 故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）非空集合 ，且满足如下性质：性质一：若 ， ，则
；性质二：若 ，则 .则称集合 为一个“群”以下叙述正确的个数为
（ ）
①若 为一个“群”，则 必为无限集；
②若 为一个“群”，且 ， ，则 ；
③若 ， 都是“群”，则 必定是“群”；
④若 ， 都是“群”，且 ， ，则 必定不是“群”；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①：设集合 ，显然 ，符合性质一，同时也符合性质二，因
此集合 是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；
②：根据群的性质，由 可得： ，因此可得 ，故本叙述是正确；
③：设 ，
若 ，一定有 ，因为 ， 都是“群”，
所以 ，因此 ，若 ，所以 ， ，故本叙述正确；
④：因为 ， ，一定存在 且 ， 且 ，
因此 且 ，所以 ，因此本叙述正确，故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）设 是直角坐标平面上的任意点集，定义 ， ，
．若 ，则称点集 “关于运算 对称”．给定点集 ，
， ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ， ，
则 ， ，
，
， ，故 ；
，
，即 ，故 ；
，
，即 ，故 ；
所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个.
故选：B.
题组四 集合与其他知识综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四个棱长为 的正方体排成一个正四棱柱， 是一条侧棱，
是上底面上其余的八个点，则集合 中的元素个数
（ ）A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】由图像可知， ，则 ，
因为棱长为 ， ，所以 ， ，
故集合 中的元素个数为 ，故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））设A是集合 的子集，只含有3个元素，且不
含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32 B．56 C．72 D．84
【答案】B
【解析】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设x，y∈R，集合A＝{ |ax+by+1＝0}，B＝{ |x2+y2＝1}，且
A∩B是一个单元素集合，若对所有的 ∈{ |a＜0，b＜0}，则集合C＝{ | }
所表示的图形的面积等于___．
【答案】2π
【解析】集合A＝{ |ax+by+1＝0}，B＝{ |x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，
∴直线和圆相切，
∴ ，即a2+b2＝1，
∵ ∈{ |a＜0，b＜0}，集合C＝{ | }，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限 圆弧上）
∴集合C中圆的边界的移动是如图所示的区域，
∴集合C的面积＝半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的 ，
∴集合C的面积＝π+π＝2π，
故答案为：2π．
4．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））等差数列 中 ， .若集合 中仅有2个元素，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由题设可知： ，
解得： ， ，
，
，
令 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
（1） （2） （3） （4） ，
又 （1） ， （2） ， （3） ， （4） ，
集合 中有2个元素，
即集合 中有2个元素， ， ．故答案为： ．
5．（2022·全国·高三专题练习）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则
对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为____
【答案】2401
【解析】当B为n（0≤n≤4）元集时，则p（B）＝2n，且B集合的个数为
又A⊆B则①A为n元集时，则p（A）＝2n且A的个数为
②A为n﹣1元集时，则p（A）＝2n﹣1且A的个数为
以此类推
③A为 元集时，p（A）＝20且A的个数为
则p（A）p（B）＝ 2n（ +…+ ）
＝
＝
当n依次取0，1，2，3，4时
p（A）p（B）的和为 +…+ ＝2041
故答案为：2401．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合A，B都含有12个元素，A∩B含有4个元素，集合C含有3个
元素，且满足C⊂A∪B，C∩A≠∅，C∩B≠∅，则满足条件的集合C共有____个.
【答案】1028
【解析】依题意设A＝{a，a，a，a，a，a，a，a，x，x，x，x}，
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4
B＝{b，b，b，b，b，b，b，b，x，x，x，x}，
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4
当C⊆（A∩B）时，集合C共有 ＝4个；
当C中含有A∩B中2个元素时，集合C共有 ＝96个；
当C中含有A∩B中1个元素时，集合C共有 ＝480个；
当C中不含A∩B中元素时，集合C共有 + ＝448个
故满足题意得C共有1028个．
故答案为：1028个.
