文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
中考数学几何专项练习：最值问题之阿氏圆
一、填空题
1．如图，正方形 的边长为4， 的半径为2， 为 上的动点，则 的最大值是．
【答案】2
【分析】解法1，如图：以 为斜边构造等腰直角三角形 ，连接 ， ，连接 、 ，
推得 ，因为 ，求出 即可求出答案．
解法2：如图：连接 、 、 ，在 上做点 ，使 ，连接 ，证明 ，
在 上做点 ，使 ，连接 ，证明 ，接着推导出 ，最后证
明 ，即可求解．
【详解】解法1
如图：以 为斜边构造等腰直角三角形 ，连接 ， ，
∴ ， ，
1 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
四边形 正方形
，
又 ，
在 与 中
，
故答案为：2．
解法2
如图：连接 、 、
根据题意正方形 的边长为4， 的半径为2
，
2 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 上做点 ，使 ，则 ，连接
在 与 中
，
，则
在 上做点 ，使 ，则 ，连接
在 与 中
，
，则
如图所示连接
在 与 中
， ，
3 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题
关键．
2．如图所示的平面直角坐标系中， ， ， 是第一象限内一动点， ，连接 、 ，
则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】取点 ，连接 ， ．根据 ，有 ，即可证明 ，即有
，进而可得 ，则有 ，利用勾股定理可得 ，
则有 ，问题得解．
【详解】解：如图，取点 ，连接 ， ．
4 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造相似三角形解决问题．
5 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．如图所示， ，半径为2的圆 内切于 ． 为圆 上一动点，过点 作 、 分
别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作 于 ，作 于 ，
如图所示，通过代换，将 转化为 ，得到当 与 相切时，
取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值
范围．
【详解】解：作 于 ，作 于 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
，
6 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
当 与 相切时， 取得最大和最小，
①连接 ， ， ，如图1所示：
可得：四边形 是正方形，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，即 ；
②连接 ， ， ，如图2所示：
可得：四边形 是正方形，
，
由上同理可知：在 中， ，
7 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
在 中， ，
，即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何
知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
4．如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在 上，且 ，点 是
的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长 到 ，使得 ，连接 ， ，利用相似三角形的性质证明 ，求
的最小值问题转化为求 的最小值．求出 即可判断．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ．
， ， ，
，
，
，
8 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
，
又 在 中， ， ， ，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造相似三角形解决问题．
5．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则 PA＋PB的最小值为．
【答案】
【分析】 PA＋PB＝ （PA＋ PB），利用相似三角形构造 PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
9 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
OP＝r＝ BC＝2，OB＝ r＝2 ，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝ ，
∵ ， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴ ，
∴PI＝ PB，
∴AP＋ PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋ PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝ BI＝1，
∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝ ，
10 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AP＋ PB最小值＝AI＝ ，
∵ PA＋PB＝ （PA＋ PB），
∴ PA＋PB的最小值是 AI＝ ．
故答案是 ．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
6．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则 的最大值
为．
【答案】
【分析】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，进而证明 ,则在点P运动的
任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得 ．
【详解】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，
11 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形 是正方形
12 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 中，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造 是解题的关键．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转
90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得 即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ
得EQ＝ QD，故 DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝ ，cos∠PCQ＝ ，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
13 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵BP＝ ，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵ ， ，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴ 即EQ＝ QD，
∴ DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴ ，
∴ DQ+CQ的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键
在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
8．如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与 相切，点P为圆B上任一动点，
则 的最小值是．
14 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等
腰直角三角形的性质得到BH AC ，接着证明△BPD∽△BCP得到PD PC，所以PA PC＝
PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA 的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴AC BA＝2 ，
∴BH AC ，
∴BP ，
∵ ， ，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
15 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴PD PC，
∴PA PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD ，
∴PA+PD的最小值为 ，
即PA 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线
段PD PC．也考查了等腰直角三角形的性质．
9．如图，在Rt 中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 上任意一点，
连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是．
16 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】 ．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明 ，推出 ＝ ＝ ，推
出PT＝ PB，推出 PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝ AT•AB，
∴ ＝ ，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴PT＝ PB，
∴ PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt 中，
∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝ ＝ ，
17 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ PB+PC≥ ，
∴ PB+PC的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关
系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接
AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是.
【答案】
【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将 转化为DE，从而求得
的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4
∴
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴
18 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB
∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB
∴
在Rt△ECB中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为： ．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣ PC的最大
值为．
【答案】5
【详解】分析: 由PD− PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD− PC的值最大，最大值为DG＝
5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
19 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ，
∴ ，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴ ，
∴PG＝ PC，
当点P在DG的延长线上时，PD− PC的值最大，最大值为DG＝ ＝5．
故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似
三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于
中考压轴题．
二、解答题
12．已知 与 有公共顶点C， 为等边三角形，在 中， ．
20 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为 ，求 的值；
(2)如图2， ， A、E、D三点共线，连接 、 ，取 中点M，连接 ，求证： ；
(3)如图3， ， ，将 以C为旋转中心旋转，取 中点F，当 的值最
小时，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）延长 到T，使得 连接 ，过点D做 于N，证明 ，
得出 ， ，证明 为等边三角形，设 ，得出
，求出x的值即可得出答案；
（2）延长 到 使得 ，连接 、 ，证明 ，得出 ，证明
为 的中位线，得出 ，即可证明结论；
（3）连接 ，过点A作 于点G，以点C为圆心， 为半径作圆，在 上截取 ，
连接 ，证明 ，得出 ，即 ，得出 ，
连接 与 交于一点，当点F在此点时， 最小，即 最小，过点M作 于
点N，过点A作 于点Q，求出 ， 即可得出答案．
【详解】（1）解：延长 到T，使得 连接 ，过点D做 于N，如图所示：
21 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ，
四边形 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵四边形ABDC的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
22 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）证明：延长 到 使得 ，连接 、 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵A为 中点，M为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 ，过点A作 于点G，以点C为圆心， 为半径作圆，在 上截取
，连接 ，
23 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点F为等边三角形 的边 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的长度为定值，
∴在 旋转时，点F在以C为圆心， 为半径的圆上运动，
∴如图，连接 与 交于一点，当点F在此点时， 最小，即 最小，过点M作
24 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
于点N，过点A作 于点Q，
，
，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
25 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，
特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出
取最小值时，点F的位置．
13．如图1，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ，抛
物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是直线 下方的抛物线上一个动点，是否存在点 使四边形 的面积为16，若存在，求出
点 的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点 作 交抛物线的对称轴于点 ，以点 为圆心，2为半径作 ，点 为 上
的一个动点，求 的最小值．
26 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据点 的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ．待定系数法求二次函数解析式即
可，
（2）先求得直线 解析式，设 ，则 ，过点 作 轴交直线 于点 ，根
据 等于16建立方程，解一元二次方程即可求得 的值，然后求得 的坐标，
（3）在 上取 ，过点 作 ，构造 ，则当 三点共线时，取得最小
值，最小值为 ，勾股定理解直角三形即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，
抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，
，
解得 ，
抛物线解析式为： ，
（2）当 ，即 ，
27 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得 ，
，
，
设直线 解析式为 ，
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
设 ，过点 作 轴交直线 于点 ，
则 ，
28 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
四边形 的面积为16，
，
解得 ，
或 ，
（3）如图，过点 作 交抛物线的对称轴于点 ，以点 为圆心，2为半径作 ，
是抛物线的对称轴，
，
，
， ，
29 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
在 上取 ，过点 作 ，交 轴于点 ，交抛物线对称轴于点 ，则
，
，
，
， ，
，
，
，
，
当 三点共线时，取得最小值，最小值为 ，
．
则 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质
与判定是解题的关键．
30 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
14．如图1，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，在x轴上有一动点
（ ），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为 ，△AEN的周长为 ，若 求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 （ ），连接
、 ，求 的最小值．
【答案】(1)a=- ．直线AB解析式为y=- x+3；
(2)2
(3)
【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解
析式；
（2）由△PNM∽△ANE，推出 ，列出方程即可解决问题；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′= ，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+ E′B的最小值．
【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
31 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴x=-1或- ，
∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴- =4，
∴a=- ．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则 ，
解得 ，
∴直线AB解析式为y=- x+3；
（2）如图1，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，
∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵
∴ ，
∵NE∥OB，
∴ ，
32 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∵抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
解得m=2或4，
经检验x=4是分式方程的增根，
∴m=2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′= ，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．
∵OE′=2，OM′•OB= ，
∴OE′2=OM′•OB，
∴ ，
∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，此时 最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
33 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
最小值 ．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，
解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是 的最小值．
15．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时
针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝ ，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；
（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；
（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝ AD，从而得到当B，
D，M共线时，BD+ AD的值最小，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
34 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴ ，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ ，
∴BD+ AD＝ ；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝ ，
35 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AD＝ ＝ ，
∴BD+ AD＝ ，
综上所述，BD＋ AD的值 或 ；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝ ，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM•CA，
∴ ＝ ，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DM＝ AD，
∴BD+ AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，
最小值 ．
36 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角
函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c
经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积
最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ PA的值
最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于
18；（3）PC+ PA的最小值为 ，理由详见解析.
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点
M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，
且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有 ，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边
对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得 等于相似比 ，进而得PD＝ AP，所以当C、P、D在同
一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
37 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x＝1，x＝5
1 2
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S ＝ AB•OC＝ ×4×5＝10
△ABC
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S ＝ AB•MH＝ ×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
△ABM
∴S ＝S +S ＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
四边形AMBC △ABC △ABM
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
38 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝ AP
∴PC+ PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+ PA的最小值为
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质
及相似三角形的判断与性质.
17．如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，
且 ， 的平分线 交 轴于点 ，过点 且垂直于 的直线 交 轴于点 ，点
是 轴下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 的横坐标为 ，当 时，求 的值；
（3）当直线 为抛物线的对称轴时，以点 为圆心， 为半径作 ，点 为 上的一个动点，
39 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
求 的最小值．
【答案】（1）y x2 x﹣3；（2） ；（3） ．
【分析】对于（1），结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
对于（2），在Rt△OAC中，利用三角函数的知识求出∠OAC的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD的
度数，进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P，H，F的坐标，再利用两点间的距
离公式可完成解答；对于（3），首先求出⊙H的半径，在HA上取一点K，使得HK=14，此时K（- ，
）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ= AQ，进而可得当E、
Q、K共线时， AQ+EQ的值最小，据此解答.
【详解】（1）由题意A（ ，0），B（﹣3 ，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3
）（x ），把C（0，﹣3）代入得到a ，∴抛物线的解析式为y x2 x﹣3．
（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC ，∴∠OAC＝60°．
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y x
40 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
﹣1，由题意P（m， m2 m﹣3），H（m， m﹣1），F（m，0）．
∵FH＝PH，∴1 m﹣1﹣（ m2 m﹣3）
解得m 或 （舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为 ．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（ ，0），H（ ，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO OA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC 2，AH＝2FH＝4，∴QH CH＝1，在HA上取一点K，使得HK ，此
时K（ ）．
∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴ ．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴ ，∴KQ AQ，∴ AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共
线时， AQ+QE的值最小，最小值 ．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求
二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的
41 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
关键.
42 试卷第页，共37页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
学科网（北京）股份有限公司
