文档内容
§8.6 双曲线
考试要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对
称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双
1 2 1 2
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点 A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段AA，长： 2 a ；虚轴：线段BB，长： 2 b ，实半
1 2 1 2
轴
轴长：a，虚半轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF|
1 2 1min 2min
＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则
1 2
＝，其中θ为∠FPF.
1 2
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F(0,4)，F(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×
1 2
)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
教材改编题
1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值
范围是( )
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
答案 C
解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则解得k<－1.
2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 C
解析 依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，
所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x.
3．设P是双曲线－＝1上一点，F ，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|＝
1 2 1 2
________.
答案 17
解析 根据双曲线的定义得||PF|－|PF||＝8，
1 2
因为|PF|＝9，
1
所以|PF|＝1或17.
2
又|PF|≥c－a＝2，故|PF|＝17.
2 2
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切
圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)C.＋＝1(02)．
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在C上，∠FPF ＝60°，则
1 2 1 2
△FPF 的面积为______．
1 2
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF|－|PF|＝2a＝2，
1 2
在△FPF 中，由余弦定理，得
1 2
cos∠FPF＝＝，
1 2
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2
∴ ＝|PF|·|PF|·sin 60°＝2.
1 2
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF|－|PF||＝2a，运
1 2
用平方的方法，建立与|PF|·|PF|的联系．
1 2
跟踪训练1 (1)已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1，C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 和圆C
1 2 1 2
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
答案 C
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C 和圆C 相外切，
1 2
得|MC |＝1＋r，|MC |＝3＋r，
1 2
|MC |－|MC |＝2<6，
2 1
所以动圆圆心M的轨迹是以点C (－3,0)和C (3,0)为焦点的双曲线的左支，
1 2
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F ，F ，点P是C的右支上的
1 2
一点(不是顶点)，过F 作∠FPF 的角平分线的垂线，垂足是 M，O是原点，则|MO|＝
2 1 2
________.
答案 4
解析 如图所示，延长FM交PF 于Q，
2 1
由于PM是∠FPF 的角平分线，FM⊥PM，
1 2 2
所以△QPF 是等腰三角形，
2
所以|PQ|＝|PF|，且M是QF 的中点．
2 2
根据双曲线的定义可知|PF|－|PF|＝2a＝8，即|QF|＝8，
1 2 1
由于O是FF 的中点，
1 2
所以MO是△QFF 的中位线，
1 2
所以|MO|＝|QF|＝4.
1
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标
准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案 A
解析 由e＝＝2，
得c＝2a，b＝＝a，
则双曲线的方程为－＝1，
将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方
程为x2－＝1.
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点
A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
答案 D解析 由方程－＝1，
得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
不妨设A在直线y＝x上，
由△OAF是边长为2的等边三角形，
可得c＝2，直线y＝x的倾斜角为60°，
即＝，
联立可得
故双曲线的标准方程为x2－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则
双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近
线的距离是2，可得＝b＝2，则b2＝12，
由双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝＝2，又c2＝a2＋b2，
解得a＝2，c＝4，
则双曲线的方程为－＝1.
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡
然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 x轴上的双曲线的
一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底
面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D解析 由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．
设该双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故该双曲线的标准方程是－＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
答案 －3
解析 方法一 依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲线的渐近
线的斜率为±＝±，解得m＝－3.
方法二 依题意得m<0，令y2－＝0，得y＝±x，则±＝±，解得m＝－3.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是
________．
答案 4x2－y2＝1
解析 方法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－
＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解，综上，
双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，)，
∴λ＝4×12－()2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两
渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离
心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F ，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF ＝
1 2 1 2
60°，|PF|＝3|PF|，则C的离心率为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 设|PF|＝m，则|PF|＝3m，
2 1
在△FPF 中，
1 2
|FF|＝
1 2＝m，
所以C的离心率e＝＝＝
＝＝.
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝
2x与C无公共点”的e的一个值________．
答案 2((1，]内的任意值均可)
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，
又e＞1，∴e∈(1，]，
∴填写(1，]内的任意值均可．
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，
b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程
(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(00，k－1<0，
所以双曲线C：－＝1(00，b>0)，焦点坐标为(±c,0)，则渐近
线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
所以焦点到渐近线的距离d＝＝b，
所以双曲线C：－＝1(00，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线
C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则
双曲线C的渐近线方程为________．
答案 y＝±x解析 设 C 的左焦点为 F ，连接 FB，过 F 作 FD⊥FB 于点 D，如图所示，易知
1 1 1 1
FD∥OA，
1
在双曲线C中，易知|FA|＝b，
又3|FA|＝|AB|，
则|DB|＝2b，
则D为线段FB的中点，
所以△FBF为等腰三角形，
1
又|FB|＝4b，|FB|＝4b－2a＝|FF|＝2c，
1 1
即c＋a＝2b，
又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，
将b＝代入得＝(c＋a)(c－a)，
得c＋a＝4(c－a)，
则c＝a，
又c2＝a2＋b2，
所以b＝a，则渐近线方程为y＝±x.
课时精练
1．(2022·宜昌模拟)双曲线－＝λ(λ>0)的离心率为( )
A. B. C.或 D.
答案 B
解析 因为λ>0，所以－＝1，所以双曲线焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝
6λ，所以离心率为＝＝＝.
2. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C解析 因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，
又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，
因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为( )
A．两条直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 B
解析 因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，
所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示双曲线；
当cos θ＝0时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示两条直线x＝±1；
当cos θ∈(0,1)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1可化为x2＋＝1，
因为>1，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆．
5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F ，F 为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任
1 2
意一点，则( )
A．|PF|－|PF|＝2
1 2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的离心率为
D．|PF1＋PF2|≥2
答案 CD
解析 双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.
对于A选项，||PF|－|PF||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
1 2
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；
对于C选项，e＝＝＝，故C正确；对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为FF 的中点，所以|PF1＋PF2|＝|2PO|＝2|PO|≥2，故D正确．
1 2
6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
1 2
P是C右支上的一点，PF 与C的左支交于点Q.已知PQ＝2QF1，且|PQ|＝|PF|，则( )
1 2
A．△PQF 为直角三角形
2
B．△PQF 为等边三角形
2
C．C的渐近线方程为y＝±x
D．C的渐近线方程为y＝±x
答案 BC
解析 因为|PQ|＝|PF|，
2
所以由双曲线定义知，|PF|－|PF|＝|QF|＝2a，|QF|－|QF|＝2a，
1 2 1 2 1
所以|QF|＝4a，
2
又PQ＝2QF1，
所以|PQ|＝|PF|＝4a，
2
故△PQF 是等边三角形．在△PFF 中，
2 1 2
由余弦定理得，cos∠FPF＝＝＝，
1 2
则＝＝7，
即＝，
故C的渐近线方程为y＝±x.
7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐
近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
8．(2022·晋中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，P在双曲线的
1 2
右支上，|PF|＝4|PF|，则双曲线离心率的取值范围是________．
1 2
答案
解析 设∠FPF＝θ，由
1 2
得
∵|PF|≥c－a，
2
∴a≥c－a，
即a≥c，
即≤，∴双曲线离心率的取值范围是10)．
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线C上，若PF⊥PF ，且△PFF
1 2 1 2 1 2
的面积为9，求b的值．
解 (1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝
2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)因为PF⊥PF，
1 2
所以 ＝|PF|·|PF|，
1 2
因为△PFF 的面积为9，
1 2
所以|PF|·|PF|＝18，
1 2
又因为||PF|－|PF||＝2a＝2，
1 2
所以|PF|2－2|PF|·|PF|＋|PF|2＝4，
1 1 2 2
所以|PF|2＋|PF|2＝40，
1 2
又因为|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝4c2，
1 2 1 2
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
10.如图，已知双曲线的中心在原点，F ，F 为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过
1 2
点(4，－)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以FF 为直径的圆上；
1 2
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF 交双曲线于另一点N，求△FMN的面
2 1
积．
(1)解 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2a，即c＝a，
∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将(4，－)代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明 由(1)知，F(－2，0)，F(2，0)，
1 2
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以FF 为直径的圆为x2＋y2＝12，
1 2
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以FF 为直径的圆上．
1 2
(3)解 由(2)知，点M坐标为(3，)或(3，－)，
∵点M在第一象限，
∴M的坐标为(3，)，直线MF 的方程为y－＝(x－3)＝－(2＋)(x－3)，
2
即y＝(－2－)x＋(6＋4)，
代入双曲线方程整理可得(6－4)y2－4(2－)y＋6＝0，
∵M的纵坐标为，
∴N的纵坐标为＝＝－(＋2)，
∴△FMN的面积为S＝|FF|·(＋＋2)＝2×(2＋2)＝12＋4.
1 1 2
11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线方程
为x－y＝0，则C的方程为( )
A.－y2＝1或y2－＝1
B．x2－＝1或y2－＝1
C.－y2＝1或－x2＝1
D．x2－＝1或－x2＝1
答案 A
解析 在椭圆＋＝1中，c＝＝2，
∴焦距2c＝4.
∵C的一条渐近线方程为x－y＝0，
∴设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1.
当λ>0时，c＝＝2，解得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；
当λ<0时，c＝＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1.
综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1.
12．(2022·徐州模拟)已知F ，F 分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，以线段FF 为直径
1 2 1 2的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于 A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是∶，
则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．
设A(x，y)，B(x，y)，则|OB|＝|OF|＝c，
1 1 2 2 2
由渐近线的方程y＝x可知y＝x，
2 2
在Rt△OBE中，x＋x＝c2，解得x＝a(舍负)，
2
由已知得x∶x＝∶，即x＝a，即|AF|2＝c2－2＝c2－a2，
1 2 1
因为离心率e>，
所以c2－a2>0，
则点A的坐标为，
代入双曲线方程可得－＝1，化简得2a2＝c2，即e＝.
13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在
第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为
线段BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3 C. D.
答案 B
解析 如图，设B(m，n)，
则C(－m，－n)，
易知A(a,0)，F(c,0)，
由M为线段BF的中点得M，
又M在直线CA上，故CA，AM共线，
又CA＝(a＋m，n)，AM＝，
故(a＋m)·＝n·，
整理得c＝3a，
故离心率e＝＝3.
14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F(－c,0)，
1
F(c,0)，过点F 作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，
2 2
与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是( )
A．若|PF|·|PF|＝2，则PF1·PF2＝0
1 2
B．若＝，则双曲线的离心率e∈(1，＋1]
C．△FPQ周长的最小值为8
1
D．△AOB(O为坐标原点)的面积为定值
答案 ACD
解析 由题意知|PF|－|PF|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF|2－2|PF|·|PF|＋|PF|2＝4a2，所以有|
1 2 1 1 2 2
PF|2＋|PF|2＝4a2＋4＝4c2＝|FF|2，从而PF1⊥PF2，即PF1·PF2＝0，故A正确；
1 2 1 2
在△PFF 中，由正弦定理得＝，则＝＝，解得|PF|＝|PF|.
1 2 1 2
又|PF|－|PF|＝2a，所以|PF|＝>c－a，整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得
1 2 2
1
