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北京市密云区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题 （本题共16分，每小题2分）
1. 已知 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函数 图像的顶点坐标为( )
A. (0，-2) B. (-2，0) C. (0，2) D. (2，0)
3. 在Rt ABC中，∠C＝90°，若 ，则∠B的度数是（ ）
△
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
4. 在数轴上，点 所表示的实数为 ，点 所表示的实数为 ， 的半径为 ．那么下列说法中不正确
的是（ ）
A. 当 时，点 在 外 B. 当 时，点 在 内
C. 当 时，点 在 内 D. 当 时，点 在 外
的
5. 如图所示，在边长为1 小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）
A. 点O B. 点P C. 点M D. 点N
6. 已知反比例函数的表达式为 ，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k
的取值范围是（ ）．A. k>-2 B. C. D.
的
7. 如图，在⊙O中，弦BC // OA，AC与OB相交于点M，∠C=20°，则∠MBC 度数为（ ）．
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
8. 如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、
M、N，设 EPQ、 GKM、 BNC的面积依次为S、S、S．若S+S =30，则S 的值为（ ）．
1 2 3 1 3 2
△ △ △
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为_________．
10. 若边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是___________．
11. 在二次函数中 ，y与x的部分对应值如下表：
x ...... -1 0 1 2 3 4 ......y ...... -7 -2 m n -2 -7 ......
则m、n的大小关系为m_______n．（填“>”,“=”或“<”）
12. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
13. 如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______
14. 如图，反比例函数 的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请
你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标______________．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= ．以A为圆心，AD的长为半径做弧交BC边于点E，则图中
的弧长是_______.
16. 已知：∠BAC．在
（1）如图， 平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
① ADE是⊙O的内接三角形； ② ；
△
③ DE=2PE； ④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是______________．
三、解答题（共68分，其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）
17. 计算： ．
18. 已知：在 ABC中，点D、点E分别在边AB、AC上，且DE // BC，BE平分∠ABC．
△
（1）求证：BD=DE；
（2）若AB=10，AD=4，求BC的长．
19. 已知二次函数y = x2 -4x + 3．（1）用配方法将y = x2 -4x + 3化成y = a(x - h)2 + k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
（3）结合函数图象，直接写出y＜0时自变量x的取值范围 ．
20. 已知：如图，在⊙O中，弦 交于点 ， ．
求证： ．
21. 已知：在 ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．
△
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连结BE，若 ，AD= ，求BE的长．
22. 某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度
为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．
23. 在平面直角坐标系中，直线 y = x与反比例函数 的图象交于点A（2，m）.
（1）求m和k的值；
（2）点P（x ，y ）是函数 图象上的任意一点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x于点
P P
B.
①当y = 4时，求线段BP的长；
P
②当BP 3时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标y 的取值范围．
P
24. 已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的
延长线于点F .
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连结BC，若⊙O的半径为2，tan∠BCD= ，求线段AD的长．的
25. 如图，点E是矩形ABCD对角线AC上 一个动点（点E可以与点A和点C重合），连接BE．已
知AB=3cm，BC=4cm．设A、E两点间的距离为xcm，BE的长度为ycm．
某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：
说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2AE时，AE的长度约为 cm．（结果保留
一位小数）
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 ( )．（1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a的代数式表示)；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，AB=4．
①求a的值；
②记二次函数图象在点 A，B之间的部分为W(含 点A和点B)，若直线 ( )经过（1，-1），
且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．
的
27. 已知：在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上 一个动点
△
（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．
（1）如图1，若点M在线段BD上．
① 依据题意补全图1；
② 求∠MCE的度数．
（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关
系 ．
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离
d，满足 ，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（ ，2），D（ ， ）中，⊙O的“随心点”
是 ；
（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在
⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围 ．
