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专题 30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折
中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
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模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
P
P
P P P
P
A B
O
A B
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半
径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，
点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，连
接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ，
，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接
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，则 长的最大值为 ．
例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接
，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值
为 ．
例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿
运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点
的运动过程中，线段 的最小值为 ．
例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中，
，点E在线段 上运动，点F在线段 上，
，则线段 的最小值为 ．
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例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点A，C，N的坐标分别为 ，以点C为圆
心、2为半径画 ，点P在 上运动，连接 ，交 于点Q，点M为线段 的中点，连接 ，
则线段 的最小值为 ．
例7．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形 为矩形 内一点，
且 ，若点 绕点 逆时针旋转 到点 ，则 的最小值为 ．
例8．（2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出：
（1）如图①，在 中， ， ， ，则 的长为__________；
问题探究：（2）如图②，已知矩形 ， ， ，点P是矩形 内一点，且满足
，连接 ，求线段 的最小值；
问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地 ，其中 ，
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， ，点E为 边上一点，且 ， ，为了美化环境，要求四边
形 的面积尽可能大，求绿化区域 面积的最大值．
课后专项训练
1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在 中， ， ，以 为边作等腰直角 ，
连 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在 中， ， ， 面积的最
大值是（ ）．
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A． B． C． D．
3．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是 上任意一点，点C在 外，已知
是等边三角形，则 的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
4．（2023·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足
DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角 AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则
BH的最小值为（ ） △
A． B． C． D．
5．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边
上一动点 点 不与点 ， 重合 ，连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小
值为 ．
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6．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G是 内的一点，且 ， 是等
边三角形，若 ，则 的最大值为 ．
7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，P为 的中点，连
接 ．在矩形 外部找一点E，使得 ，则线段 的最大值为 ．
8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中， ， ，点E在BC上，且 ，点M
为矩形内一动点，使得 ，连接AM，则线段AM的最小值为______．
9．（2023江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作
平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．
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10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图， 为等腰直角三角形， ，
，点 为 所在平面内一点， ，以 、 为边作平行四边形 ，
则 的最小值为 ．
11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点 是正方形 的内部一个动点（含边界），且
，点 在 上， ，则以下结论：① 的最小值为 ；② 的最小值为 ；③
；④ 的最小值为 ；正确的是 ．
12．（2021·广东·中考真题）在 中， ．点D为平面上一个动点，
，则线段 长度的最小值为_____．
13．（2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中
点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
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14．（2023秋·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形 中， ，点 是以 为直径的
圆上的点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最大值与
最小值的和 ．
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形 中， ，Q是矩形 左侧一点，连
接 、 ，且 ，连接 ，E为 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
16．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角 中， ， ，点 是平面内一点，
，连接 ，将 绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，当 填度数 度时，
可以取最大值，最大值等于 ．
17．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图， 是腰长为4的等腰直角三角形， ，以A为
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圆心，2为半径作半圆A，交 所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接 ，把 绕点B
顺时针旋转90°到 的位置，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)当 与半圆A相切时，求弧 的长；(3)直接写出 面积的最大值．
18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 对于点 给出如下定义：将点
向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ，
点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．(1)如图，点 点 在线段 的延长线
上，若点 点 为点 的“对应点”．①在图中画出点 ；②连接 交线段 于点 求证：
(2) 的半径为1， 是 上一点，点 在线段 上，且 ，若 为 外
一点，点 为点 的“对应点”，连接 当点 在 上运动时直接写出 长的最大值与最小值的差
（用含 的式子表示）
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19．（2023下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点P是线段 上一动点（点
P不与A，C重合），连接 ，过点A作直线 的垂线段，垂足为点D，将线段 绕点A逆时针旋转
得到线段 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)连接 ，延长 交 于点F，若 的
边长为2；
①求 的最小值；②求 的最大值．
20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交
于点A和点 ，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足
，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且 ，点M在y轴正半轴，
，线段 是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
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