文档内容
燕山地区 2021—2022 学年第一学期九年级期末质量监测
数学试卷
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试试卷120分钟．
考
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
生
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
须
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
知
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转
180°后与原图重合．
2. 在等式① ；② ；③ ；⑤ ；⑤ 中，符合一元二次方程概
念的是（ ）
A. ①⑤ B. ① C. ④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元
二次方程，逐个分析判断即可．【详解】解：① ，是一元二次方程，符合题意；
② ，不是方程，不符合题意；
③ ，不是整式方程，不符合题意；
⑤ ，是二元一次方程，不符合题意；
⑤ ，是一元一次方程，不符合题意
故符合一元二次方程概念的是①
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键．
3. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆
汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可以采用列表法或树状图求解：可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果
数，根据概率公式计算可得．
【详解】画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为 ；
故选Ｃ．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情
况数之比求解
4. 利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（ ）A. 直径所对圆周角为 B. 如果点 在圆上，那么点 到圆心的距离等于半
径
C. 直径是最长的弦 D. 垂直于弦的直径平分这条弦
【答案】A
【解析】
【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.
【详解】A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为 ，
A选项符合要求；
B、C选项，根据圆的定义可以得到；
D选项，是垂径定理；
故选：A
【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.
5. 计算半径为1，圆心角为 的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式 是解题的关键．
6. 在求解方程 时，先在平面直角坐标系中画出函数 的图象，观察
图象与 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似
解是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由题意观察 的图象，进而根据与 轴的两个交点的横坐标进行分析即可.
【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为： ， ，
所以方程的近似解是 ， .
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数图象与 轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与 轴的两个交点的横
坐标可以看作是方程 的近似解进行分析.
7. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔
各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各
是多少步？”设矩形田地的长为 步，根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次
方程，此题得解．
【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步，依题意得：x（60-x）=864，
整理得 ：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
8. 在 中， ， ， ．把 绕点 顺时针旋转 后，得到
，如图所示，则点 所走过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角
为90°的扇形．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB= ，
∴点B所走过的路径长为=
故选D．
【点睛】本题主要考查了求弧长，勾股定理，解题关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
二、填空题
9. 抛物线 的顶点坐标是________，图象的开口方向是________．【答案】 ①. （1，5） ②. 开口向上
【解析】
【分析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k的图象的开口方向由a决定，a＞0时开口向上；a＜0时开口
向下以及对称轴为直线x=h和顶点坐标（h，k），进行分析即可．
【详解】解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵顶点坐标（h，k），
∴顶点坐标（1，5）.
故答案为：（1，5），开口向上.
【点睛】本题考查二次函数的性质，注意掌握抛物线顶点式y=a（x-h）2+k（ ）与顶点坐标（h，
k）．
10. 已知点 、 、 、 在圆 上，且 切圆 于点 ， 于点 ，对于下列说法：①圆上
是优弧；②圆上 是优弧；③线段 是弦；④ 和 都是圆周角；⑤ 是圆
心角，其中正确的说法是________．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【详解】解： ， 都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段 是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而 点不在圆上，则 不是圆周角故④不正确；
是圆心， 在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优
弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点
在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
11. 在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，需要添加的一个条件是________．
（写一个条件即可）
【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°
即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
12. 下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是
________．
【答案】②③④①
【解析】
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂
直，进行求解即可．
【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②，
第二步：画出圆的一条直径，即画图③；
第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即
先图④再图①，
故答案为：②③④①．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
13. 下面是用配方法解关于 的一元二次方程 的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步： ，以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接
开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二
次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是
________．
【答案】④①③②
【解析】
【分析】根据配方法的步骤：二次项系数化为1，移项，配方，求解，进行求解即可．
【详解】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键．
14. 时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季
奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以
任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到两人同坐2号车的结果数，再依据概率公式
求解即可．
【详解】解：列树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1种，
∴两人同坐2号车的概率 ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，熟知树状图或列表法求解概率是解题的关键．
在
15. 平面直角坐标系中，已知点 与点 关于原点对称，则 ________，
________．
【答案】 ①. 2 ②. 2
【解析】
【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案．
【详解】解：∵点 和点 关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；2．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特
征并运用解题是关键．
16. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论：① ；② ；③ ；
④ 中正确的是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物
线与x轴交点及x=3时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①根据图示知，该函数图象的开口向下，
∴a<0；故①正确；
②当x=3时 ，故②错误；
③该函数图象交于y轴的正半轴，∴c>0，故③正确；
④观察图像，结合抛物线的对称轴 可知： ，故④正确；
所以①③④四项正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次
函数与方程之间的转换．
三、解答题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） ．
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）直接利用开平方法解一元二次方程即可；
（2）直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为 ．如： ．根据这个
法则，
（1）计算： ________；
（2）判断 是否为一元二次方程，并求解．
（3）判断方程 的根是否为 ， ，并说明理由．
【答案】（1）
（2）是一元二次方程，
（3）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据 直接代入求值即可；
（2）根据新定义 ，将方程化简，进而解一元二次方程即可；
（3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可
【小问1详解】
故答案为：
【小问2详解】是一元二次方程
解得：
【小问3详解】
的根不是 ，
，则 ，即
【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次
方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式
方程叫做一元二次方程．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ；-1
【解析】
【详解】试题分析：先把代数式化简，再根据已知求出 ，最后带入代数式即可.试题解析：原式 = = .
∵ .
∴原式= ="-1."
考点：整式的化简，平方差和完全平方公式，求代数式的值.
20. 如图， 是 的弦， 是 上的一点，且 ， 于点 ，交 于点 ．
若 的半径为6，求弦 的长．
【答案】
【解析】
【分析】连接OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=120°，再由垂径定理得出∠AOE= ∠AOB=60°、
AB=2AE，在Rt△AOE中，由OA=2OE求解可得答案．
【详解】如图，连接OB，
则∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OD⊥AB，∴∠AOE= ∠AOB=60°，
∵AO=6，
∴在Rt△AOE中， ，
∴AB=2AE ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
21. 已知：如图，射线 ．
求作： ，使得点 在射线 上， ， ．
作法：①在射线 上任取一点 ；
②以点 为圆心， 的长为半径画圆，交射线 于另一点 ；
③以点 为圆心， 的长为半径画弧，在射线 上方交 于点 ；
④连接 、 ．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： 为 的直径，点 在 上，
（___________________________）（填推理依据）．
连接 ．
，为等边三角形（___________________________）（填推理依据）．
所以 为所求作的三角形．
【答案】（1）图形见解析
（2）直径所对的圆周角是直角；三边相等的三角形是等边三角形．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据圆周角定理等边三角形的判定和性质解决问题即可．
【小问1详解】
如图，△ABC即为所求作．
【小问2详解】
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），连接OC．
∵OA=OC=AC，∴△AOC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），∴∠A=60°．故答案为：直
径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
22. 已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为x，x，其中x＜x．若2x＝x+1，求 m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】（1）证明见解析；（2）m=5．
【解析】
【分析】（1）由题意列出一元二次方程“根的判别式”的表达式，化简后判断其值可得结论；
（2）由（1）中所得求出两根（用含“m”的式子表达），在代入2x=x+1中可得关于“m”的方程，解
1 2
方程即可求得“m”的值．
【详解】解：（1）∵在关于 的方程 中， ，∴ =
∆
=
= ，
∴关于 的方程 总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）可知： =36，
∆
∴原方程的两根为： ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ．
23. 苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒山，
他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
成活率（ 成活率（
移植棵数（ 成活数（ 移植棵数（ 成活数（
） ） ） ） ） ）
.
50 47 0.940 1500 1335 0 890
270 235 0.870 3500 3203 0.915
400 369 0.923 7000 6335
750 662 0.883 14000 12628 0.902
根据以上信息，回答下列问题：
（1）当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是________，那么成活率 是________
（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成
活的概率是________
（3）若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活________；（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论正确吗？说明理由．
【答案】（1）6335；0.905；
（2）0.900； （3）9000棵；
（4）此结论不正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；
（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成
活的概率是0.900；
（3）利用成活数=总数×成活概率即可得到答案；
（4）根据概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，即可
得到答案．
【小问1详解】
解：由表格可知，当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是6335，
∴成活率 ，
故答案为：6335；0.905；
【小问2详解】
解：∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率值，
∴可以估计树苗成活的概率是0.900，
故答案为：0.900；
【小问3详解】
解：由题意得：若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活 课树苗，
故答案为：9000棵；
【小问4详解】
解：若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论不正确，理由如下：
∵概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，
∴若小王移植20000棵这种树苗，不一定能成活18000棵，只能说是可能成活18000棵．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的
频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中
趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求 的值；
（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）这个二次函数的图象经过点 和 两点，写出 ________， ________．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）见解析； （4）4；5
【解析】
【分析】（1）设这个二次函数解析式为 ，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据所求的函数解析式，把 代入函数解析式中求出y的值即可得到答案；
（3）根据题目所给的表格，先描点，然后连线，画出函数图像即可；
（4）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性即可求出a的值，然后把 代入函数解析式中即可求
出b的值．
【小问1详解】
解：设这个二次函数解析式为 ，∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵二次函数解析式为 ，
∴当 时， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：函数图像如下所示：
【小问4详解】
解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∴当 和 时的函数值相同，
∴ ，当 时， ，
∴ ，
为
故答案 ：4；5．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图像，求二次函数的函数值，解题的关键在于能
够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
25. 学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•安全文明出行”主题活动启动仪式，
班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌
子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
（1）“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），
第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
【答案】（1）不可能；随机；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【小问1详解】
解：该班同学“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽中”的概
率为 ，
故答案 为：不可能、随机、 ；
【小问2详解】
解：根据题意可画树状图如下：共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果．
所以 .
【点睛】此题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适
用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放
回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26. 如图，以四边形 的对角线 为直径作圆，圆心为 ，点 、 在 上，过点 作
的延长线于点 ，已知 平分 ．
（1）求证： 是 切线；
（2）若 ， ，求 的半径和 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即
可求出结果．
【小问1详解】
证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
【小问2详解】
解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt OFD中，OF=AE=4，
△
∴ ，
在Rt AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
△
∴ ，
的
∴AD 长是 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线
的判定与性质．
27. 中， ，以点 为中心，分别将线段 ， 逆时针旋转 得到线段 ， ，连接 ，延长 交 于点 ．
（1）如图1，若 ， 的度数为________；
（2）如图2，当 时，
①依题意补全图2；
②猜想 与 的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）120°
（2）①图形见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据 进而判断出点E在边AB上，得出 ADE≌△ABC（SAS），进而得出
△
∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；②先判断出 ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出
△
Rt AEF≌Rt ACF，进而求出∠CAF= ∠CAE=30°，即可得出结论．
△ △
【小问1详解】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，
∴点E在边AB上，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，
故答案为120°；
【小问2详解】
（2）①依题意补全图形如图2所示，
②如图2，连接AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED=∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
∴Rt AEF≌Rt ACF(HL)，
∴∠△EAF=∠CA△F，
∴∠CAF= ∠CAE=30°，
在Rt ACF中，CF= AF，且AC2+CF2=AF2，
△
∴
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，
含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ， （ 在 的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线 ， ．求抛物线的表达式；
（2）将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点 ，且与 正半轴交于
点 ，记平移后的抛物线顶点为 ，若 是等腰直角三角形，求点 的坐标；（3）当 时，抛物线上有两点 和 ，若 ， ， ，试判断 与
的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对称性求得点 的坐标，进而设抛物线交点式即可求得解析式；
（2）根据对称性以及等腰直角三角形的性质即可求得点 的坐标；
（3）根据 ，求得对称轴，根据抛物线开口向下，离对称轴越远的点，其函数值越大，据此分析即可．
【小问1详解】
， ，且抛物线 与 轴交于点 ， ， 在 的左侧．
设
解得
设抛物线的解析式为
又 ，
即
【小问2详解】抛物线的对称轴为
将抛物线向左平移2个单位，则新抛物线的对称轴为
关于 对称
设
是等腰直角三角形
都小于90°
是直角
解得
根据函数图象可知当 时不合题意，舍去
【小问3详解】， ， ，
和 在抛物线上，则点 离抛物线的对称轴更近，
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的
性质是解题的关键．
