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专题 5.1 立体几何有关的计算
一、单选题
1、(2019扬州期末) 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是( )．
A、 B、 C． D．
2、(2019镇江期末)已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为( )．
A． B． C、 D、
3、(2019宿迁期末)设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm3. (
)
A、 2 B、 π C、 D、
4、(2019南通、泰州、扬州一调)已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3 cm，则这个正四棱
柱的体积为________cm3.( )
A、 18 B、 54 C、 64 D、 23
5、(2019南京学情调研) 如图，在正三棱柱ABCA B C 中，AB＝2，AA ＝3，则四棱锥AB C CB的体积
1 1 1 1 1 1 1
是( )
A、 2 B、2 C、 D、
6、(2020年高考天津)若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A． B．
C． D．7、(2018盐城三模)若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为( )
A． B． C、 D、
9、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高
与底面正方形的边长的比值为( )
A． B． C． D．
10、(2020·河南高三期末(文))张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除
以十六等于八分之五.已知三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，
且 ， ，利用张衡的结论可得球 的表面积为( )
A．30 B． C．33 D．
11、(2020年高考全国II卷理数)已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球
O的表面积为16 ，则O到平面ABC的距离为( )
A． B． C．1 D．
12、(2020届山东省潍坊市高三上期末)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这
是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 它实际上是
将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3.那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为(
)
A． B． C． D．
13、(2020年高考全国II卷理数)已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球
O的表面积为16 ，则O到平面ABC的距离为( )
A． B． C．1 D．
14、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)已知边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，以
为折痕进行折叠，使折后的 ，则过 ， ， ， 四点的球的表面积为( )
A． B． C． D．
15、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为6，则该正三
棱锥外接球的表面积是( )
A． B． C． D．
ABCD AB AC BD CD 2 BC 2AD AD BCD
16、已知三棱锥 中， ， ， 直线 与底面 所成角
为 ，则此时三棱锥外接球的表面积为 ( )
38 6 9 5
A． B． C． D．
17、(2019年高考全国Ⅰ卷理数)已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长
为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )
A． B．
C． D．
18、正四面体 中， 是棱 的中点， 是点 在底面 内的射影，则异面直线 与
所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
19、(2020届山东省日照市高三上期末联考)已知四棱锥 的体积是 ，底面 是正方形，
是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球体积为( )
A． B． C． D．
20、(2018年高考全国Ⅲ卷理数)设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角
形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为( )A． B．
C． D．
21、鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的
凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，
90 6
从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经 榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为 ，底面正方形
的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为( )(容器壁的厚度
忽略不计)
36 40 41 44
A． B． C． D．
二、多选题
22、(2020届山东省潍坊市高三上期末)等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周
，则所形成的几何体的表面积可以为( )
A． B． C． D．
23、(2019春•思明区校级月考)如图所示，在正三棱柱 中， ， ， 是 的
中点，点 在线段 上，若 平面 ．则 的长度为A． B． C． D．
24、(2020·蒙阴县实验中学高三期末)已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 平面
， ， .若点 为 的中点，则下列说法正确的为( )
A． 平面
B． 面
C．四棱锥 外接球的表面积为
D．四棱锥 的体积为6
25、如图，在四面体 中，点 ， ， 分别在棱 ， ， 上，且平面 平面
， 为 内一点，记三棱锥 的体积为 ，设 ，对于函数 ，则下
列结论正确的是
A．当 时，函数 取到最大值B．函数 在 上是减函数
C．函数 的图象关于直线 对称
D．不存在 ，使得 (其中 为四面体 的体积)．
26、(2020届江苏省七市第二次调研考试)如图，在体积为V的圆柱 中，以线段 上的点O为项点，
上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为 ， ，则 的值是______.
27、(江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末)在正三棱柱ABC ABC 中，AA＝AB＝2
1 1 1 1
，则三枝锥A BBC 的体积为______.
1 1 1
28、(2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研)在正三棱柱ABC ABC 中，AA＝AB＝
1 1 1 1
2 ，则三枝锥A BBC 的体积为______.
1 1 1
29、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)已知一个圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，
则该圆锥的体积是______ .
30、(江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试)如图正四棱柱 的体积为
27，点E，F分别为棱 上的点(异于端点)且 ，则四棱锥 的体积为
___________.31、(江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考)已知长方体 的体积为 ，
则三棱锥 的体积为______.
四、解答题
32、如图，在直三棱柱ABC ABC中，AB⊥BC，E，F分别是AB，AC 的中点．
1 1 1 1 1
(1) 求证：EF∥平面ABC；
(2) 求证：平面AEF⊥平面AABB；
1 1
(3) 若AA＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥FABC的体积．
1
33、如图，在五面体 中，已知 平面 ， ， ， ，．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．
34、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE
折起，得四棱锥ABCDE.
(1)求证：EF∥平面ABC；
(2)若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．
35、如图，直四棱柱ABCD-A B C D 的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA ＝AB＝1，点O ，O分别是上、
1 1 1 1 1 1下底面菱形的对角线的交点．
(1)求证：A O∥平面CB D ；
1 1 1
(2)求点O到平面CB D 的距离．
1 1
