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第4讲 导数的综合应用
第1课时 利用导数证明不等式
作差构造法
设f(x)＝2xln x＋1.求证：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
【证明】 x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)(x>0)，
令g(x)＝x－－2ln x，则g′(x)＝1＋－＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以当01时，g(x)>0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的
函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．
已知f(x)＝1－－＋＋x.证明：当x≥1时，f(x)≥.
证明：由f(x)≥得1－－－＋x≥0.
令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，
则h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.
因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，
即1－－－＋x≥0，
所以当x≥1时，f(x)≥.
隔离分析法
(2020·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.【解】 (1)f′(x)＝－a(x>0)，
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0，则当00；当x>时，f′(x)<0，
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：方法一：因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e，
当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x) ＝f(1)＝－e.
max
记g(x)＝－2e(x>0)，
则g′(x)＝，
所以当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x) ＝g(1)＝－e.
min
综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，
即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.
方法二：由题意知，即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0，
从而等价于ln x－x＋2≤.
设函数g(x)＝ln x－x＋2，则g′(x)＝－1.
所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.
设函数h(x)＝，则h′(x)＝.
所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.
综上，当x>0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.
(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为
两个函数的最值问题．
(2)在证明过程中，“隔离”化是关键，此处 f(x) >g(x) 恒成立．从而
min max
f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
设函数f(x)＝x2－(x＋1)ln x，求证：当0x.
证明：只需证x－－ln x>，即x－ln x>＋，令g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋，由g′(x)＝1－＝0，解得x＝1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递
增，
故g(x) ＝g(1)＝1，
min
由h′(x)＝可知h(x)在(0，2]上单调递增，
故h(x) ＝h(2)＝<1＝g(x) ，
max min
故h(x)x.
换元构造法
已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x ，
1
x (x ≠x )．求证：x x >e2.
2 1 2 1 2
【证明】 不妨设x >x >0，
1 2
因为ln x －ax ＝0，ln x －ax ＝0，
1 1 2 2
所以ln x ＋ln x ＝a(x ＋x )，ln x －ln x ＝a(x －x )，所以＝a，
1 2 1 2 1 2 1 2
欲证x x >e2，即证ln x ＋ln x >2.
1 2 1 2
因为ln x ＋ln x ＝a(x ＋x )，
1 2 1 2
所以即证a>，
所以原问题等价于证明>，
即ln>，
令c＝(c>1)，
则不等式变为ln c>.
令h(c)＝ln c－，c>1，
所以h′(c)＝－＝>0，
所以h(c)在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0，
即ln c－>0(c>1)，
因此原不等式x x >e2得证．
1 2
换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题
巧妙引入变量c＝，从而构造相应的函数．其解题要点为：
联立
利用方程f(x )＝f(x )消掉解析式中的参数a
1 2
消参
抓商 令c＝，消掉变量x ，x ，构造关于c的函数h(c)
1 2构元
用导
利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论
求解
已知函数f(x)＝ln x＋x2＋x.若正实数x ，x 满足f(x )＋f(x )＋x x
1 2 1 2 1 2
＝0.求证：x ＋x ≥.
1 2
证明：f(x)＝ln x＋x2＋x(x>0)．
由f(x )＋f(x )＋x x ＝0，
1 2 1 2
得ln x ＋x＋x ＋ln x ＋x＋x ＋x x ＝0.
1 1 2 2 1 2
从而(x ＋x )2＋(x ＋x )＝x x －ln(x x )，
1 2 1 2 1 2 1 2
令t＝x x (t>0)．令φ(t)＝t－ln t，得φ′(t)＝1－＝.易知φ(t)在区间(0，1)上单调
1 2
递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以 φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x ＋x )2＋(x ＋
1 2 1
x )≥1，因为x >0，x >0，所以x ＋x ≥.
2 1 2 1 2
[A级 基础练]
1．若0ln x －ln x B．e －e x e D．x e x e ，故选C.
2 1
3．已知函数f(x)＝aex－ln x－1(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)设x＝2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当02时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当01时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当
x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
4．已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1；
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.
证明：(1)由题意得g′(x)＝(x>0)．
当01时，g′(x)>0，
即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)≥g(1)＝1.
(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，
所以当02时，f′(x)>0，
即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(2)＝1－，当且
仅当x＝2时，等号成立．
又由(1)知x－ln x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立，
且①②等号不能同时取到，
所以(x－ln x)f(x)>1－.
[B级 综合练]
5．已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值．
(1)求实数a的值；(2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)．
解：(1)因为f(x)＝ax＋xln x，
所以f′(x)＝a＋ln x＋1，
因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值，
所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0，
所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2.
当f′(x)>0时，x>e－2；
当f′(x)<0时，00)．
g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e.
由g′(x)>0，得x>e；由g′(x)<0，得00.
于是在(1，＋∞)上，都有g(x)≥g(e)>0，
所以f(x)>3(x－1)．
6．已知函数f(x)＝xln x－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立．
解：(1)函数f(x)＝xln x－ax的定义域为(0，＋∞)．
当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2.
由f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x) ＝f＝－.
min
(2)证明：当x>0时，ln x＋1>－等价于x(ln x＋1)>－.
由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号．
设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)．
则G′(x)＝′＝，易知G(x) ＝G(1)＝－，
max当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即ln x
＋1>－.
[C级 创新练]
7．已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝.
(1)求函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值；
(2)设b>a>0，证明：<.
解：(1)f′(x)＝－＝≥0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝0，所以f(x) ＝f(1)＝0.
min
(2)证明：由(1)知，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝ln x－≥0，即ln x≥，
由b>a>0，得>1，所以ln >，
化简得ln b－ln a>，
所以<.
