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四、数学方法在物理中的应用
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，利用数学知识解决物理问题是高考
物理考查的能力之一．借助数学方法，可使一些复杂的物理问题，显示出明显的规律性，能
快速简捷地解决问题．可以说任何物理试题的求解过程实际上都是将物理问题转化为数学问
题，经过求解再还原为物理结论的过程．下面是几种物理解题过程中常用的数学方法．
一、三角函数法
1．三角函数求极值
(1)y＝sin α，当α＝90°时，y ＝1；
max
(2)y＝cos α，当α＝0时，y ＝1.
max
例1 (2022·广西北海市模拟)在仰角α＝30°的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示．运动员
从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水
平面成θ角的方向起跳．最后落在坡上B点，坡上O、B两点距离为L.已知A点高于O点h
＝50 m，不计摩擦和阻力，则O、B两点距离L最大值为多少？此时起跳角为多大？(取g＝
10 m/s2)
答案 200 m 30°
解析 运动员在O点速度v＝＝10 m/s.起跳后运动员做斜上抛运动．
0
把运动分解为水平向右的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动．
水平方向上有x＝vcos θ·t，
0
竖直方向上有y＝vsin θ·t－gt2，
0
令y＝－xtan α，
解得x＝
＝.
当2θ＋α＝90°，
即θ＝30°时，
x ＝，
max
此时L有极大值L ＝＝200 m.
max
2．辅助角求极值
三角函数：y＝acos θ＋bsin θ
y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中tan α＝.
当θ＋α＝90°时，有极大值y ＝.
max例2 (多选)如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为30°，质量为m的
小球套在杆上，在大小不变、方向与斜杆成α角的拉力F作用下，小球沿杆由底端匀速运动
到顶端．已知小球与斜杆之间的动摩擦因数为μ＝，则关于拉力F的大小和F的做功情况，
下列说法正确的是( )
A．当α＝30°时，拉力F最小
B．当α＝30°时，拉力F做功最小
C．当α＝60°时，拉力F最小
D．当α＝60°时，拉力F做功最小
答案 AD
解析 由题中选项可知要使F最小，则应有Fsin α0，b>0)可知：
(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，和最小；
(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，积最大．
例5 如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限区域中，有沿y轴正方向的匀强电场，电场
强度的大小为E＝kv.在第二象限有一半径为R＝b的圆形区域磁场，圆形磁场的圆心 O 坐
0 1
标为(－b，b)，与两坐标轴分别相切于P点和N点，磁场方向垂直纸面向里．在x＝3b处垂
直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q.大量的电子以相同的速率在纸面内从P点进入
圆形磁场，电子的速度方向在与x轴正方向成θ角的范围内，其中沿y轴正方向的电子经过
磁场到达N点，速度与x轴正方向成θ角的电子经过磁场到达M点且M点坐标为(0,1.5b)．
忽略电子间的相互作用力，不计电子的重力，电子的比荷为＝.求：
(1)圆形磁场的磁感应强度大小；
(2)θ角的大小；
(3)电子打到荧光屏上距Q点的最远距离．
答案 (1)k (2)120° (3)b
解析 (1)由于速度沿y轴正方向的电子经过N点，因而电子在磁场中做圆周运动的半径为 r
＝b
而evB＝m
0
联立解得B＝k
(2)速度与x轴正方向成θ角的电子在磁场中做圆周运动的圆心为O′，电子离开磁场时的位
置为P′，连接POP′O′可知该四边形为菱形，如图甲，
1
由于PO 竖直，因而轨迹半径P′O′也为竖直方向，电子离开磁场时速度一定沿x轴正方
1向
由图甲可知
bsin (θ－90°)＋b＝1.5b
解得θ＝120°.
(3)由(2)可知，所有的电子以平行于x轴正方向的速度进入电场中做类平抛运动，设电子在
电场中运动的加速度为a，运动的时间为t，竖直方向位移为y，水平方向位移为x，则有
x＝vt
0
y＝at2
eE＝ma
联立解得x＝
设电子最终打在荧光屏的最远点距Q点为H，如图乙所示，设电子射出电场时的夹角为α，
v＝at
y
有tan α＝＝
有H＝(3b－x)tan α
＝(3－)·
当3－＝，
即y＝b时，H有最大值．
由于b<1.5b，所以H ＝b.
max
三、利用二次函数求极值
二次函数：y＝ax2＋bx＋c
(1)当x＝－时，有极值y ＝(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)．
m
(2)利用一元二次方程判别式求极值．
用判别式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的极值．
例6 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度
v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半
径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )A. B. C. D.
答案 B
解析 小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得mv2＝2mgr＋mv2，小物块做
1
平抛运动时，设水平位移为x.水平方向有x＝vt，竖直方向有2r＝gt2，联立解得x＝，由数
1
学知识可知，当r＝时，x最大，故选项B正确．
例7 (2022·山东临沂市期末)真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场．在电场
中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度方向与竖直方向夹角为
37°(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．现将该小球从电场中某点以初速度v 竖直向上抛出．求
0
运动过程中
(1)小球受到的静电力的大小及方向；
(2)小球的最小速度的大小及方向．
答案 (1)mg 方向水平向右 (2)v 与电场方向夹角为37°斜向上
0
解析 (1)根据题设条件，静电力大小
F ＝mgtan 37°＝mg，方向水平向右．
电
(2)小球沿竖直方向做匀减速运动：
v＝v－gt；
y 0
沿水平方向做初速度为零的匀加速运动：
a＝＝g，v＝at；
x x x
小球的速度v＝，
由以上各式可得关于v2的函数解析式：
v2＝g2t2－2vgt＋v2.
0 0
解得当t＝时，v有最小值v ＝v，
min 0
此时v＝v，v＝v，tan θ＝＝，
x 0 y 0
即与电场方向夹角为37°斜向上．
四、数学归纳法和数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是与原
来完全相同的重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着
前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差数列：S＝＝na＋d(d为公差)．
n 1
等比数列：S＝(q为公比)．
n例8 一小球从h＝45 m高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面相碰一次，
0
速度大小就变化为原来的k倍．若k＝，求小球从下落直至停止运动所用的时间．(g取10
m/s2，碰撞时间忽略不计)
答案 9 s
解析 由运动学公式将小球每碰一次后在空中运动的时间的通项公式求出，然后再累加求和．
小球从h 处落到地面时的速度：
0
v＝，
0
运动的时间为：t＝
0
第一次碰地后小球反弹的速度：
v＝kv＝k
1 0
小球再次与地面碰撞之前做竖直上抛运动，这一过程球运动的时间：
t＝＝2k
1
则第n次碰地后，小球的运动速度的通项公式为：
v＝kn
n
运动时间：t＝＝2kn
n
所以，小球从下落到停止运动的总时间为：
t＝t＋t＋…＋t＝＋2k＋…＋2kn
0 1 n
＝＋2(k＋k2＋…＋kn)．
上式括号中是一个无穷等比递减数列，由无穷等比递减数列求和公式，并代入数据得t＝9 s.
例9 如图所示，质量M＝2 kg的平板小车左端放有质量m＝3 kg的小铁块(可视为质点)，
它和小车之间的动摩擦因数μ＝0.5.开始时，小车和铁块共同以v ＝3 m/s的速度向右在光滑
0
水平面上运动，车与竖直墙发生正碰，碰撞时间极短且碰撞中不损失机械能．车身足够长，
使铁块不能和墙相撞，且始终不能滑离小车．g取10 m/s2.求小车和墙第一次碰后直至其最
终恰好靠墙静止这段时间内，小车运动的总路程．
答案 1.25 m
解析 小车第一次碰墙后以原速率反弹，并在小铁块的摩擦力作用下向左减速，因
mv>Mv ，故小车先减速为零，后向右加速直至与铁块达到共同速度；之后小车第二次碰墙
0 0
后反弹，重复上述过程．设小车第一次碰墙后向左运动的最大距离为 s，第二次碰墙后向左
1
运动的最大距离为s ，第三次碰墙后向左运动的最大距离为s ，……，小车第一次碰墙之后
2 3
与铁块的共同速率为v，第二次碰墙之后与铁块的共同速率为v，第三次碰墙之后与铁块的
1 2
共同速率为v，……
3
第一次碰墙之后，由动能定理得μmgs＝Mv2
1 0
解得s＝＝ m
1
由动量守恒定律得(m－M)v＝(m＋M)v
0 1
解得v＝v＝v
1 0 0
第二次碰墙之后，由动能定理得
μmgs＝Mv2
2 1
解得s＝＝s
2 1
由动量守恒定律得(m－M)v＝(m＋M)v
1 2
解得v＝v＝v
2 1 1
……
故小车第n次碰墙之后向左运动的最大距离为s＝s
n 1
显然s、s、s、…、s 为一公比是的等比数列．小车运动的总路程为
1 2 3 n
s＝2(s＋s＋s＋…＋s)＝＝1.25 m.
1 2 3 n
