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第 1 讲 函数的图象与性质
[考情分析] 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段
函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，
难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，
多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．
考点一 函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
例1 (1)(2022·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是( )
A．{x|x<0或x>2} B.
C．{x|x>2} D.
答案 B
解析 要使f(x)＝lg 有意义，则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1f(1＋a)，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意知，a≠0.①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，
化简得a2＋3a＋2<0，
解得－20时，1－a<1,1＋a>1，
∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，
化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，
又a>0，∴a∈(0，＋∞)，
综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)．
规律方法 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
跟踪演练1 (1)(2022·潍坊模拟)设函数f(x)＝则f(8)等于( )
A．10 B．9 C．7 D．6
答案 C
解析 因为f(x)＝则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.
(2)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称
函数f(x)为“M函数”．则下列为“M函数”的是________．(填序号)
①y＝sin xcos x；
②y＝ln x＋ex；
③y＝2x；
④y＝x2－2x.
答案 ①②
解析 由题意，得“M函数”的值域关于原点对称．①中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈，其值
域关于原点对称，故①是“M函数”；②中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故②是“M函
数”；③中，因为y＝2x>0，故③不是“M函数”；④中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其
值域不关于原点对称，故④不是“M函数”．
考点二 函数的图象
核心提炼
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、
伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
考向1 函数图象的识别
例2 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为( )答案 A
解析 方法一 (特值法)
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0；
取x＝－1，则y＝cos(－1)
＝－cos 1<0.结合选项知选A.
方法二 令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，
排除B，D；
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故选A.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数
是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 A
解析 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y
＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜
≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
考向2 函数图象的变换及应用
例3 (1)已知函数f(x)＝则下列图象错误的是( )答案 D
解析 当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且该线段经过(－1,2)和(0,0)两点．
当00，∴x＋x＋x>－2.
3 1 2 3
由图象知，当x>－2时，f(x)∈[0,1]，
∴f(x＋x＋x)∈[0,1]．
1 2 3规律方法 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，
特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有
关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
跟踪演练2 (1)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是
( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
答案 C
解析 图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将
y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可
能是y＝f(－|x|)．
(2)函数f(x)＝的图象如图所示，则( )
A．a>0，b＝0，c<0
B．a>0，b＝0，c>0
C．a<0，b<0，c＝0
D．a<0，b＝0，c<0
答案 A
解析 因为函数f(x)的图象关于y轴对称，
所以f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝
＝＝＝f(x)，
解得b＝0，
由图象可得f(0)＝<0，得c<0，
由图象可得分母ax2＋c＝0有解，
所以x2＝－有解，
所以－>0，解得a>0.考点三 函数的性质
核心提炼
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
4．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
考向1 单调性与奇偶性
例4 (2022·广东大联考)已知函数f(x)＝e|x|－cos x，则f ，f(0)，f 的大小关系为( )
A．f(0)0时，f(x)＝ex－cos x，
则f′(x)＝ex＋sin x，
∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex＋sin x>0，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(0)0的解集为( )
A．(2，＋∞)
B．(－4，－1)∪(0，＋∞)
C．(－4，＋∞)
D．(－4,0)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 因为函数f(x－1)为偶函数，则f(－x－1)＝f(x－1)，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1
对称，因为函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，
因为f(2)＝0，则f(－4)＝0，
由f(x)<0可得－40可得x<－4或x>2，
故由不等式xf(x)>0，可得或解得－42，
故不等式xf(x)>0的解集为(－4,0)∪(2，＋∞)．
(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]
时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f 等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 因为f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0.①
因为f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以
f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6.②
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直
线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×
2－2＝.
专题强化练
一、选择题
1．(2022·哈尔滨检测)下列既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝tan x D．y＝－
答案 D
解析 对于A，y＝sin x是奇函数，且在(0，＋∞)上有增有减，故不满足；
对于B，y＝ln x的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足；
对于C，y＝tan x是奇函数，且在(0，＋∞)上只有单调递增区间，但不是一直单调递增，故
不满足；
对于D，y＝－是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足．
2．下列函数中，定义域与值域相同的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝
答案 D
解析 对于A，定义域为R，值域为[－1，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；
对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又3x>0，且3x≠1，
故3x－1>－1，且3x－1≠0，
故y<－1或y>0，
即值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；
对于D，y＝＝1＋，
定义域、值域都为(－∞，1)∪(1，＋∞)，满足题意．
3．(2022·西安模拟)设f(x)＝若f(x)＝3，则x的值为( )
A．3 B．1
C．－3 D．1或3
答案 B
解析 当x≤3时，令2x＋1－1＝3，解得x＝1，
当x>3时，令log (x2－1)＝3，
2
解得x＝±3，这与x>3矛盾，
∴x＝1.
4．(2022·常德模拟)函数f(x)＝的图象大致是( )
答案 C
解析 函数f(x)＝的定义域为R，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
即f(x)是奇函数，A，B不满足；
当x∈(0,1)时，即0<πx<π，
则sin(πx)>0，而ex＋e－x>0，
因此f(x)>0，D不满足，C满足．5.(2022·广州模拟)若函数y＝f(x)的大致图象如图，则f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案 D
解析 由图可知函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A；
由图知该函数图象关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于B，f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；
C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于C，f(x)＝＝，
当x→＋∞时，→0，
故f(x)→，
∵y＝x2增长的速率比y＝ex增长的速率慢，
∴f(x)→→0，
即图象在x轴上方且无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.
6．(2022·张家口检测)已知函数f(x)＝，则( )
A．函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．函数f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．函数f(x)非奇非偶，在区间(－∞，0)上单调递增
答案 A
解析 －f(－x)＝－＝－
＝＝f(x)，
故f(x)是奇函数．
又f(x)＝＝1－，
由复合函数的单调性可知f(x)在R上单调递增．
7．(2022·衡水中学调研)已知f(x)是偶函数，且对任意x ，x∈(0，＋∞)，>0，设a＝f ，b＝
1 2
f(log 7)，c＝f(－0.83)，则( )
3
A．b0，
1 2
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又函数f(x)为偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减．
又＝ ＝log f >f(－0.83)，即c0时，f(x)＝
则方程f(x)＝1的解的个数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10答案 D
解析 由题意知，当x>0时，
函数f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图所示，
方程f(x)＝1的解的个数，即为函数y＝f(x)与y＝1的图象交点的个数，
当x>0时，结合图象，函数y＝f(x)与y＝1的图象有5个交点，
又因为函数y＝f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以当x<0时，函数y＝f(x)与y＝1的图
象也有5个交点，
综上可得，函数y＝f(x)与y＝1的图象有10个交点，即方程f(x)＝1的解的个数为10.
11．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，
则( )
A．f ＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 B
解析 因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
又f(1)＝0，故f(－1)＝f(5)＝f(1)＝0，其他三个选项未知．
12．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝
1，则∑f(k)等于( )
A．－3 B．－2 C．0 D．1
答案 A
解析 因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，
故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，
f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，∑f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
二、填空题
13．(2022·泸州模拟)写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)＝____________.①定义域为
R；②函数f(x)是奇函数；③f(x＋π)＝f(x)．
答案 sin 2x(答案不唯一)
14．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，则f(ln 5)＋f ＝________.
答案 2
解析 令g(x)＝ln(－x)，
则g(x)的定义域为R，
g(－x)＋g(x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝ln 1＝0，
∴g(x)为奇函数，
∴f(ln 5)＋f ＝f(ln 5)＋f(－ln 5)
＝g(ln 5)＋1＋g(－ln 5)＋1＝2.
15．已知函数f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．
答案 [0,2]
解析 由于当x>0时，f(x)＝x＋＋a在x＝1时取得最小值2＋a，
因为f(0)是f(x)的最小值，
所以当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，
则a≥0，此时最小值为f(0)＝a2，
因此a2≤a＋2，解得0≤a≤2.
16．(2022·济宁模拟)已知函数 f(x)＝e|x－1|－sin，则使得 f(x)>f(2x)成立的 x的取值范围是
____________．答案
解析 令g(x)＝e|x|－cos，将其向右平移1个单位长度，
得y＝e|x－1|－cos＝e|x－1|－sin，
所以f(x)＝e|x－1|－sin是函数g(x)向右平移1个单位长度得到的．
而易知g(x)是偶函数，
当x>0时，g(x)＝ex－cos，
g′(x)＝ex＋sin，
当00，
当x>2时，ex>e2，
－≤sin≤，
所以g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
从而可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
在(－∞，1)上单调递减．
所以当f(x)>f(2x)时，有|x－1|>|2x－1|，
解得0
