文档内容
2024-2025 年度河南省高三年级联考（二）
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，
不等式.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， .，若 ，则 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知符号）（表示不平行，向量 ， .设命题 ， ）（ ，则
（ ）
A. ， ，且 为真命题
B. ， ，且 为真命题
C. ， ，且 为假命题
D. ， ，且 为假命题
3.若 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则“ ”是“ 的公比为2”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数 ，若 ，且a，b是 的图像与直线 的两个交点对应的
横坐标，则 的最小值为（ ）A.2 B.4 C.6 D.8
6.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块
直角三角板拼出的一个几何图形，其中 ， ， .连接AD，若
，则 （ ）
A.1 B.2 C. D.
7.若 ， 对 恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知 是函数 图象上的一点，点 在直线 上，则 的最小值是（
）
A. B.3 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，则下列结论不正确的是（ ）
A.若 是递增数列，则 是递增数列
B.若 是递减数列，则 是递减数列
C.若 是递增数列，则 是递增数列
D.若 是递减数列，则 是递减数列
10.已知 为奇函数， ，且对任意 ，都有 ，则必有（ ）
A. B.C. D.
11.已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于点 中心对称
B. 的图象关于直线 对称
C. 的值域为
D. 在 上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ， ，则 外接圆的
面积是__________.
13.已知某种污染物的浓度 （单位：摩尔/升）与时间 （单位：天）的关系满足指数模型 ，
其中 是初始浓度（即 时该污染物的浓度）， 是常数.第2天（即 ）测得该污染物的浓度为5
摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第 天测得该污染物的浓度变为 ，则
__________.
14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等
分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为 ，则
__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的周长.
16.（15分）
已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）求 的零点；
（3）将 图象上的所有点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在 上的值
域.
17.（15分）
已知函数 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求不等式 的解集.
18.（17分）
已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间与极值；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
19.（17分）设数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，都有 （ 为非零常数），则称数列 为
“和等比数列”，其中 为和公比.
（1）若 ，判断 是否为“和等比数列”.
（2）已知 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 是“和等比数列”， ，数列 的前
项和为 .
①求 的和公比；
②求 ；
③若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
2024-2025 年度河南省高三年级联考（二）
数学参考答案
1.C 由题意可得 .因为 ，所以 ，解得 .
2.A ， ，当 ，即 时， ，所以 为真命题.
3.B 当 ， 时， ，此时 ，则A错误.
因为 ，所以 ，且 ，所以 ，所以 ，则B正确.
当 ， 时， ，此时 ，则C错误.
当 ， ， 时， ， ，此时 ，则D错误.
4.A 设 的公比为 ，则 .
因为 ，所以 .
由 ，得 ，即 ，解得 或 .由 ，得 ，则“ ”是“ 的公比为2”的必要不充分条件.
5.B 由题意可得 ， ，则 ，当且仅当 时，等号成立.故 的最
小值为4.
6.A 如图，以 为原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向，建立直角坐标系，设 ，则
， ， ，故 ， .
作 ，交AB的延长线于点 .设 ，则 ，
所以 ，所以 .因为 ，所以 ，则 .
7.B 因为 ，所以 .当 时， ；当 时，
；当 时， .因为 对
恒成立，所以1，7是 的两根，且 ，则 故 ， ，
， .
8.D 由题意可得 .设 ，则 ，当 时， ，当
时， ， 单调递增.因为 ，所以 ，得 ，此时
，故 .9.ABD 当 时， 是递增数列，此时 不是递增数列，则A错误.当 时，
是递减数列，此时 不是递减数列，则B错误.由 是递增数列，得 是递增数列，且 ，
则 是递增数列，故C正确.由 是递减数列，得 是递减数列，且 ，则 是递增数列，
故D错误.
10.CD 由 为奇函数，可得 ，则 的图象关于点 对称.又
，所以 的图象关于直线 对称，则 是以8为周期的周期函数，所以
， ， ， ，故选CD.
11.ACD 因为 ，所以
的图象关于点 中心对称，则A正确.
由题意可得 ，则
，
，所以 ，所以
的图象不关于直线 对称，则B错误.由题意可得 .设
，则 ，故 .由 ，得
；由 ，得 或 ，则 在 和 上单调递
减，在 上单调递增.因为 ， ， ，所以
，即 的值域是 ，则C正确.当 时，.因为 在 上单调递减，且 在 上单调递减，所以 在
上单调递增，则D正确.
12. 由余弦定理可得 ，则 .因为 ，
所以 ，则 外接圆的半径 ，故 外接圆的面积为 .
13.7 由题意可得 则 ，解得 .因为 ，即 ，所
以 ，所以 ，解得 .
14.15 由题可知 ，则 ，
则 .
由 ，
得 ，故原式 .
15.解：（1）因为 ，且 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .因为 ，所以 .
（2）由（1）可知 ， ， ， ，
则 .
由正弦定理可得 ，
则 ， ，故 的周长为 .
16.解：（1）由图可知 ， ，
的最小正周期 .因为 ，且 ，所以 .
因为 的图象经过点 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .故 .
（2）令 ，得 ，则 或 ，
解得 或 ，故 的零点为 或 .
（3）由题意可得 .
因为 ，所以 .当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 .
故 在 上的值域为 .
17.解：（1）因为 ，所以 ，
则 .
又 ，所以 ，从而 .
（2）由（1）可知 ，显然 在 上单调递增.
因为 ，所以由 ，可得 ，
则 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 .
18.解：（1）当 时， ，其定义域为 ，
则 .
当 时， ， 的单调递增区间为 ，
当 时， ， 的单调递减区间为 ，
故 的极大值为 ，无极小值.
（2）设 ， ， ， ，则
.设 ，则 .
设 ，则函数 的图象关于直线 对称.
①当 时， 在 上单调递减.
因为 ，所以 在 上恒成立，即 在 上恒
成立，则 在 上单调递减，即 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递减，则 ，即 在 上恒成
立，故 符合题意.
②当 时， 在 上单调递减或在 上先增后减，
因为 ，所以存在 ，使得 .
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，则 ，故
不符合题意.
综上， 的取值范围为 .
19.解：（1）因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 是首项为-1，公差为2的等差数列，
则 ，所以 ，所以 .
因为 不是常数，所以 不是“和等比数列”.
（2）①设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，
则 ，所以 .因为 是“和等比数列”，所以 ，即 ，
所以 解得 即 的和公比为4.
②由①可知 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
③设 ，
.
不等式 对任意的 恒成立，即不等式 对任意的 恒成
立.
当 为奇数时， ，则 ；
当 为偶数时， ，则 .
综上， 的取值范围是 .
