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北京海淀区北京市十一学校 2022-2023 学年九年级上学期期末
数 学
一、选择题
1. 若 ，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“内项之积等于外项之积”对四个选项进行计算，然后与条件进行对比即可判断．
【详解】解：A、 ，得 ，故选项A不符合题意；
B、 ，得 ，故选项B不符合题意；
C、 ，得 ，故选项C符合题意；
D、 ，得 ，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
2. 在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边求出 的值即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边
比斜边，正切为对边比邻边．
3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 向上平移2个单位长度得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，利用平移规律直接可得答案.
【详解】解：抛物线 向上平移2个单位长度得到的抛物线为
故选D
【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的上下平移规律”是解本题的关键.
4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的示意图如图所示，下列说法中正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向可得 ，可对A进行判断；根据对称轴位置可得b＞0，可对B进行判断；
根据抛物线与y轴交点位置可得c＜0，可对C进行判断；根据抛物线与x轴无交点可得△＜0，可对D进
行判断；综上即可得答案．
【详解】∵抛物线开口向下，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，故A选项正确，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ＞0，
∴b＞0，故B选项错误，
∵抛物线与y轴交于y轴负半轴，
∴c＜0，故C选项错误，
∵抛物线与x轴无交点，
∴△＜0，故D选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，当a=0时，抛物线开口向上，当a＜0时，开口向下；当对
称轴在y轴左侧时，a、b同号，当对称轴在y轴右侧时，a、b异号；c的符号由图象与y轴的交点位置决
定；当△＞0时，图象与x轴有2个交点，当△=0时，图象与x轴有1个交点；△＜0时，图象与x轴没有
交点；熟练掌握相关知识是解题关键．
5. 在平面直角坐标系xOy中，若函数 的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数
的图象所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：反比例函数 的函数值y随着自变量x的增大而增大，
所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x<0，则分支在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的
两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、
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学科网（北京）股份有限公司第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6. 如图，四边形ABCD内接于 ，若四边形ABCO是菱形，则 的度数为（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC ；
∠ADC= β；
四边形 为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆
中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
7. 正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数
【答案】C
【解析】
【分析】由周长，先求出正方形的边长，然后结合面积公式，即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的周长为x，
∴正方形的边长为 ，
∴正方形的面积 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数表达式，解题的关键是掌握正方形的面积和周长公式．
8. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，当 时，下
列说法一定正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断 ，进而
求解．
【详解】解：∵ 中 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， 异号，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，选项A正确．
当 时， ，
∴选项B错误，
当 时， ，
∴ ，选项C错误．
当 时， 中有1个值为0即可，
∴选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与
系数的关系．
二、填空题
9. 如图， ，AD，BC交于点O， ．若 ，则OC的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据 可以证明 ，进而得出比例式，再根据 和 即可
求出OC的长度．
【详解】解：∵ ，AD，BC交于点O，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．
10. 在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____．
【答案】π
【解析】
【分析】弧长公式为l＝ ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【详解】解：半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长＝ ＝π，
故答案为：π．
【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P为函数 图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂
线，垂足分别为M，N．若矩形PMON的面积为3，则m的值为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【解析】
【分析】根据反比例函数的解析式是 ，设点 ，根据已知得出 ，即 ，求出即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式是 ，
设点 是反比例函数图象上一点，
矩形 的面积为3，
，
即 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的面积和反比例函数的有关内容的应用，解题的关键是主要考查学生的理解能力
和运用知识点解题的能力．
12. 如图， 的高AD，BE相交于点O，写出一个与 相似的三角形，这个三角形可以是
______．
【答案】 （答案不唯一）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据已知条件得到 ， ，推出 ；同理
，根据相似三角形的性质得到 ，又 ，于是得到
．
【详解】解：本题答案不唯一；
与 相似的三角形有： ， ， ，
选择求证： ．
证明： 的高 ， 交于点 ，
．
，
，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形
相似．
13. 如图， ， 是 的切线，切点分别为 ， ．若 ， ，则 的长为
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理和切线的性质，得出 ， ，再根据等腰三角形的判定定理，
得出 为等腰三角形，再根据角之间的数量关系，得出 ，再根据等边三角形的判定定理，
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学科网（北京）股份有限公司得出 为等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出 ，进而即可得出答案．
【详解】解：∵ ， 分别为 的切线，
∴ ， ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定与性质，解本
题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
14. 有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上
的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m．
【答案】
【解析】
的
【分析】设这块草坪 周长为 m，由实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，再利用相
似三角形的性质列方程即可.
【详解】解：设这块草坪的周长为 m，
由题意可得：实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，
解得： ，
所以这块草坪的周长为 m.
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键.
15. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖
面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角 约为37°，则坡AB的铅直高度AH
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学科网（北京）股份有限公司约为______m．（参考数据： ， ， ．）
【答案】18
【解析】
【分析】由 结合 再解方程即可.
【详解】解：由题意得：
m，
故答案为：18
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题
的关键.
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为
的外接圆．
（1）点M的纵坐标为______；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 最大时，点P的坐标为______．
【答案】 ①. 5 ②. (4，0)
【解析】
【分析】（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；
（2）点P在⊙M切点处时， 最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵⊙M为 ABP的外接圆，
∴点M在线段AB的垂直平分△线上，
∵A(0，2)，B(0，8)，
∴点M的纵坐标为： ，
故答案为：5；
（2）过点 ， ，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时， 最大，
理由：
若点 是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，
设 交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，
∵∠AEB是ΔA E的外角，
∴∠AEB>∠A B，
∵∠APB>∠A B，即点P在切点处时，∠APB最大，
∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，
∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，
∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，
设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD= AB=3，BM=MP=5，
而∠POD=90°，
∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，
由勾股定理，得
MD= ，
∴OP=MD=4，
∴点P的坐标为(4，0)，
故答案为：(4，0)．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题
的关键．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后利用二次根式的运算法则计算即可得．
【详解】解： ，
，
，
．
【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，二次根式的混合运算，0次幂的运算，熟记特殊角的
三角函数值是解题关键．
18. 如图，AE平分 ，D为AE上一点， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若D为AE中点， ，求CD的长．
【答案】（1）证明见详解；（ ）CD的长为 ．
【解析】 2 2
的
【分析】（1）由角平分线 定义可得 ，根据相似三角形的判定定理即可证明；
（ ）由中点的定义可得 ，再由（ ）中结论相似三角形的性质即可得．
2 1
【详解】解：（1）证明 AE平分 ，
∵
，
∴
在
与 中，
，
∵
，
；
∴
（ ） D为AE中点，
2 ∵
，
∴
，
∵
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
，
∴
CD的长为 ．
∴【点睛】题目2主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判
定和性质是解题关键．
19. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ．
（1）求它的顶点坐标；
（2）求它与x轴的交点坐标．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）把抛物线化为顶点式即可；
（2）令 则 再利用因式分解法解一元二次方程即可.
【详解】解：（1）
所以抛物线的顶点坐标为：
（2）令 则
或
解得：
所以抛物线与x轴的交点坐标为：
【点睛】本题考查的是求解抛物线的顶点坐标，抛物线与 轴的交点坐标，掌握“把抛物线化为顶点式以
及把 代入抛物线求解与x轴的交点坐标”是解本题的关键.
20. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
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学科网（北京）股份有限公司已知：如图， ．
求作：直线BD，使得 ．
作法：如图，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ______．
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
【答案】（1）作图见解析；（2） 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得 ，证明 ，利用圆周角定理可得 ，从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ．
∴ （在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴ ．
故答案为： 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【点睛】本题考查 的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握
“圆周角定理”是理解作图的关键.
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学科网（北京）股份有限公司21. 如图，在 中， ， ， ，求BC的长．
【答案】10
【解析】
【分析】过点A作AD⊥BC，结合三角函数值，分别求出BD、CD的长度，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，过点A作AD⊥BC，如图：
∴△ABD，△ACD都是直角三角形，
∵ ，
设 ， ，
∴ ，
解得： （负值已舍去），
∴ ， ,
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确的求出BD、CD的
长度．
22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
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学科网（北京）股份有限公司x … －1 0 1 2 …
y … －3 0 1 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若 ，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
【答案】（1） ；（2）图象见解析；（3） 或x>3
【解析】
【分析】（1）设二次函数的表达式为 ，根据三组横坐标x和纵坐标y的值列出方程组求
出a，b，c的值即可得到二次函数的表达式；
（2）计算并补充出一些横坐标x和纵坐标y的对应值，然后在平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线连接
即可；
（3）根据二次函数的图象应用数形结合思想即可得到x的取值范围．
【详解】解：（1）设二次函数的表达式为 ．
将三组横坐标x，纵坐标y的值代入可得
解得
所以二次函数的表达式为 ．
（2）横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x －2 －1 0 1 2 3 4
y －8 －3 0 1 0 －3 －8
建立平面直角坐标系，描点并用平滑曲线连接即可得到该二次函数的图象．
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学科网（北京）股份有限公司（3） ，即 ．
根据（2）中二次函数图象可以看出当 或x>3时， ．
所以x的取值范围是 或x>3．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
23. 如图，AB为 的直径，点C在 上，连接AC，BC，过点O作 于点D，过点C作
的切线交OD的延长线于点E．
（1）求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）连接AD．若 ， ，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4
【解析】
【分析】（1）连接OC通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E=∠B
（2）连接AD通过计算发现BC=EC，再通过证明△CED≌△ABC得到AC=DC=4．
【详解】（1）证明：连接OC如图：
OD⊥CB
∴OB=OC，∠B=OCD
又CE为圆O的切线
∴OC⊥CE
∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°
∴∠E=∠DCO=∠B
∴∠E=∠B
（2）连接AD如图
∵△EDC为Rt△
∴DE= =8
由（1）得∠E=∠B
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学科网（北京）股份有限公司又AB为直径
∴∠BCA=90°
在△CED和△ABC中
∵
∴△CED≌△ABC（AAS）
∴AC=DC= =4
∴
【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．
24. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．
一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．
某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度
2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为
．根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）排球能过球网，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据该抛物线的表达式为 ，可得抛物线的顶点坐标为 ，从而得到小石
建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，
∵该抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．
根据题意得：点A的坐标为 ，
∴小石建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，如下图：
（2）排球能过球网，理由如下：
根据题意得：点B的横坐标为3，
∴当 时， ，
∴排球能过球网．
【点睛】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的
图象和性质是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象过点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求k的值；
（2）过点 作x轴的垂线，分别交反比例函数 ， 的图象于点M，
N．
①当 时，求MN的长；
②若 ，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）6；（2）①5；② 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 中即可得出 的值；
（2）①令 代入 和 中，求出点M、N的坐标，即可得出MN的长；
②令 代入 和 中，求出点M、N的坐标，即可得出MN含 的表达式，由 即可
求出 的取值范围．
【详解】（1））把 代入 中得： ，
∴ ；
（2）
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学科网（北京）股份有限公司①令 代入 中得： ，
∴ ，
令 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ；
②令 代入 中得： ，
∴ ，
令 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
综上述所， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求解析式以及两点长度的表示是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上两点．
（1）将 写成 的形式；
（2）若 ，比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）当 时，确定函数解析式，根据点A，点B到对称轴的距离即可判断 ， 的大小；
（3）先求出抛物线的对称轴，根据 可知点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，解不等式
即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解： ；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
若 ，则抛物线的解析式为 ， ， ，
对称轴为 ，
，
点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
，
；
【小问3详解】
解： 的图象开口向上，对称轴为 ，
点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，
，
，
或 ，
或 ．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式，利用函数图象判断函数值的大小，解一元一次不等式等，熟练掌握
二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 如图，AD是 的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E
重合）， ．
第27页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（1）比较 与 的大小；
（2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明.
（3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明．
【答案】（1） ，理由见详解；（2） ，理由见详解；（3）DH⊥AC．
【解析】
【分析】（1）过点A作AG⊥CE，然后利用HL证明Rt△ABD≌Rt△AFG，即可得到结论成立；
（2）连接AE，则AE=AF，则AG垂直平分EF，则 ，即可得到答案；
（3）连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，由等腰三角形的性质知
∠BAM+∠ABM=90°，再利用四边形内角和定理说明∠ACB+∠BAM=90°，则∠ACD=∠ABM，由
∠AMB=∠ADB=90°，由四点A、B、D、M共圆解决问题．
【详解】解：（1） ；
理由如下：过点A作AG⊥CE，如图：
根据题意，点B关于直线AC的对称点为E，
∴AC平分∠BCE，
∵AD⊥BC，AG⊥CE，
第28页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴AD=AG，
∵AF=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△AFG（HL），
∴ ；
（2） ；
理由如下：连接AE，如图：
∵Rt△ABD≌Rt△AFG，
∴ ，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴AB=AE，
∴AE=AF，
∴AG垂直平分EF，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）DM⊥AC，理由如下：
连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，
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学科网（北京）股份有限公司∵AB=AF，点M为BF的中点，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴∠ACB=∠ACF，
∵∠ABC=∠AFE，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠BAF+∠BCF=180°，
∴∠ACB+∠BAM=90°，
∴∠ACD=∠ABM，
∵∠AMB=∠ADB=90°，
∴四点A、B、D、M共圆，
∴∠ABM=∠ADM，
∴∠ADM+∠HDC=90°，
∴∠ACD+∠HDC=90°，
∴DH⊥AC．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，
解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
28. 在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2．点P，Q为 外两点，给出如下定义：若 上存在
点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是 的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成 的“成对关联点”的
点是______；
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学科网（北京）股份有限公司（2）点 在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是 的“成对关联点”，直接写出t
的取值范围；
（3）点G在y轴上．若直线 上存在点H，使得点G，H是 的“成对关联点”，直接写出点G的纵
坐标 的取值范围．
【答案】（1）B和C；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形可确定与点A组成 的“成对关联点”的点；
（2）如图，点E在直线 上，点F在直线 上，当点E在线段 上，点F在线段 上时，
有 的“成对关联点”，求出即可得出 的取值范围；
（3）分类讨论：点G在 上，点G在 的下方和点G在 的上方，构造 的“成对关联
点”，即可求出 的取值范围．
【详解】（1）如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司在点B，C，D中，与点A组成 的“成对关联点”的点是B和C，
故答案为：B和C；
（2）∵
∴ 在直线 上，
∵点F与点E关于x轴对称，
∴ 在直线 ，
如下图所示：
直线 和 与 分别交于点 ， ，与直线 分别交于 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由题可得： ，
的
当点E在线段 上时，有 “成对关联点”
∴ ；
（3）
如图，当点G在 上时， 轴，在 上不存在这样的矩形；
如图，当点G在 下方时，也不存在这样的矩形；
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学科网（北京）股份有限公司如图，当点G在 上方时，存在这样的矩形GMNH，
当恰好只能构成一个矩形时，
设 ，直线 与y轴相交于点K，
则 ， ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： 或 （舍），
综上：当 时，点G，H是 的“成对关联点”．
【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．
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