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微专题 6 动量观点在电磁感应中的应用
命题规律 1.命题角度：动量定理、动量守恒定律在电磁感应中的应用.2.常用方法：建立
单杆切割中q、x、t的关系模型；建立双杆系统模型.3.常考题型：选择题、计算题．
考点一 动量定理在电磁感应中的应用
在导体单杆切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用
动量定理巧妙解决问题
求解的物理量 应用示例
电荷量或速度 －BLΔt＝mv－mv，q＝Δt，即－BqL＝mv－mv
2 1 2 1
位移 －＝0－mv，即－＝0－mv
0 0
－BLΔt＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
即－BLq＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
已知电荷量q、F (F 为恒力)
其他 其他
时间
－＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
，
即－＋F
其他
Δt＝mv
2
－mv
1
已知位移x、F (F 为恒力)
其他 其他
例1 (多选)(2022·河南开封市二模)如图所示，在光滑的水平面上有一方向竖直向下的有界
匀强磁场．磁场区域的左侧，一正方形线框由位置Ⅰ以4.5 m/s的初速度垂直于磁场边界水
平向右运动，经过位置Ⅱ，当运动到位置Ⅲ时速度恰为零，此时线框刚好有一半离开磁场区
域．线框的边长小于磁场区域的宽度．若线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量
分别为q、q，线框经过位置Ⅱ时的速度为v.则下列说法正确的是( )
1 2
A．q＝q B．q＝2q
1 2 1 2
C．v＝1.0 m/s D．v＝1.5 m/s
答案 BD
解析 根据q＝＝可知，线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量q ＝2q ，故A
1 2
错误，B正确；线圈从开始进入到位置Ⅱ，由动量定理－BLΔt ＝mv－mv ，即－BLq ＝mv
1 0 1
－mv ，同理线圈从位置Ⅱ到位置Ⅲ，由动量定理－BLΔt ＝0－mv，即－BLq ＝0－mv，联
0 2 2
立解得v＝v＝1.5 m/s，故C错误，D正确．
0例2 (2022·浙江省精诚联盟联考)如图(a)所示，电阻为2R、半径为r、匝数为n的圆形导体
线圈两端与水平导轨AD、MN相连．与导体线圈共圆心的圆形区域内有竖直向下的磁场，
其磁感应强度随时间变化的规律如图(b)所示，图(b)中的B 和t 均已知．PT、DE、NG是横
0 0
截面积和材料完全相同的三根粗细均匀的金属棒．金属棒 PT的长度为3L、电阻为3R、质
量为m.导轨AD与MN平行且间距为L，导轨EF与GH平行且间距为3L，DE和NG的长度
相同且与水平方向的夹角均为30°.区域Ⅰ和区域Ⅱ是两个相邻的、长和宽均为d的空间区域．
区域Ⅰ中存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场.0～2t 时间内，使棒PT在区
0 0
域Ⅰ中某位置保持静止，且其两端分别与导轨 EF和GH对齐．除导体线圈、金属棒PT、
DE、NG外，其余导体电阻均不计，所有导体间接触均良好且均处于同一水平面内，不计一
切摩擦，不考虑回路中的自感．
(1)求在0～2t 时间内，使棒PT保持静止的水平外力F的大小；
0
(2)在2t 以后的某时刻，若区域Ⅰ内的磁场在外力作用下从区域Ⅰ以v 的速度匀速运动，完
0 0
全运动到区域Ⅱ时，导体棒PT速度恰好达到v 且恰好进入区域Ⅱ，该过程棒PT产生的焦
0
耳热为Q，求金属棒PT与区域Ⅰ右边界的初始距离x 和该过程维持磁场匀速运动的外力做
0
的功W；
(3)若磁场完全运动到区域Ⅱ时立刻停下，求导体棒PT运动到EG时的速度大小v.
答案 (1)0～t 时间内F＝；t～2t 时间内F＝0 (2)d－ 3Q＋mv2 (3)v－
0 0 0 0 0
解析 (1)在0～t 时间内，由法拉第电磁感应定律得E＝nS＝nπr2
0
由闭合电路欧姆定律得I＝＝
故在0～t 时间内，使PT棒保持静止的水平外力大小为F＝F＝BIL＝
0 A
在t～2t 时间内，磁场不变化，回路中电动势为零，无电流，则外力F＝0
0 0
(2)PT棒向右加速运动过程中，取向右的方向为正方向，由动量定理得＝mv
0
得Δx＝
所以x＝d－Δx＝d－
0
PT棒向右加速过程中，回路中的总焦耳热为Q ＝3Q
总
由功能关系和能量守恒定律得W＝3Q＋mv2
0(3)棒PT从磁场区域Ⅱ左边界向右运动距离x时，回路中棒PT的长度为l＝2x＋L
x
回路中总电阻为R ＝＋2R＝＋2R
总x
＝(2x＋3L)
回路中电流为I＝＝＝
x
棒PT所受安培力大小为F ＝BIl＝
Ax 0 xx
棒PT从磁场区域Ⅱ左边界运动到EG过程中，以v 方向为正方向，由动量定理得－∑Δt＝
0
mv－mv
0
即－＝mv－mv
0
其中S ＝2L2
梯
所以v＝v－.
0
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
双杆模型
“一动一静”：甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注
物理 意问题包含着一个条件——甲杆静止，受力平衡
模型 两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势
是相加还是相减；系统动量是否守恒
通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另
动力学观点 一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以
分析 共同的速度匀速运动
方法 能量观点 两杆系统机械能减少量等于回路中产生的焦耳热之和
对于两金属杆在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两金属
动量观点
杆所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题
例3 (2022·辽宁卷·15)如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L.abcd区域
有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上．初始时刻，磁场外的细金属杆M以初
速度v 向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态．两金属杆与导轨接触良好且运动过
0
程中始终与导轨垂直．两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及
导轨的电阻忽略不计．
(1)求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
(2)若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路
的电荷量q；②初始时刻N到ab的最小距离x；
(3)初始时刻，若N到cd的距离与第(2)问初始时刻的相同、到ab的距离为kx(k>1)，求M出
磁场后不与N相撞条件下k的取值范围．答案 (1) 方向水平向左
(2)① ②
(3)2≤k<3
解析 (1)细金属杆M以初速度v 向右运动，刚进入磁场时，产生的电动势为E＝BLv
0 0
电流的大小为I＝
则所受的安培力大小为F＝BIL＝
由左手定则可知安培力的方向水平向左；
(2)①金属杆N在磁场内运动的过程中，取水平向右为正方向，由动量定理有
BL·Δt＝m·－0
且q＝·Δt
联立解得通过回路的电荷量q＝
②设杆M在磁场中运动的位移大小为x ，杆N在磁场中运动的位移大小为x ，则有Δx＝x
1 2 1
－x，有
2
＝，＝
整理可得q＝
联立可得Δx＝
若两杆在磁场内刚好相撞，N到ab的最小距离为x＝Δx＝
(3)两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到cd的距离与第(2)问初始时刻的相
同、到ab的距离为kx(k>1)，则N到cd边的速度大小恒为，取水平向右为正方向，根据动
量守恒定律可知mv＝mv＋m·
0 1
解得N出磁场时，M的速度大小为v＝v
1 0
由题意可知，此时M到cd边的距离为s＝(k－1)x
若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：
①M减速到时出磁场，速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有
－BL·Δt＝m·－m·v
1 0
q＝·Δt＝
1 1
联立解得k＝2
②M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理有－BL·Δt＝0－m·v
2 0
同理解得k＝3
综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为2≤k<3.
1.(多选)如图所示，水平金属导轨P、Q间距为L，M、N间距为2L，P与M相连，Q与N相
连，金属棒a垂直于P、Q放置，金属棒b垂直于M、N放置，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．现给a棒一大小为v 的初速度，方向水平向右．设两
0
部分导轨均足够长，两棒质量均为m，在a棒的速度由v 减小到0.8v 的过程中，两棒始终
0 0
与导轨接触良好．在这个过程中，以下说法正确的是( )
A．俯视时感应电流方向为顺时针
B．b棒的最大速度为0.4v
0
C．回路中产生的焦耳热为0.1mv2
0
D．通过回路中某一截面的电荷量为
答案 BC
解析 a棒向右运动，根据右手定则可知，俯视时感应电流方向为逆时针，故A错误；由题
意分析可知，a棒减速，b棒加速，设a棒的速度大小为0.8v 时b棒的速度大小为v，取水
0
平向右为正方向，根据动量定理，对a棒有－BLΔt＝m·0.8v －mv ，对b棒有B·2LΔt＝mv，
0 0
联立解得v＝0.4v ，此后回路中电流为0，a、b棒都做匀速运动，即b棒的最大速度为
0
0.4v，故B正确；根据能量守恒定律有Q＝mv2－[m(0.8v)2＋m(0.4v)2]＝0.1mv2，故C正确；
0 0 0 0 0
对b棒，由2BL·Δt＝mv得，通过回路中某一截面的电荷量q＝·Δt＝＝，故D错误．
2．(2022·安徽阜阳市质检)如图，两平行光滑金属导轨ABC、A′B′C′的左端接有阻值为
R的定值电阻Z，间距为L，其中AB、A′B′固定于同一水平面上(图中未画出)且与竖直面
内半径为r的光滑圆弧形导轨BC、B′C′相切于B、B′两点．矩形DBB′D′区域内存在
磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场．导体棒ab的质量为m、阻值为R、长度为
L，ab棒在功率恒定、方向水平向右的推力作用下由静止开始沿导轨运动，经时间t后撤去
推力，然后ab棒与另一根相同的导体棒cd发生碰撞并粘在一起，以3的速率进入磁场，两
导体棒穿过磁场区域后，恰好能到达CC′处．重力加速度大小为g，导体棒运动过程中始
终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻．
(1)求该推力的功率P；
(2)求两导体棒通过磁场右边界BB′时的速度大小v；
(3)求两导体棒穿越磁场的过程中定值电阻Z产生的焦耳热Q；
(4)两导体棒到达CC′后原路返回，请通过计算判断两导体棒能否再次穿过磁场区域．若不
能穿过，求出两导体棒停止的位置与DD′的距离x.
答案 (1) (2) (3)mgr (4)不能
解析 (1)设两导体棒碰撞前瞬间ab棒的速度大小为v ，在推力作用的过程中，由动能定理
0有Pt＝mv2
0
设ab与cd碰后瞬间结合体的速度大小为v，由题意知v＝3，由动量守恒定律有mv＝2mv
1 1 0 1
联立解得P＝
(2)对两导体棒沿圆弧形导轨上滑的过程分析，由机械能守恒定律有×2mv2＝2mgr
解得v＝
(3)两棒碰撞并粘在一起，由电阻定律可知，两导体棒的总电阻为，阻值为 R的定值电阻Z
产生的焦耳热为Q，故两棒产生的总焦耳热为，由能量守恒定律有
－(Q＋)＝×2mv2－×2mv2
1
解得Q＝mgr
(4)设导体棒第一次穿越磁场的时间为t ，该过程回路中的平均电流为，DD′与BB′的间距
1
为x，由动量定理有－BLt＝2mv－2mv
1 1 1
根据法拉第电磁感应定律和电路相关知识有t＝
1
解得x＝
1
由机械能守恒定律可知，导体棒再次回到BB′处时的速度大小仍为v＝，导体棒再次进入
磁场向左运动的过程中，仍用动量定理和相关电路知识，并且假设导体棒会停在磁场中，同
时设导体棒在磁场中向左运动的时间为t ，导体棒进入磁场后到停止运动的距离为Δx，该
2
过程回路中的平均电流为′，同前述道理可分别列式为
－B′Lt ＝0－2mv
2
′t＝
2
解得Δx＝
显然Δx
