文档内容
通州区 2022—2023 学年九年级第一学期期末质量检测
2022年12月
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题四个选项中，只有一个符合
题意
1. 二次函数y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（ ）
A. （0，﹣1） B. （0，1） C. （﹣1，0） D. （1，0）
【答案】D
【解析】
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出即可．
【详解】解：因为y＝（x﹣1）2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，0）．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的性质是关键.
2. 如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A. ： B. 2：3 C. 4：9 D. 16：81
【答案】B
【解析】
【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果.
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为： = .
故选B.
【点睛】本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的
平方.
3. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 75° B. 70° C. 65° D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【详解】解： ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．
4. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】在Rt ACB中，利用正弦定义，sinα= ，代入AB值即可求解．
△
【详解】解：在Rt ACB中，∠ACB=90°，
△
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司5. 有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对的圆周角相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④
相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ）
.
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对
④进行判断．
【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，所以②错误；
90°的圆周角所对的弦是直径，所以③错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，所以④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆的认识和
圆心角、弧、弦的关系．掌握这些知识点是解题关键．
6. 如图，锐角 ， 是 边上异于 、 的一点，过点 作直线截 ，所截得的三角形与原
相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形
与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角
相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使
BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
（1）如图1，作PE平行于BC，则 APE ABC,（2）如图2，作PE平行于AC，则 BPE BAC,
（3）如图3，作PE，使AE：AB=A△P：AC,此△时∠A.是公共角， APE ACB,（4）如△图4，作△PE，使
BP：CB=BE：AB．此时∠B是公共角， PEB ACB △ △
所以共有四种画法，即四条直线满足条件△，故选△D．
【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判
定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键.
7. 已知电灯电路两端的电压U为 ，通过灯泡的电流强度 的最大限度不得超过 ．设选用
灯泡的电阻为 ，下列说法正确的是（ ）
A. R至少 B. R至多 C. R至少 D. R至多
【答案】A
【解析】
【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
8. 如图1，作 平分线的反向延长线 ，现要分别以 为内角作正多边形，
且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以 为内角，可作
出一个边长为1的正方形，此时 ，而 是 (多边形外角和)的 ，这样就恰好可
作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案．如图2所示，图2中的图案外轮
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学科网（北京）股份有限公司廓周长是14．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（
）
A. 14 B. 16 C. 19 D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，先表示中间正多边形的边数：外角为 ，根据外角和可得边数为
，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为 ，计算其周长可得结论．
【详解】解：设 ，
∴以 为内角的正多边形的边数为： ，
以 为内角的正多边形的边数为： ，
∴图案外轮廓周长是：
，
根据题意可知： 的值只能为 ， ， ， ，
当x越小时，周长越大，
∴当 时，周长最大，此时图案定为会标，
则则会标的外轮廓周长是： ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相
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学科网（北京）股份有限公司等，各外角相等，且外角和为 是关键，并利用数形结合的思想解决问题．
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 二次函数 的图象与x轴交点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】设 时，求方程 的解即可．
【详解】解：设 时,
解得
所以，图象与x轴 交的点坐标是
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点坐标，解题关键是理解二次函数图象与 轴的交点坐标的
意义．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合要求的点
B的坐标__________．
【答案】答案不唯一，例如（0，0）
【解析】
【详解】由已知，OA=
设点B坐标为(a,b),则OB=
由点B在圆内，则有满足0≤ <5的点均满足条件．
故答案不唯一，例如（0，0）
11. 已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角为_____度．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式解题．
【详解】解：由弧长公式得，
故答案为： ．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，
图中有相似 不包括全等 三角形有______ 对
【答案】3
【解析】
【分析】由于△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，因此∠B=∠FAG=45°，由∠AED是公共角，即可得出
△ADE∽△BAE，同理：△CDA∽△ADE，继而可得出△BAE∽△CDA，由此即可得结论.
【详解】∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠B=45°，∠AED=∠BEA，
∴△ADE∽△BAE，
同理：△CDA∽△ADE，
∴△BAE∽△CDA，
故答案为3.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
13. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ．
【解析】
【分析】根据圆周角定理可知∠AED=∠ABC，再根据正切值的定义求解即可．
【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数，解题的关键是找到∠AED=∠ABC
14. 已知 ， 在二次函数 的图像上，比较 ______ ．（填>、<或=）
【答案】>
【解析】
【分析】首先确定二次函数图像的对称轴为 ，根据二次项系数 可知图像开口向上，根据点
、点 的横坐标和对称轴的位置即可判断y、y 的大小．
1 2
【详解】解：∵二次函数 ，
∴其对称轴为直线 ，
又∵二次项系数 ，
∴二次函数开口向上，图像上的点的横坐标距离对称轴越远，点的纵坐标越大，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用二次函数图像的性质确定y、y 大小是解题的关键．
1 2
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学科网（北京）股份有限公司15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离
地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．
【答案】5.5
【解析】
【详解】在 DEF和 DBC中， ，
△ △
∴△DEF∽△DBC，
∴ ，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即 ，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
16. 如图，是一张直角三角形的纸片， ，现在小牧将三角形纸片折叠三次．
第一次折叠使得点 落在点 处；将纸片展平再做第二次折叠，使得点 落在点 处；再将纸片展平之后，
再做第三次折叠，使得点 落在点 处．这三次折叠的折痕长度依次记为 ，请你比较 的
大小，并用不等号连接____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由第一次折叠得： 是线段 的垂直平分线，再由中位线定理的推论可知： 是 的
中位线，得出 的长度，即 的长；由第二次折叠可得： 是 的中位线，得出 的长，即
的长；由第三次折叠可得： 是线段 的垂直平分线，得出 的长，再利用两角对应相等证明
，利用比例式可求 的长，即 的长．
【详解】解：第一次折叠如图所示，折痕为
由折叠得到：
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∴
第二次折叠如图所示，折痕为
由折叠可得：
∵
∴
∵
∴
∴
∴
第三次折叠如图所示，折痕为
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学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得：
∵ ，
∴
由折叠可得： ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∴
即
∵
第12页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的问题，折叠是一种对称变化，它属于轴对称．折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等，明确折痕所折线段的垂直平分线，准确找出中位线是解题的关键．
三、解答题：（17-24题，每题5分，25-28题，每题7分，共68分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的运算法则和解三角函数即可得到结果.
【详解】解：原式＝4× +1﹣2 +2﹣ ，
＝2 +1﹣2 +2﹣ ，
＝3﹣ ．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键
是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18. 如图，已知反比例函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，点 ．
（1）求n和b的值；
（2）观察图像，不等式 的解集为________．
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） 或
【解析】
【分析】（1）直接将点的坐标代入解析式中求解即可；
（2）根据图像可知A点左边y轴右边或B点右边 图像均有 ，即可求解．
的
【小问1详解】
把 代入 得： ，
把 代入 ，得：
把 代入得： ．
【小问2详解】
不等式 的解集为 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解题关键是会用待定系数法求出解析式中的字母，能
根据图像得到不等式的解集．
19. 如图，在 中， 是边 的中点， ，垂足为点E．已知
．
（1）求线段 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；
第14页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数求出 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出
的长即可；
（2）先运用勾股定理求出 ，再由于D为 上的中点可得 ，推出 ，
利用正弦函数求出 ，据此即可解答．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
第15页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
20. 已知二次函数 的图象经过 两点，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法即可求解．
【详解】将 两点代入解析式得：
解得
∴二次函数解析式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是将点的坐标代入解析式后解二元一次方程
组．
21. 如图，已知 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，连接 ，并延长 到点 ，使 ，
连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ．
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理可知 ，再由 即可得出结论；
（2）连接 ，根据等边对等角和三角形内角和定理求出 的度数，由圆周角定理求出
，根据等边三角形的性质可得 ，由勾股定理，和直角三角形的性质求得 ， ，
根据 即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，
是半圆 的直径，
，
，
，
．
第17页/共35页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：连接 ，过点 作 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是不规则图形的面积计算，扇形面积，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，
等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22. 如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出 和
，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出 和
，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出 和
，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出 ，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为 ．
第19页/共35页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ．
因为D为BC的中点，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为M为AD的中点，所以 ．
所以 ，
所以 ．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为D为BC的中点，所以 ．
因为M为AD的中点，所以 ，
第20页/共35页
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为M为AD的中点，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为D为BC的中点，且 ，
所以 ．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
第21页/共35页
学科网（北京）股份有限公司在 中，
因为M为AD的中点， ，
所以N为AH的中点，即 ．
在 中，因为D为BC的中点， ，所以H为CN的中点，即 ，
所以 ．
所以 ．
23. 已知双曲线 与抛物线 交于 三点．
（1）求m和n的值；
（2）在平面直角坐标系中描出上述两个函数的草图，并根据图象直接写出：当 时，x的取值范围？
【答案】（1） ，
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学科网（北京）股份有限公司（2）图见解析；
【解析】
【分析】（1）首先把 的坐标代入解析式即可求得反比例函数解析式，然后把 和 代入反比例函数解
析式即可求得 和 的值；
（2）作出函数图象，根据图象即可解答．
【小问1详解】
解：把 代入线 得 ，
则反比例函数的解析式是
把 代入得 ，
把 代入得
【小问2详解】
解：如图所示：
当 时，则 的范围是： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及利用图象解不等式，，通过描点画图即能作出解答，
解题关键是理解数形结合思想．
第23页/共35页
学科网（北京）股份有限公司24. 如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长 ，支撑板长
，底座长 ．托板 固定在支撑板顶端点C处，且 ，托板 可
绕点C转动，支撑板 可绕点D转动．如图2，若 ， ，求点A到底座 的
距离．
（参考数据： ， ， ）（结果精确到 ）
【答案】
【解析】
【分析】过点A作 于点H，过点C作 于点N， 于点M．先证四边形
是矩形，再利用含30度的直角三角形的性质证明 ，进而证明四边形
是正方形，推出 ，即可根据 求解．
【详解】解：过点A作 于点H，过点C作 于点N， 于点M．
，
四边形 是矩形， ，
第24页/共35页
学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
即点A到底座 的距离为 ．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，平行线的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等，解题
的关键是通过作辅助线构造出含30度角的直角三角形．
25. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面
宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中
得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．
第25页/共35页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 米
【解析】
【分析】以 的中垂线为 轴， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，求出 坐标，
设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令 ，求出 的值即可．
【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系．
此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0), D(100,0)．
设这条抛物线的解析式为
∵ 抛物线经过点B (50,150)，)
可得
解得 ．
∴ ．
顶点坐标是（0，200）
∴ 拱门的最大高度为200米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关
键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式．
26. 如图， 是直角三角形 的外接圆，直径 ，过 点作 的切线，与 延长线交于点
， 为 的中点，连接 ，且 与 相交于点 ．
第26页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 与 相切；
（2）当 时，在 的圆上取点 ，使 ，求点 到直线 的距离．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，根据直径所对的圆周角是直角，得出 ，进而得出
，证明 ，得出 ，即可得证；
（2）分点 在 以及半圆 上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即
可求解．
【小问1详解】
证明：如图，
为 的中点， 是 中点，
，
是 的直径，
，
第27页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，
，
又 ，
，
，
是 切线
，
，
，
是 切线；
【小问2详解】
当点 在 上时，连接 ，交 于点 ，
，
，
，
，
第28页/共35页
学科网（北京）股份有限公司直径 ，
，
，
当点 在半圆 上时，过点 作 ，垂足为点 , ，垂足为点 ，
四边形 是矩形，
在 中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合
运用以上知识是解题的关键．
27. 如图，抛物线 的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为 ，与直线
交点为A和C．
（1）求抛物线的解析式；
第29页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（2）在直线 上是否存在一点M，使得 是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐
标，如果不存在请说明理由．
（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到
点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形 与抛物线有公共点，请直接写出点E的横
坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得 ，然后将 ， 代入 ，即可求函数的解析式；
（2）设 ，根据 是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）设点E的横坐标 ，分别求出， ， ， ，当F点在抛物线上时，
或 ，当G点在抛物线上时， 或 ，结合图象可得
时，四边形 与抛物线有公共点．
【小问1详解】
解：由 得， 时， ，
∴ ．
∵抛物线 经过 、 D两点，
∴ ，解得
第30页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
解：由 ，令 ， ，
解得： ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ 是直线 上的点，设 ，
当 为斜边时， ,
∴ ，
解得： ，
∴
当 为直角时， ,
∴
解得： （根据图形，不合题意舍去）
∴
综上所述，存在
【小问3详解】
解：∵点E的横坐标 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司由题可知， ， ， ，
当F点在抛物线上时， ，
解得 或 ，
当G点在抛物线上时， ，
解得 或 ，
∴ 时，四边形 与抛物线有公共点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解
题是关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的
距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图
形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），
（1）d（点A，点B）＝ ，d（点A，线段BC）＝ ．
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝ ．
②若d（⊙O，△ABC）＝1，则r＝ ．
【答案】（1） ；2；（2）① -1，② 或5．
【解析】
【分析】（1）根据A（﹣4，0），B（0，4），利用勾股定理两点距离AB=
，可求d（点A，点B）＝ ，点A与线段BC上的点中最近的
点为C，根据两点距离公式可求d（点A，线段BC）＝2．
（2）①过O作OE⊥AB，根据（1）得AB= ，利用面积求出OE= ，当r＝1时，可求 d（⊙O，
线段AB）＝OE-r= -1，
②分两种情况讨论：当 在 的外部时，过O作OD⊥BC于D，根据勾股定理BC=
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学科网（北京）股份有限公司，利用面积 ，可求d（⊙O， ABC）＝
△
1=OD-r，得出r= 即可．当 在 内部时，显然此时 ．
【详解】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴AB= ，
∴d（点A，点B）＝ ，
点A与线段BC上的点中最近的点为C，
∴AC=-2-（-4）=2，
d（点A，线段BC）＝2．
故答案为： ；2；
（2）①过O作OE⊥AB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴AB= ，
∴S = ，
AOB
△
∴OE= ，
∴当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝OE-1= -1，
故答案为 -1，
②当 在 的外部时，过O作OD⊥BC于D，
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学科网（北京）股份有限公司∴OC=2，OB=4，
∴BC= ，
∴S = ，
COB
△
∴ ，
∵d（⊙O，△ABC）＝1=OD-r，
∴r= ．
当 在 内部时，如图，
此时 ．
【点睛】本题考查新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，图形与坐标，圆的半径，勾股定理，三
角形面积，点到直线距离，掌握新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，勾股定理，三角形面积，
点到直线距离是解题关键．
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