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2021 北京八中初三（上）期中
数 学
一.选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 抛物线 的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】因为顶点式 ，对称轴是直线 ，所以抛物线 的对称轴是直线
．
【详解】解： ，对称轴是直线 ，
抛物线 的对称轴是直线 ，
故选：B．
【点睛】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式 ，顶点坐标是 ，对称轴
是直线 ．
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与
人工智能机器人 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案
是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一
个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图
形，这个点就是它的对称中心．
3. 将抛物线 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】解：将抛物线 先向右平移 个单位，得到 ，
再向上平移 个单位，得到的抛物线是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
4. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转 °后能与原来的图案互相重合，则 的最小值为（
）
A. 45 B. 60 C. 72 D. 144
【答案】C
【解析】
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是 ，并且圆具有旋转不变性，因而旋转
的整数倍，就可以与自身重合．【详解】该图形被平分成五部分，旋转 的整数倍，就可以与自身重合，
故 的最小值为 ．
故选：C
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
5. 已知函数 ，其中 ，此函数的图象可以是（ ）
A. ． B. ． C. ．
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据系数与图象的关系解答即可．
【详解】解：由 得 ，
∴图象开口向下，故A选项错误；
∵ ，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，且图象与y轴交于负半轴，
故B、C选项错误，D选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了抛物线 的图象与字母系数的关系，a决定抛物线的开口方向及大小；
a、b的符号决定抛物线的对称轴位置：左同右异；c决定抛物线与y轴交点位置，熟记各字母系数与图象的关系是解题的关键．
6. 已知二次函数 的部分图象如图所示，则使得函数值 大于 的自变量 的取值可以是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2
上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，
∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），
当-3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
7. 某电视机厂计划用两年的时间把某型号的电视机成本降低 ，若每年下降的百分数相同，则这个百分
数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可设原来的成本为1．经过两次变化后的数量关系为 ，把相关数值代入求合适解即
可．
【详解】解：设每年下降的百分数为 ．
，
，，
．
答：这个百分数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 ，变化后的量为 ，
平均变化率为 ，则经过两次变化后的数量关系为 ．
8. 如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，
是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形
中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
【详解】∵ ，∴当 时， ，
解得： ，
∴A点与B点坐标分别为：( ，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度= ，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
即：OE= BD，
∵D点是圆上的动点，
的
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆 半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE= BD=2，
即OE的最小值为2，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
二.填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知 是关于x的二次函数，那么m的值为______
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为 ，系数不为 ，列式计算即可；
【详解】解： 是y关于x的二次函数，且 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为 且指数为 是解题的关键．
10. 已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，然后解关于k的方程．
【详解】解：把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，解得k=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
11. ⊙O的半径为3，点P 在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件____________．
【答案】d>3
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故答案为：d＞3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外 d
＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r． ⇔
12. 如图，在⊙O⇔中，OC⊥AB，∠AD⇔C=32°，则∠OBA的度数是__________
【答案】26°
【解析】
【分析】根据垂径定理可得 ，再根据圆周角定理及其推论求得∠BOC=2∠ADC，进而可求得的
∠OBC 度数．
【详解】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴ ，∠BOC+∠OBA=90°，
∴∠BOC=2∠ADC=64°，
∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，
故答案为：26°．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握垂径定理和圆周
角定理及其推论是解答的关键．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方
向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可知 为等腰直角三角形， ，旋转的性质可得 ， ，
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知 为等腰直角三角形，
由旋转的性质可得， 为旋转角， ，旋转角的度数为
连接 ，如下图：则 ，
由勾股定理可得：
故答案为 ，
【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了勾股定理，掌握旋转的有关性质以及勾股定理是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-3），半径为1的动圆⊙A沿y轴正方向运动，若运
动后⊙A与x轴相切，则点A的运动距离为____________．
【答案】2或4
【解析】
【分析】利用切线的性质得到点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），然后分别
计算点（0，-1）和（0，1）到（0，-3）的距离即可．
【详解】解：若运动后⊙A与x轴相切，
则点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），
而-1-（-3）=2，1-（-3）=4，
∴点A的运动距离为2或4，
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．
【答案】0．
【解析】
【分析】利用根的判别式列出方程，再确定c的最小值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式列出方程，
根据非负数的性质确定最值．
16. 如图1，在 中， ， 是边 上一动点，设 ， 两点之间的距离为 ， ， 两点
之间的距离为 ，表示 与 的函数关系的图像如图2所示．则线段 的长为___________，线段 的
长为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】从图像得出看，当 时， 重合，此时 ，则 ，即当
时， 为以点 为顶点腰长为 的等腰三角形，进而求解．【详解】解：从图像看，当 时， ，
即 时， ，
当 时， ，即 时， 重合，
此时 ，则 ，
即当 时， 为以点 为顶点腰长为 的等腰三角形，如下图：
过点 作 于点 ，
在 中， ，
则 ，
在 中， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图像，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图像和图形的对应关系，
进而求解．
三.解答题（本题共68分，17题4分，18—21题5分，22—23每题6分，24题7分，25题5
分，26题6分，27—28每题7分）
17. 解关于x的方程：
【答案】x=-2，x=-1
1 2
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（x+2）（x+1）=0．
∴x=-2，x=-1．
1 2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 …
y … -5 0 3 4 3 0 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象 （不用列表） ；
（3）结合函数图象，当y>0时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1） ；（2）图见解析；（3） ．
【解析】
【分析】（1）先根据表格可知二次函数的顶点坐标为 ，从而可得二次函数的解析式为
，再将点 代入计算即可得；
（2）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可得；
（3）找出函数图象位于 轴上方时， 的取值范围即可得．
【详解】解：（1）由表格可知，此二次函数的顶点坐标为 ，
则设二次函数的解析式为 ，将点 代入得： ，解得 ，
则二次函数的解析式为 ，即 ；
（2）利用描点法画出函数图象如下：
（3） 表示二次函数的图象位于 轴上方，
则自变量 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、画二次函数的图象等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
的
19. 已知关于 一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时 的值．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】 先根据题意求出 的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式 的关系即可得出结论；
利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于 的方程，解方程即可得到结论．
【小问1详解】
证明： ，方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解： ，
，
， ．
方程两个根的绝对值相等，
．
或 ．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式 与 的关系判定方程根的情况是解
决本题的关键．
20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，
EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．
【答案】13.
【解析】
【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半
径OC． △
【详解】如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．∴CM=MD．
∵CD=10，
∴CM=5．
设OC=x，则OM=25-x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25-x）2=x2．
解得 x=13．
∴⊙O的半径为13．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的
一半为三边的直角三角形．
21. 已知：如图， ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= ．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线
段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC= ∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP= ∠BAC
【答案】（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【解析】
【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC= ∠BAC，从而可得答案．
【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC= ∠BAC（ 在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP= ∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧
所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．
22. 如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求
∠ADC的度数．
【答案】30°
【解析】
【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°．
根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．
∴AB＝BD=BC，∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝75°，∠BDA＝45°
∴∠ADC＝∠BDC ﹣∠BDA＝30°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点性质是解答
的关键．
23. 体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部
分，如果球出手处 点距离地面的高度为 ，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 的 处
（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
【答案】 米
【解析】
【分析】以 所在直线为 轴，过点 作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，则
，然后设函数解析式为 ，进而把点A代入求解函数解析式，最后求解
问题即可．
【详解】解：以 所在直线为 轴，过点 作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，则有
，如图所示：设函数解析式为： ，则把点A代入得：
，解得： ，
∴函数解析式为 ，
令 ，则有 ，解得： （舍）， ，
所以，该同学把实心球扔出 米．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 已知四边形 内接于 ， ．
（1）如图1，连接 ，若 的半径为6， ，求 的长；
（2）如图2，连接 ，若 ， ，对角线 平分 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】对于（1），先求出 ，再根据勾股定理求出答案；
对于（2），连接 ，作 ， 求出 ，再说明 ，根据勾股定理，求出 ，结合
，求出 ，然后求 ，进而得出答案.
【小问1详解】
，
是直径，
.
根据勾股定理，得 ，
即 ，
；
【小问2详解】
如图2，连接 ，作 ，
， ， ，
.
平分 ，
，
，
.四边形 内接于 ， ，
，
根据勾股定理，得 ，
∴ .
，
.
在 中， ，
．
【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆内接四边形的性
质等，勾股定理是求线段长的常用方法．
25. 阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
… …
… …
其中 ______；
（2）在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图
象；（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当 时，则y的取值范围为______．
②直线 经过点 ，若关于x的方程 有4个互不相等的实数根，则b的取
值范围是______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）① ；②
【解析】
【分析】（1）把 代入函数解析式即可得 的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）①根据（2）画出的函数图象得到函数 的图象关于y轴对称；当 时，根
据函数图象可得到 ；
②根据函数的图象即可得到b的取值范围是 ．
【小问1详解】
将 代入函数 得：
．
故答案为：
【小问2详解】
根据表格：… …
… …
描点法作出函数 的图象如下图所示：
【小问3详解】
①根据函数图象可知：
当 时，y的取值范围是 ；
故答案为： ；
②由函数图象知：∵关于x的方程 有 个互不相等的实数根，
∴b的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点A是抛物线 的顶点．（1）求点A的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）若射线 与 轴所成的锐角为 ，求 的值；
（3）将点 向左平移4个单位得到点 ，若抛物线与线段 只有一个公共点，求出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） ， ，
（3） ，且
【解析】
【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得A点坐标．
（2）作 轴于H，得出 为等腰直角三角形，即 ，由（1）得出关于m的方程解方
程即可；
（3）由（1）得出顶点A在直线 上移动，求出A点与P点重合时，和抛物线过Q点时两个临
界值得出取值范围并验证即可．
【小问1详解】
∵ ，
∴顶点 ；
【小问2详解】
解：作 轴于点H，∵射线 与x轴所成的锐角 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴m 的值为1或 ；
【小问3详解】
解：∵点 向左平移4个单位得到点Q，
∴ ，且 轴，
由（1）知 ，
设 ，消掉m，得 ，
∴点A在直线 上移动，∵抛物线与线段 只有一个公共点，
由上图知，当A点与P点重合时，符合条件，此时 ，
当顶点A沿直线 向上移动时，抛物线与线段PQ均只有一个交点，
当抛物线过Q点时，
即当 时， ，
解得 或 ，
当 时，抛物线为 ，
此时抛物线与线段 的交点有P点和Q点两个交点，不符合题意，舍去，
当 时，抛物线正好经过点 ，符合题意，
所以当 且 时，抛物线与线段有 有一个交点．
【点睛】此题考查的是二次函数综合题，考查的是数形结合，及角平分线的性质，根据图象，判断临界位
置，是解题的关键．
27. 如图，已知：过 上一点 作两条弦 、 ，且 ， ， 都不经过 过
作 的垂线 交 于 ，直线 ， 交于点 ，直线 ， 交于点 ．（1）证明： ；
（2）探索线段 、 、 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2） ，见解析
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 为等腰直角三角形，再证明 ，即可得出结论；
（2）过点 作 交 于 ，先证明 为等腰直角三角形，得出 ，再证明
得出 ，由 ，等量代换即可证明 ．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 ，
，
，
为 的直径，
，
，，
，
，
，
四边形 内接于 ，
，
在 与 中， ，
，
；
【小问2详解】
解： ，
证明：如图2，过点 作 交 于 ，
，
为等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形 ，给出如下定义：
过点 作 轴和 轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形 中的任意一点 满足 且 ，则
称四边形 是图形 的一个覆盖，点 为这个覆盖的一个特征点．
例： 已知 ， ，则点 为线段 的一个覆盖的特征点．
（1）已知： ， ，点 ，
① 在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的为___________；
的
② 若在一次函数 图像上存在 的覆盖的特征点，求 的取值范围．
（2）以点D（3，4）为圆心，半径为 作圆，在抛物线 上存在⊙ 的覆盖的特
征点，直接写出 的取值范围__________________．
【答案】（1）① ， ；②m≥-1且m≠0；（2） 或【解析】
【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断
②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当 时，代入抛
物线 得， ，结合图像得 ， ，在直线x=4的右侧y随x的增
大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可．
【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即： 且 ，
所以 ， 是覆盖的特征点
②设点 为 的覆盖的特征点．依题意得： ，
当 时，结合函数图像可知，在一次函数 的图像上存在 的覆盖的特征点，故符
合题意．
当 时，如图，点 为 的覆盖的特征点．
又∵点 在一次函数 的图像上，
又∵点 在一次函数 的图像上，
当直线 过点 时，即：解得： ．
∴结合函数图像可知 ．
综上所述： ．
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，
当 时，代入抛物线 得
，
解得： ，
结合图像得 ，即存在覆盖特征点，
当 时，此时y=4是一直线，不存在符合条件点，
当 时，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点，综合得 的范围是 或 ．
【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大
值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．
