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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间向量的概念与表示
一、选择题（共20小题；）
1. 下列有关空间向量的命题是真命题的是 ()
A. 单位向量的模都为 1，且共线
B. 若 ∣⃗a∣=∣⃗b∣，则 ⃗a，⃗b 的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量 ⃗AB，⃗CD 满足 ∣⃗AB∣>∣⃗CD∣，且 ⃗AB 与 ⃗CD 同向，则 ⃗AB>⃗CD
D. 若两个非零向量 ⃗AB 与 ⃗CD 满足 ⃗AB+⃗CD=0⃗，则 ⃗AB∥⃗CD
2. 下列说法中正确的是 ()
A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 基底 ⃗a，⃗b，⃗c 中基向量与基底 ⃗e，⃗f，⃗g 中基向量对应相等
3. 对 于 空 间 任 意 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A， B， C， 且 有
⃗OP=x⃗OA+ y⃗OB+z⃗OC(x,y,z∈R)，则 x=2，y=−3，z=2 是 P，A，B，C 四点共面
的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 下列各组向量共面的是 ()
A. ⃗a=(1,2,3),⃗b=(3,0,2),⃗c=(4,2,5)
B. ⃗a=(1,0,0),⃗b=(0,1,0),⃗c=(0,0,1)
C. ⃗a=(1,1,0),⃗b=(1,0,1),⃗c=(0,1,1)
D. ⃗a=(1,1,1),⃗b=(1,1,0),⃗c=(1,0,1)
5. 已知空间四边形 ABCD，M，G 分别是 BC，CD 的中点，连接 AM，AG，MG，则
1
⃗AB+ (⃗BD+⃗BC) 等于 ()
2
1
A. ⃗AG B. ⃗CG C. ⃗BC D. ⃗BC
2
6. O,A,B,C 为空间四个点，一定使得 ⃗OA，⃗OB，⃗OC 为空间的一个基底的条件是 ()
A. O,A,B,C 四点共面，但不共线
B. O,A,B,C 四点不共线
C. O,A,B,C 四点中任意三点不共线
D. O,A,B,C 四点不共面π
7. 已知空间向量 ⃗a，⃗b 满足 ∣⃗a∣=∣⃗b∣=1，且 ⃗a，⃗b 的夹角为 ，O 为空间直角坐标系的
3
原点，点 A，B 满足 ⃗OA=2⃗a+⃗b，⃗OB=3⃗a−⃗b，则 △OAB 的面积为 ()
5 5 7 11
A. √3 B. √3 C. √3 D.
2 4 4 4
8. 已知 ⃗e ，⃗e 是夹角为 60∘ 的两个单位向量，则 ⃗a=⃗e +⃗e 与 ⃗b=⃗e −2⃗e 的夹角是 ()
1 2 1 2 1 2
A. 60∘ B. 120∘ C. 30∘ D. 90∘
9. 在正方体 ABCD - A B C D 中，若 ⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b,⃗A A =⃗c，则 ⃗C A = ()
1 1 1 1 1 1
A. ⃗a+⃗b+⃗c B. −⃗a+⃗b+⃗c C. −⃗a−⃗b+⃗c D. ⃗a−⃗b−⃗c
10. 在空间四边形 OABC 中，⃗OA+⃗AB−⃗CB 等于 ()
A. ⃗OA B. ⃗AB C. ⃗OC D. ⃗AC
11. 如图，在平行六面体 ABCD−A B C D 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 ⃗A B =⃗a，
1 1 1 1 1 1
⃗A D =⃗b，⃗A A=⃗c，则下列向量中与 ⃗B M 相等的向量是 ()
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
A. − ⃗a+ ⃗b+⃗c B. ⃗a+ ⃗b+⃗c C. ⃗a− ⃗b+⃗c D. − ⃗a− ⃗b+⃗c
2 2 2 2 2 2 2 2
12. 在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 ⃗AE⋅⃗CF= ()
1 3 1
A. 0 B. C. − D. −
2 4 2
1
13. 如图，在四面体 ABCD 中，设 G 是 CD 的中点，则 ⃗AB+ (⃗BD+⃗BC) 等于 ()
2
A. ⃗AD B. ⃗BG C. ⃗CD D. ⃗AG
14. 已知 ⃗a=(1−t,2t−1,0)，⃗b=(2,t,t)，则 ∣⃗b−⃗a∣ 的最小值为 ()
A. √5 B. √6 C. √2 D. √315. 如图，OABC 是四面体，G 是 △ABC 的重心，G 是 OG 上一点，且 OG=3OG ，则
1 1
()
1 1 1
A. ⃗OG =⃗OA+⃗OB+⃗OC B. ⃗OG = ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC
1 1 3 3 3
3 3 3 1 1 1
C. ⃗OG = ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC D. ⃗OG = ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC
1 4 4 4 1 9 9 9
16. 已知矩形 ABCD 中，AB=1，BC=√3，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使平面 ABC
与平面 ACD 垂直，则 ∣⃗BD∣= ()
√10 √6 √5
A. B. C. D. 2
2 2 2
17. 如图，在空间四边形 OABC 中，⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b，⃗OC=⃗c，点 M 为 OA 的中点，点 N
为 BC 的中点，则 ⃗MN 等于 ()
1 2 1 1 1 1
A. ⃗a+ ⃗b+ ⃗c B. − ⃗a+ ⃗b+ ⃗c
2 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1
C. ⃗a+ ⃗b− ⃗c D. − ⃗a+ ⃗b− ⃗c
2 2 2 3 3 2
18. 下列命题正确的是 ()
A. 若 ⃗a 与 ⃗b 共线， ⃗b 与 ⃗c 共线，则 ⃗a 与 ⃗c 共线
B. 向量 ⃗a 、 ⃗b 、 ⃗c 共面就是它们所在的直线共面
C. 零向量没有确定的方向
D. 若 ⃗a∥⃗b ，则存在惟一的实数 λ 使得 ⃗a=λ⃗b
19. 对于空间一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有 6⃗OP=⃗OA+2⃗OB+3⃗OC，则 ()
A. O，A，B，C 四点共面 B. P，A，B，C 四点共面
C. O，P，B，C 四点共面 D. O，P，A，B，C 五点共面20. 已知两非零向量 ⃗e ，⃗e ，且 ⃗e 与 ⃗e 不共线，设 ⃗a=λ⃗e +μ⃗e （λ,μ∈R，且 λ2+μ2≠0），
1 2 1 2 1 2
则 ()
A. ⃗a∥⃗e B. ⃗a∥⃗e
1 2
C. ⃗a 与 ⃗e ，⃗e 共面 D. 以上三种情况均有可能
1 2
二、填空题（共5小题；）
1 2
21. 巳知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若由 ⃗OP= ⃗OA+ ⃗OB+λ⃗OC
5 3
确定的点 P 与 A，B，C 三点共面，则 λ= ．
22. 已知 ⃗a，⃗b，⃗c 是空间中两两垂直的单位向量，⃗m=⃗a+⃗b，⃗n=⃗b−⃗c，则 ⃗m 与 ⃗n 的夹角为
．
23. 在平面内若一直线 l 垂直于 x 轴，则 l 的单位方向向量可表示为 (0,1) ．在空间若一直线 m
垂直于平面 xOy ，则 m 的单位方向向量可表示为 ．
24. 有下列命题：
① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③ 在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④ 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确命题的序号是 ．
25. 设平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 E，P 为空间任意一点，如图所示，若
⃗PA+⃗PB+⃗PC+⃗PD=x⃗PE，则 x= ．
三、解答题（共5小题；）
π π
26. 设 ⃗a⊥⃗b，⟨⃗a,⃗c⟩= ， ⟨⃗b,⃗c⟩= ，且 ∣⃗a∣=1，∣⃗b∣=2，∣⃗c∣=3，求向量 ⃗a+⃗b+⃗c
3 6
的模．
27. 已知 i⃗ 、 ⃗j 、 ⃗k 是空间中不共面的三个向量， ⃗a=2i⃗+⃗j+3⃗k，⃗b=−i⃗−⃗j+2⃗k，
⃗c=5i⃗+3⃗j+4⃗k，求证：向量 ⃗a，⃗b，⃗c 共面．
28. 已知 A， B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足
1
⃗OM= (⃗OA+⃗OB+⃗OC)．
3
（1）判断 ⃗MA，⃗MB，⃗MC 三个向量是否共面；（2）判断点 M 是否在平面 ABC 内．
29. 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是 △ABC，△OBC 的重心，设 ⃗OA=⃗a，
⃗OB=⃗b，⃗OC=⃗c，试用向量 ⃗a，⃗b，⃗c 表示向量 ⃗OG，⃗GH．
30. 如图，设 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是平行四边形对角线 AC 和 BD 的
交点，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y 的值．
（1）⃗OQ=⃗PQ+x⃗PC+ y⃗PA；
（2）⃗PA=x⃗PO+ y⃗PQ+⃗PD．答案
1. D 【解析】选项 A 中，单位向量模为 1，但不一定共线；
选项 B 中，模相等，但方向不一定相同或相反；
选项 C 中，两个向量只能说相等或不相等，不能比较大小；
选项 D 中，⃗AB+⃗CD=0⃗，则 ⃗AB=−⃗CD，所以 ⃗AB∥⃗CD．
2. C 【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；
B 项，空间基底有无数个；
D 项中因为基底不惟一，所以 D 错．
3. A 【解析】对于空间任意以定点 O，使得点 P，A，B，C 共面时有
⃗OP=(1−x−y)⃗OM+x⃗OA+ y⃗OB，所以 x=2，y=−3，z=2 是 P，A，B，C 四点不必要条件．
4. A
5. A
1
【解析】因为 G 是 CD 的中点，所以 (⃗BD+⃗BC)=⃗BG．
2
1
所以 ⃗AB+ (⃗BD+⃗BC)=⃗AB+⃗BG=⃗AG
2
6. D
7. B 【解析】∣⃗OA∣=√(2⃗a+⃗b) 2 =√4∣⃗a∣ 2+∣⃗b∣ 2+4⃗a⋅⃗b=√7，同理 ∣⃗OB∣=√7，
⃗OA⋅⃗OB 6∣⃗a∣ 2−∣⃗b∣ 2+⃗a⋅⃗b 11
则 cos∠AOB= = = ，
∣⃗OA∣∣⃗OB∣ 7 14
5√3
从而有 sin∠AOB= ，
14
1 5√3 5√3
所以 △OAB 的面积 S= ×√7×√7× = ．
2 14 4
1 3
8. B 【解析】因为 ⃗a⋅⃗b=(⃗e +⃗e )⋅(⃗e −2⃗e )=⃗e 2−⃗e ⋅⃗e −2⃗e 2=1−1×1× −2=− ，
1 2 1 2 1 1 2 2 2 2
∣⃗a∣= √⃗a2
= √(⃗e +⃗e ) 2
1 2
= √⃗e 2+2⃗e ⋅⃗e +⃗e 2
1 1 2 2
= √1+1+1
= √3,
∣⃗b∣= √⃗b2
= √(⃗e −2⃗e ) 2
1 2
= √⃗e 2−4⃗e ⋅⃗e +4⃗e 2
1 1 2 2
= √1−2+4
= √3.3
−
所以 ⃗a⋅⃗b 2 1，
cos⟨⃗a,⃗b⟩= = =−
∣⃗a∣∣⃗b∣ 3 2
所以 ⟨⃗a,⃗b⟩=120∘．
9. C 【解析】⃗C A =⃗CA+⃗A A =−⃗AC+⃗A A =−(⃗AB+⃗AD)+⃗A A =−⃗a−⃗b+⃗c．
1 1 1 1
10. C
【解析】⃗OA+⃗AB−⃗CB=⃗OB+⃗BC=⃗OC．
1 1
11. A 【解析】提示：⃗B M=⃗B B+⃗BM=− ⃗a+ ⃗b+⃗c．
1 1 2 2
12. D 【解析】因为 E，F 分别是 BC，AD 的中点，
所以
⃗AE⋅⃗CF = 1 (⃗AB+⃗AC)⋅ (1 ⃗AD−⃗AC )
2 2
1
¿ = (1×1×cos60∘+1×1×cos60∘−2×cos60∘−2)
4
¿ ¿
13. D
14. C 【解析】因为 ⃗a=(1−t,2t−1,0)，⃗b=(2,t,t)，
所以 ∣⃗b−⃗a∣=√(1+t) 2+(1−t) 2+t2=√3t2+2≥√2，
所以当 t=0 时，∣⃗b−⃗a∣ 取得最小值 √2．
15. D
【解析】因为 G 是 △ABC 的重心，
所以
2 1
⃗AG = × (⃗AB+⃗AC)
3 2
¿ ¿
所以
⃗OG =⃗OA+⃗AG
1
¿ =⃗OA+ (⃗OB−⃗OA+⃗OC−⃗OA)
3
¿ ¿
⃗OG=3⃗OG ，
1所以
1
⃗OG = ⃗OG
1 3
1 1 1
¿ = ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC.
9 9 9
1 √3
16. A 【解析】过点 B，D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M，N，则可得 AM= ，BM= ，
2 2
1 √3
CN= ，DN= ，MN=1．
2 2
由于 ⃗BD=⃗BM+⃗MN+⃗ND，
所以
∣⃗BD∣ 2 =(⃗BM+⃗MN+⃗ND) 2
2 2
¿ =
(√3)
+12+
(√3)
+2×(0+0+0)
2 2
¿ ¿
√10
所以 ∣⃗BD∣= ．
2
故选A．
⃗MN =⃗MA+⃗AB+⃗BN
1 1
¿ =− ⃗OA+⃗OB+ (⃗OC−⃗OB)
17. B 【解析】 2 2
1 1 1
¿ =− ⃗a+ ⃗b+ ⃗c.
2 2 2
18. C
19. B 【解析】由 6⃗OP=⃗OA+2⃗OB+3⃗OC 得 ⃗OP−⃗OA=2(⃗OB−⃗OP)+3(⃗OC−⃗OP)，
即 ⃗AP=2⃗PB+3⃗PC，
因为 ⃗AP，⃗PB，⃗PC 共面，又它们有公共点 P，
所以 P，A，B，C 四点共面．
20. C
【解析】假设 ⃗a 与 ⃗e 共线，则设 ⃗a=k⃗e ，
1 1
所以 ⃗a=λ⃗e +μ⃗e 可变为 (k−λ)⃗e =μ⃗e ，
1 2 1 2
所以 ⃗e 与 ⃗e 共线，这与 ⃗e 与 ⃗e 不共线相矛盾，故假设不成立，
1 2 1 2
即 A 项不正确，同理 B 项不正确，则 D 项也错误，故选 C．
2
21.
15
1 2
【解析】提示： + +λ=1 时，P，A，B，C 四点共面．
5 3
22. 60∘【解析】因为 ⃗a，⃗b，⃗c 是空间中两两垂直的单位向量，所以 ∣⃗m∣=√(⃗a+⃗b)⋅(⃗a+⃗b)=√2，
∣⃗n∣=√(⃗b−⃗c)⋅(⃗b−⃗c)=√2，⃗m⋅⃗n=(⃗a+⃗b)⋅(⃗b−⃗c)=⃗b⋅⃗b=1，
⃗m⋅⃗n 1
所以 cos⟨⃗m,⃗n⟩= = ，故 ⟨⃗m,⃗n⟩=60∘．
∣⃗m∣⋅∣⃗n∣ 2
23. (0,0,1)
24. ②④
【解析】如图，AB 连起来并不是圆柱的母线，所以 ① 不对，同理 ③ 不对．
②④ 都正确．
25. 4
【解析】∵E 为 AC，BD 的中点，
1 1
∴ 由中点公式，得 ⃗PE= (⃗PA+⃗PC)，⃗PE= (⃗PB+⃗PD)．
2 2
∴⃗PA+⃗PB+⃗PC+⃗PD=4⃗PE，从而 x=4．
∣⃗a+⃗b+⃗c∣ 2 =(⃗a+⃗b+⃗c) 2
26. ¿ =1+4+9+2 ( 2×3× √3 +1×3× 1)
2 2
¿ ¿
所以 ∣⃗a+⃗b+⃗c∣=√17+6√3．
27. 设 ⃗c=m⃗a+n⃗b，则
5i⃗+3⃗j+4⃗k=m(2i⃗+⃗j+3⃗k)+n(−i⃗−⃗j+2⃗k)=(2m−n)i⃗+(m−n)⃗j+(3m+2n)⃗k，
{2m−n=5,
{m=2,
所以 m−n=3, 解得
n=−1.
3m+2n=4,
所以 ⃗c=2⃗a−⃗b，
所以向量 ⃗a，⃗b，⃗c 共面．
28. （1） 由题意知 ⃗OA+⃗OB+⃗OC=3⃗OM，
所以 ⃗OA−⃗OM=(⃗OM−⃗OB)+(⃗OM−⃗OC)，
即 ⃗MA=⃗BM+⃗CM=−⃗MB−⃗MC，
所以 ⃗MA，⃗MB，⃗MC 共面．
（2） 由（1）知 ⃗MA，⃗MB，⃗MC 共面且过同一点 M，
所以 M，A，B，C 四点共面．所以点 M 在平面 ABC 内．
29. 设 BC 中点为 D，连接 OD，OG，AD，GH，则 G 在 AD 上，H 在 OD 上．
2 1
因为 ⃗OG=⃗OA+⃗AG，而 ⃗AG= ⃗AD，⃗AD=⃗OD−⃗OA，⃗OD= (⃗OB+⃗OC)，
3 2
2 2
所以⃗OG=⃗OA+ ⃗AD =⃗OA+ (⃗OD−⃗OA)
3 3
1 2 1
¿ = ⃗OA+ ⋅ (⃗OB+⃗OC) 1 1 1
3 3 2 = ⃗AO=− ⃗OA=− ⃗a.¿
3 3 3
1
¿ = (⃗OA+⃗OB+⃗OC)
3
¿ ¿
30. （1） 因为
⃗OQ =⃗PQ−⃗PO
1 1 ，
¿ =⃗PQ− ⃗PA− ⃗PC
2 2
1
所以 x= y=− ．
2
（2） 因为 ⃗PA+⃗PC=2⃗PO，
所以 ⃗PA=2⃗PO−⃗PC．
又 ⃗PC+⃗PD=2⃗PQ，
所以 ⃗PC=2⃗PQ−⃗PD．
即 ⃗PA=2⃗PO−(2⃗PQ−⃗PD)=2⃗PO−2⃗PQ+⃗PD，
所以 x=2，y=−2．
