河北省2025届高三大数据9月应用调研联合测评（Ⅰ）数学答案_A1502026各地模拟卷（超值！）_9月_240905河北省2025届高三大数据9月应用调研联合测评（Ⅰ）

心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱 河北省 届高三年级大数据应用调研联合测评( ) 2025 Ⅰ 数学参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C C A C D B ACD ABC ABD . 【解析】因为N xx 所以 N xx 又因为M x x 1B ={| <1}, ∁ R = | ≥1 , = |-3≤ ≤3 , 所以 N M x x 故选 . (∁ R )∩ = |1≤ ≤3 , B . 【解析】因为z 所以z 4+2i 4+2i (1-2i) 8-6i所以 z 10 故选 . 2A (1+2i)=4+2i, = = = , = =2, A 1+2i 5 5 5 . 【解析】因为a b x 又因为a b b 所以 x x 所以x 1 故选 . 3C -2 =(2,2-2 ), -2 ∥ , 2-2 =2 , = , C 2 . 【解析】设等比数列a 的公比为q 4C n , a2 a 由a a a a 得 4=64,又因为各项均为正数 所以 4=8, 3· 5=64,4· 6=256, a2 , a 5=256, 5=16, a q10 所以q a .S 1(1- ) .故选 . =2,1=1 10= q =1023 C 1- . 【解析】 α β α β α β α β α β α β 5A ∵sin(+ )=2cos(- ),∴sin cos +cos sin =2cos cos +2sin sin , 等号两边同时除以 α β 得到 α β α β cos cos , tan +tan =2+2tan tan , 即 tan α tan β = tan α +tan β -1=- 1 ,∴tan α + β = tan α + α tan β β = 1 = 2 , 故选 A . 2 2 1-tan tan 1 3 1- - 2 2 2 R3 . 【解析】由已知圆台的体积为π(2+4+2×4)× 7 287π 设该球的半径为R 则4π 287π 6C = , , = , 3 3 3 3 R 所以该球的表面积S R2 故选 . ∴ = 7, =4π =28π, C . 【解析】 名教师选出 人分别到ABC三所学校的方法共有 3 种.甲 乙 名教师不能到A 7D 6 3 , , A6=120 、 2 学校 且丙教师不能到B学校的第一种情况 若丙去A校 有 2 种选法 第二种情况 若丙不去A , : , A5=20 ; , 校 则A校有 1 种选法 B校有 1 种选法 C校有 1 种选法 共有 1 1 1 种 所以一共有 , C3 , C4 , C4 , C3C4C4=48 , 20+ 种.所以概率P 68 17 故选 . 48=68 = = , D 120 30 . 【解析】Mx fx 即fx gx 恒成立 设hx fx gx xx x x a 恒成立 8B ()= (), ()≥ () , ()= ()- ()= - ln - ≥0 , 设hx x ln x x x a 令t x x 则t'x x 解得x 1x 1 t'x tx ()=e - ln - , = ln , =ln +1=0, = ,∈ 0, , <0,() e e 单调递减x ᨟ 时t'x tx 单调递增tx t1 1. ,∈(e,+ ) , >0,() , ≥ =- e e hx x ln x x x a t t a 令st t t at 1 s't t t ()=e - ln - =e- - , ()=e- - ≥- , ()=e-1=0,∴ =0, e t 1 时st单调递减t ᨟ 时st单调递增 st s a a .所以实 ∴ ∈ - ,0 ,() ,∈(0,+ ) ,() ,∴ ()≥ (0)=1- ≥0,∴ ≤1 e 数a的最大值为 .故选 . 1 B . 【解析】对于 由正态分布的期望公式得 EX μ 故 正确 9ACD A, , ( )= , A ; 对于 由正态分布的方差公式得 DX σ2 故 错误 B, , ( )= 1, B ; 高三数学参考答案 第 页(共 页) 1 6 {#{QQABIYKAggCoAIJAABhCQwW6CAAQkACACagGxEAMoAAAwAFABAA=}#} 心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱 对于 由正态分布的对称性得 PX PX C, , ( ≤1)= ( ≥3), 所以PX PX PX PX 故 正确 ( ≤1)+ ( ≤3)= ( ≥3)+ ( ≤3)=1, C ; 对于 由σ σ 则σ2 σ2 D, 1=2,2=3, 1=4,2=9, 根据方差的性质知 X分布更集中 所以P X μ P Y μ 故 正确.故选 . , , ( - 1 ≤1)> ( - 2 ≤1), D ACD . 【解析】因为x ax b为函数fx 的零点 且x a为函数fx 的不变号零点 由数轴标根 10ABC = ,= () , = ( ) , 法可得a 故 正确.fx x 2x b f'x x x b =1, A ∴ ()=(-1)(- ), ()=(-1)(3 -2 -1)=0, b b x x 2 +1 2 +1 b 所以 正确. ∴ 1=1,2= ,∴ =3,∴ =4, B 3 3 b b b 3 Z 由以上分析可得当x 2 +1时取得极小值 且f2 +1 4(-1) = , =- , 3 3 27 C  fx 的大致图象如图   () , 0 Y b 3 由fx 有三个解 则 4(-1) 解得b 故 正确. ()+4=0 , - <-4, >4, C 27 b 由以上分析可得2 +1 x ᨟ 时fx 单调递增 因为 x >1,∴ ∈ - ,1 ,() , 0< <1 3 时x x2 所以fx fx2 所以 错误 故选 . ,> , ()> ( ), D . ABC . 【解析】由题意 已知C过坐标原点O 将O 代入 x a2 y2 x a2 y2 得 11ABD , , (0,0) (+ )+ · (- )+ =4, a 所以 正确. =2, A 由图象 令y 得x 或 所以 正确. , =0, =0, ±22, B 由 PF PF PF PF 当且仅当 PF PF 时等号成立 1 + 2 ≥2 1 · 2 =4, 1 = 2 =2 , PFF 周长的最小值为 PF PF FF △ 1 2 1 + 2 + 1 2 =8, 而此时P 不能构成三角形 即最小值不是 所以 错误. 0,0 , , 8, C 因为 PF PF 则 x 2 y2 x 2 y2 则 x 2 y2 x 2 y2 1 2 =4, (+2)+ · (-2)+ =4, (+2)+ · (-2)+ =16, 即x2 y2 2 x2 得y2 x2 x2 x2 x2 设 x2 tt ( + +4)-16 =16, = 16+16 - -4=4 +1- -4, +1= (∈[1,3]), 所以y2 =4 t - t2 -3, 则当t =2 时 , y2 有最大值 1, 所以S △ PF 1 F 2 有最大值为1 ×4×1=2, 所以S △ PF 1 F 2 ≤2, 2 所以 正确 故选 . D . ABD .【答案】 7 12 2 b2 【解析】 a2 b2 c 所以 3 PF 3 PF 11PF 11 又因为 PF PF ∵ + = , a= , 2 = , 1 = 2 = , 1 - 2 = 2 2 3 2 c 11 3 a a b2 c2 c 所以离心率e 7. - =4=2 ,∴ =2, =3, =7,= 7, =a= 2 2 2 .【答案】 13 2 【解析】 y' 2 设Mx y 所以曲线y x x 在点Mx y 处的切线的斜率为 ∵ =1-x, 0,0 , = -2ln +1 0,0 1- y x x x x 2 直线MN的斜率为k 0-1 0-2ln 0+1-1 0-2ln 0 当曲线在点Mx y 处的切线与 x , = x = x = x , 0,0 0 0 0 0 x x 直线MN垂直时 MN 最小 即 2 0-2ln 0 即 x x x x2 设 , , 1-x x =-1, 0-2 (0-2ln 0)+ 0=0, 0 0 gx x x x x2 因为 ()= -2 (-2ln )+ , g(1)=0, g'x x x 4 x x 4 x 4 ()=4 -2ln +x-4≥4 -2(-1)+x-4=2 +x-2≥42-2>0, 高三数学参考答案 第 页(共 页) 2 6 {#{QQABIYKAggCoAIJAABhCQwW6CAAQkACACagGxEAMoAAAwAFABAA=}#} 心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱 gx 在 ᨟ 上单调递增 x M 时 MN 最小 最小值为 2 2 .所以答 ∴ () (0,+ ) ,∴ 0=1, 1,2 , 1+(2-1)= 2 案为 . 2 .【答案】 14 1024 【解析】考虑M N 将集合P 划分为 个集合 A P M N A M N A , = 1,2,3,4,5 4 , 1= -( + ), 2= - , 3= N M A MN 接下来将集合P中的元素逐一安排到集合A A A A 中即可得所求总数为 5 - ,4= , 1,2,3,4 4= 10 .故答案为 . 2 =1024 1024 C .【解】 由 A B C 2 15 (1) sin( + )=sin =23sin , 2 C C C 分 2 ∴2sin cos =23sin ,………………………………………………………………………… (2 ) 2 2 2 C C 又 C π 0< <π,0< < ,∴sin >0, 2 2 2 C C 3 π 分 ∴tan = ,∴ = ,……………………………………………………………………………… (5 ) 2 3 2 6 所以C π. 分 = …………………………………………………………………………………………… (6 ) 3 由已知可得S 1ab C 3 b2 a2 分 (2) ,= sin = (4 + ),……………………………………………………… (7 ) 2 16 可得 b2 a2 ab b a2 a b. 分 4 + -4 =0,∴(2 - )=0,∴ =2 ………………………………………………… (9 ) 又由余弦定理可得c2 b2 a2 ab π 化简得b2 a2 ab =3= + -2 cos , , + - =3, 3 联立解得b a 分 =1,=2,………………………………………………………………………………… (11 ) 所以 ABC的周长为 . 分 △ 3+ 3 ……………………………………………………………………… (13 ) .【解】 证明 因为PD 底面ABCDBC 底面ABCD 16 (1) : ⊥ , ⊂ , 所以PD BC. ⊥ 因为四边形ABCD为矩形 所以DC BC. , ⊥ 因为PD DC D 所以BC 平面PCD. 分 ∩ = , ⊥ ………………………………………………………… (2 ) 因为DE 平面PCD 所以BC DE. ⊂ , ⊥ 在 PCD中 PD CDE是PC的中点 则DE PC. △ , = , , ⊥ 因为BC PC C 所以DE 平面PBC. 分 ∩ = , ⊥ …………………………………………………………… (4 ) 因为PB 平面PBC 所以DE PB. ⊂ , ⊥ 又因为DF BPDF DE D ⊥ , ∩ = , 所以BP 平面DEF. 分 ⊥ ………………………………………………………………………………… (5 ) 因为EF 平面DEF 所以BP EF. 分 ⊂ , ⊥ ……………………………………………………………… (6 ) 方法一 以D为坐标原点 分别以DADCDP所在直线为xyz轴建立如图所示空间直角坐标 (2) : , , , ,, 系 分 , ……………………………………………………………………………………………………… (7 ) [ 1 ' & % Z $ " Y # 高三数学参考答案 第 页(共 页) 3 6 {#{QQABIYKAggCoAIJAABhCQwW6CAAQkACACagGxEAMoAAAwAFABAA=}#} 心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱 设BC x = , 则D Bx E P E (0,0,0), (,2,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,1,1), 所以DB→ x DE→ BP→ x 分 = ,2,0 , = 0,1,1 , = - ,-2,2 , ………………………………………… (8 ) 由 知BP→ x 为平面DEF的一个法向量 分 (1) = - ,-2,2 ,…………………………………………… (9 ) 设平面DBE的一个法向量为n abc = ,, , n DB→ xa b 则 · =0,即 +2 =0,令a 则b xc x n DE→ b c =2, =- ,= , · =0, + =0, 所以n xx 分 = 2,- , ,………………………………………………………………………………… (11 ) n BP→ 所以 nBP→ · 1 分 cos<, >= n BP→ = ,………………………………………………………… (13 ) · 3 解得x =2, 即BC . 分 =2 ……………………………………………………………………………………………… (15 ) 方法二 由 可得DE 平面PBC : (1) ⊥ , 因为EF 平面PBCEB 平面PBC ⊂ , ⊂ , 所以DE EFDE EB. 分 ⊥ , ⊥ …………………………………………………………………………… (8 ) 所以 BEF为二面角F-DE-B的平面角. 分 ∠ …………………………………………………………… (9 ) EF 所以PE 1PC BEF 1 分 = = 2,cos∠ =BE= ,……………………………………………………… (11 ) 2 3 BC PC x 设BC x 则BE x2 EF 1 · 122 = , = +2, = 2 PB = 2 x2 , +8 x 122 所以 EF 2 x2 +8 1 分 BE= x2 = 3 ,…………………………………………………………………………… (13 ) +2 解得x =2, BC . 分 =2 ………………………………………………………………………………………………… (15 ) x2 y2 .【解】 依题意 可设椭圆E的方程为 a b . 17 (1) , a2+b2=1(> >0) c 由 5 a 35c a= ⇒ = , 3 5 又因为a2 b2 c2 所以b 25c = + , = , 5 x2 y2 分 ∴ + =1,……………………………………………………………………………………… (2 ) 9c2 4c2 5 5 椭圆经过点 2 代入上述方程 ∵ 22, , 3 解得c2 则a2 b2 分 =5, =9, =4, ………………………………………………………………………… (4 ) x2 y2 椭圆E的方程为 . 分 ∴ + =1 ……………………………………………………………………… (5 ) 9 4 由 可知 A B (2) (1) : 0,2 , 0,-2 , CP AP 当斜率不存在时 若点C与A重合 D与B重合.此时| | | | 1.若点D与A重合 B与C重 , , DP = BP = , | | | | 3 CP BP 合 则| | | | . 分 , DP = AP =3 ……………………………………………………………………………… (6 ) | | | | 高三数学参考答案 第 页(共 页) 4 6 {#{QQABIYKAggCoAIJAABhCQwW6CAAQkACACagGxEAMoAAAwAFABAA=}#} 心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱当直线斜率存在时 设直线CDy kx Cx y Dx y , := +1, (1,1), (2,2), y kx 􀮠 = +1, 联立得 x2 y2 􀮡 + =1, 􀮢9 4 高三数学参考答案 第 页(共 页) 5 6 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去y可得 k2x2 kx 分 (4+9 ) +18 -27=0,……………………………………… (7 ) 显然Δ >0, k 则x x 18 xx 27 分 1+ 2=- k2 ,1 2=- k2 ,…………………………………………………………… (8 ) 4+9 4+9 k 2 18 x x 2 - k2 k2 可得 1+ 2 4+9 12 xx = =- k2 , 1 2 27 4+9 - k2 4+9 x x k2 整理可得 1 2 12 4 4 分 x +2+x =- k2=- 1- k2 , …………………………………………… (10 ) 2 1 4+9 3 4+9 因为 k2 可得 4 4 4 􀭤 4+9 ≥4, - 1- k2 ∈ - ,0 3 4+9 3 􀭥 􀪁􀪁 , x x 令 1 tt 则 4 t 1 解得 t 1 即 1 1 分 x = (<0), - < +t+2≤0, -3< <- , x ∈ -3,- ,……………… (13 ) 2 3 3 2 3 CP x x 所以 1 1 1 . 分 DP = x =-x ∈ ,3 ……………………………………………………………… (14 ) 2 2 3 CP 综上 的取值范围为􀭠1 ,DP ,3 􀭡3 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱 . 分 ………………………………………………………………… (15 ) .【解】 令gx fx - x x x - xx 18 (1) ()= ()-e =e-2 -e (≥0), 所以g'x x - xx f'x x 1 x ()=e-2+e (≥0), =e+ x-2 ≥0 , e 所以g'x x - x ()=e-2+e ≥2-2=0, 当且仅当 x 1 x 即x 时 等号成立 分 e= x,e=1, =0 , , …………………………………………………… (2 ) e 所以当x ᨟ 时g'x gx 单调递增 ∈ 0,+ , ()≥0,() , 所以gx g 所以fx - x 得证. 分 ()≥ (0)=0, ()≥e ……………………………………………………… (4 ) 由fx x得 x x xx 即 x x x (2) ()= e-2 = ≥0 , e-3 =0 ≥0 , 令gx x xx =e-3 ≥0 , 所以函数gx 的零点个数 即为方程fx x解的个数 分 , ()= ,………………………………………… (5 ) g'x x x 令g'x 即 x 解得x 分 =e-3 ≥0 , =0, e=3, =ln3,……………………………………… (6 ) x ᨟ 0,ln3 ln3 ln3,+ g'x - 0 + gx 单调递减 单调递增 3-3ln3 因为g g 0 =1>0, ln3 =3-3ln3<0, 所以gx 在 上有唯一一个零点 分 0,ln3 ,…………………………………………………………… (8 ) 又g 5 5 5 =e-15>2-15=17>0, 所以gx 在 ᨟ 上有唯一一个零点. 分 ln3,+ ………………………………………………………… (9 ) 综上所述 方程fx x有两个解. 分 , ()= ………………………………………………………………… (10 ) 由 知 x x - x x ᨟ (3) (1) ,e-2 -e >0,∈ 0,+ , 令x s s 则s s s-1 即s 1 s s 分 =ln >1 , -2ln - >0, -s>2ln >1 ,………………………………… (11 ) {#{QQABIYKAggCoAIJAABhCQwW6CAAQkACACagGxEAMoAAAwAFABAA=}#} 心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱 设s 1 n n N* 则满足s 所以 1 1 1 即 = 1+n , ≥2, ∈ , >1, 1+n - >2ln 1+n , -1 -1 1 -1 1+n -1 1 n -1 1 分 >ln1+n , ………………………………………………………………………… (13 ) 1 -1 1+n -1 n 所以 1 n n 分 n2 n>ln n -1 =ln -ln(-1),………………………………………………………… (15 ) - 所以 1 1 1 n n n 2 + 2 +…+ n2 n>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln -ln(-1)=ln , 2-2 3-3 - 即 1 1 1 n. 分 2 + 2 +…+ n2 n>ln ………………………………………………………… (17 ) 2-2 3-3 - .【解】 令q p 得a 分 19 (1) =1,=0, 1=3,…………………………………………………………………… (1 ) 令q p 得a =2,=0, 2=5, 令q p 得a 分 =2,=1, 3=6,……………………………………………………………………………… (2 ) 令q p 得a 分 =3,=0, 4=9,……………………………………………………………………………… (3 ) 令q p 得a =3,=1, 5=10, 令q p 得a . 分 =3,=2, 6=12 …………………………………………………………………………… (4 ) 若ap q apq arr 成等差数列 (2) ( +1,),( ,+1),(,+1) , 则 p +1 q r r +1 p q +1 即 q r r +1 q +2. 分 2 +2+2+2 =2(2 +2 ), 2+2+2 =2 …………………………………… (6 ) 当q r时 r - q r - q +1 2 此时左边为奇数 右边为偶数 不成立 < ,1+2 +2 =2, , , ; 当q r时 q - r q - r +2 此时左边为奇数 右边为偶数 不成立 > ,2 +1+2=2 , , , ; 当q r时 q q q +1 q +2 成立. 分 = ,2+2+2 =2 ………………………………………………………………… (9 ) 所以r q. 分 = …………………………………………………………………………………………… (10 ) apq ars as (3)∵ ( ,)+ (,)= (,2024), p q r s s 2024 ∴2 +2+2+2=2+2 , 即 p q r 分 2024 2 +2+2=2 ,………………………………………………………………………………… (11 ) 当p r时 q - p r - p 2 024- p 此时左边为奇数 右边为偶数 不成立 < ,1+2 +2 =2 , , , ; 当p r时 p - r q - r 2 024- r 此时左边为奇数 右边为偶数 不成立 > ,2 +2 +1=2 , , , ; 当p r时 p q p 2 024 = ,2 +2+2 =2 , 即 p q 分 +1 2024 2 +2=2 ,…………………………………………………………………………………… (14 ) p q ∵ +1≤2023,≤2023, p q +1 2023 2023 2024 ∴2 +2≤2 +2 =2 , 当且仅当p q 即p r q 时取等号 分 +1= =2023 = =2022,=2023 ,………………………………… (16 ) 又因为r s s N < <2024,∈ , s . 分 ∴ =2023 …………………………………………………………………………………………… (17 ) 高三数学参考答案 第 页(共 页) 6 6 {#{QQABIYKAggCoAIJAABhCQwW6CAAQkACACagGxEAMoAAAwAFABAA=}#} 心 中 究 研 用 应 据 数 心 大 中 育 究 教 研 才 用 英 应 爱 据 数 大 育 教 才 英 爱