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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市第十三中学 2023－2024 学年度
七年级数学期中测试
2024年4月
考生须知：
1.本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分100分．考试时间100分钟．
2.在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.选择题、作图题在答题卡上用 2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题卡上完成
作答．
5.考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合
题意的．
1. 在平面直角坐标中，点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．
【详解】解： ， ，
在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内坐标的符号：第一象限： ， ；第二象限：
， ；第三象限： ， ；第四象限： ， ．
2. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B. 对顶角相等
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
【答案】A
【解析】
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【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
利用两直线的位置关系、对顶角的性质、平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，是真命题，不符合题意；
故选：A．
3. 若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A. a﹣3＜b﹣3 B. ﹣2a＞﹣2b C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、根据不等式性质1，不等式a＞b两边都减去3可得a﹣3＞b﹣3，原变形不成立，故此选
项不符合题意；
B、根据不等式性质3，不等式a＞b两边都乘以﹣2可得﹣2a＜﹣2b，原变形不成立，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质2，不等式a＞b两边都除以4可得 ＞ ，原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、根据不等式性质3，不等式a＞b两边都除以﹣2可得﹣ ＜﹣ ，原变形成立，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 如图，点 在射线 上，下列条件中能判断 的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判定即可．
【详解】解：∠1＝∠2不能判断AD平行BC，故A不符合题意；
∠4＝∠2+∠3，故C和D不符合题意；
∠1＝∠3可得AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记定理是解题的关键，定理1：两条直线被第三条所截，如果同位
角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所截，
如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．定理3：两条直线被第三
条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
5. 下列实数 ， ， ， ， 中，无理数有（ ）
A. 1 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不
尽方的数，含 的数，有规律但是不循环的数．
根据无理数的定义进行解答即可，无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，定要同时理解有理数的
概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数而无限不循环小数是无理数．
【详解】解： ，
根据无理数的定义，无理数有： ， ，
故选：C．
6. 将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是( )
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A. 30° B. 45° C. 60° D. 65°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先根据两角互余的性质求出∠3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
∵∠1+∠3=90°，
∠1=30°，∴∠3=60°． ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠3=60°．
考点：平行线的性质
7. 如图，是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方
向为 轴、 轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为 ，表示本仁殿的点的坐标为 ，则表示
乾清门的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：乾清门的点的坐标是 ．
故选：A．
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8. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其
阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方无纸
片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A. 48 B. 36 C. 50 D. 49
【答案】D
【解析】
【分析】三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影
面积．
【详解】解：图①中阴影面积是81，边长为9，图②阴影面积是64，边长为8，设矩形长为a，宽为b，根
据题意得：
解得： ，
所以图③阴影面积为： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．
二、填空题（每题2分，共16分）
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9. 已知 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出 ， ，
代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
10. 方程 的解为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直接开方法即可解答．
【详解】解：
则 ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点，灵活选择解法．
11. 已知 是关于x、y的二元一次方程 的一组解，则 _____．
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【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义．
把x与y的值代入方程计算即可求出n的值．
【详解】解：把 代入方程 得：
，
解得： ，
答案：2．
12. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根，根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答
案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为： ，
则大正方形的边长为： ，
∵ ，
∴ ，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故答案为：4．
13. 直角坐标系中，点 在第二象限，且 到 轴， 轴距离分别为 ， ，则 点坐标为________．
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【答案】
【解析】
【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【详解】解： 点 位于第二象限，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点距离 轴 个单位长度，距离 轴 个单位长度，
点的纵坐标为 ，横坐标为 ，
点的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，
第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M 、N的位置上，
若∠EFG=50°，则∠2=_________．
【答案】100°##100度
【解析】
【详解】解：如图，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠EFG=50°，
根据翻折的性质，∠1=180°-2∠3=180°-2×50°=80°，
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又∵AD∥BC，
∴∠2=180°-∠1=180°-80°=100°．
故答案是：100°．
15. 已知点 在过点 ，且与x轴平行的直线上，则P点坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】解：因为点 在过点 ，且与x轴平行的直线上，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的坐标特征．
16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每
次移动一个单位，得到点 ， ， ， ，…那么点 的坐标为
_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可得每四次移动为一个循环，每个循环横坐标增加2，
纵坐标为1，1，0，0依次出现，据此规律求解即可．
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【详解】解： ， ， ， ， …
以此类推可知，每四次移动为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0依次出现，
∵ ，
∴ 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
三、解答题（共68分，其中17题8分，18题5分，19、24题每题6分，21题8分，20、22
－23、25－26每题7分）
.
17 计算
（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，
要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要
按照从左到右的顺序进行．
（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算乘法和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
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原式
＝ ．
18. 解方程组 ．
【答案】
【解析】
【分析】首先将 可求得 ，将 代入①可求得 的值．
详解】解：
【
，得 ，
解得： ，
将 代入①可得 ，
解得： ，
原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键．
19. 解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤是关键，
尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．首先去分母，移项、合并同类项，
系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
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去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
在数轴上表示：
．
20. 如图，在 中， 平分 ， 是 上一点，过点 作 交 于点 ，点
在 上且满足 ．
（1）求证： ；
（2）若 于点 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的性质．
（1）由 用平行线的性质得 ，再结合 得 即可；
（2）先求 ，再由 平分 求出 即可．
【
小问1详解】
证明：
又
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；
【小问2详解】
由（1）可知
，
平分
于点
．
的
21. 北京冬奥会期间，大批 志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校
组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2 辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和
1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请
你设计出所有的租车方案．
【答案】（1）每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生
（2）租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆
【解析】
【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车
每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人”，即可得出关于x，y的二元一
次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，
b均为正整数，即可得出各租车方案；
【小问1详解】
设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生．
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根据题意，得： ．
解得： ．
答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生．
【小问2详解】
根据题意，得 ．
∴ ．
∵a，b为正整数，两种客车均租用且恰好每辆车都坐满
∴ 或 ．
答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22. 在平面直角坐标系 中， 的三个顶点坐标分别为 ．
（1）在所给的图中，画出平面直角坐标系；再将 向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单
位长度，可以得到 ，画出平移后的 ；并求 的面积；
（2）已知点 在 轴上，且 的面积为3，直接写出 点的坐标．
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【答案】（1）画图见详解，6
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-平移变换，点的坐标的特征，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的
关键．
（1）根据点的坐标，即可确定原点位置，从而画出坐标系；根据平移的性质可画出 ；将 作
为底，可直接代入三角形的面积公式得出答案；
（2）根据 的面积为3，可得 的长度，从而得出点 的坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所求坐标系； 即为所求；
的面积为 ，
故答案为：6；
【小问2详解】
∵ 的面积为3，
∴ ，
∴ 或 ，
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故答案为： 或 ．
23. 请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形 ，点E、F分别在边 两方的延长线上，连接 ，若 ，
．
求证： ．
证明：∵点E在 的延长线上（已知）
∴
又∵ （已知）
∴ （ ）
又∵ （已知）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
【答案】1；1；同角的补角相等；3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定以及同角的补角的相等， 证明 转化为证明
．欲证 ，可证 ．由题知 ，转化为证明 ．欲证 ，
可证 ．根据 ， ，则可证 ．
【详解】解：证明：∵点E在 的延长线上（已知）
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∴
又∵ （已知）
∴ （同角的补角相等）
又∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
24. 对有序数对 定义“ 运算”： ，其中 、 为常数． 运算的
结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点 规定“ 变换”：点
在F变换下的对应点即为坐标 对应的点 ．
（1）当 ， 时， ________________；
（2）若点 在“F变换”下的对应点是 ，求 、 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查新定义运算，点的坐标，二元一次方程组的应用；
（1）根据“ 运算”的定义计算即可；
（2）根据“ 运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【小问1详解】
解：
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故答案为： ．
【小问2详解】
解：依题意，
∴ −
25. 在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线 和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺 角的顶点G放在直线 上， ．若 ，则
______°；
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线 上，请用等式表示
与 之间满足的数量关系_________________（不用证明）；
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺 角的顶点放在点F处，即 ． 如图③， 平分
交直线 于点M， 平分 交直线 于点N． 将含 角的三角尺绕着点F转动，且
使 始终在 的内部，请问 的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，
说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不变，
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【解析】
【分析】本题考查平行线性质与判定，解题关键是熟练掌握并灵活运用平行线的性质．
（1）根据两直线平行，同位角相等证出 ，即 ，又因为 ，得到
，再等量代换，得出 ，即可解答；
（2）过点F作 ，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线（一个折点）模型
问题；
（3）由（2）方法二证明 ，设 ，再根据共顶点的 ， 角，
用含α的式子表示出 ， ，再根据 即可解答．
【小问1详解】
如图①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：80；
【小问2详解】
过点F作 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ；
【小问3详解】
不变， ，
理由如下：
∵ 分别平分 ，
∴ ， ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
由②方法可得 ，
即 ．
26. 对于平面直角坐标系 中的任意一点 ，给出如下定义：记 将点
与点 称为点P的一对伴随点．例如，点 与点 为点 的一对
伴随点．
（1）点 的一对伴随点坐标为；
（2）将点 向左平移m个单位长度，得到点 ，若点 的一对伴随点重合，求
点C的坐标；
（3）已知点 ，点D为线段 上的动点，点G，H为点D的一对伴随点．当
点D在线段 上运动时，线段 与x轴总有公共点，请直接写出n的取值范围_____________．
【答案】（1）
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（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，新定义，解不等式组，理解和应用新定义是解题的关键．
（1）根据“伴随点”的定义求解即可；
（2）根据“伴随点”的定义列方程求解即可；
（3）设出点 的坐标，根据新定义，建立不等式组，即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
，
∴点 的一对伴随点坐标为： ；
【小问2详解】
由题意得， ，
此时， ，
，
则 点的伴随点为 和 ，
∴这两个伴随点重合，(即两点的横、纵坐标分别相等)，
∴ ，解得， ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ；
【小问3详解】
∵ 为线段 上的动点，
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设 点坐标为 ，
∴ 点的伴随点为： ，即 ，
∴ ，
∵线段 与 轴总有公共点， ，
∴ ，解得： ，
由 ，
可得， ，解得， ，
∴ 的取值范围为： ．
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