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§8.5 椭 圆
考试要求 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对
称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定
1 2 1 2
点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
A ( － a ,0) ， A ( a ,0) ， A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a ) ，
1 2 1 2
顶点
B (0 ，－ b ) ， B (0 ， b ) B ( － b ,0) ， B ( b ,0)
1 2 1 2
轴长 短轴长为 2 b ，长轴长为 2 a
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
对称性 对称轴： x 轴和 y 轴 ，对称中心：原点
离心率 e＝(02＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，且∠FPF ＝60°，
1 2 1 2
则△PFF 的面积为________．
1 2
答案
解析 方法一 由题意知，c＝.
又∠FPF＝60°，|PF|＋|PF|＝2a，
1 2 1 2
|FF|＝2，
1 2
∴|FF|2＝(|PF|＋|PF|)2－2|PF||PF|－2|PF||PF|cos 60°
1 2 1 2 1 2 1 2
＝4a2－3|PF||PF|＝4a2－16，
1 2
∴|PF||PF|＝，
1 2
∴ ＝|PF||PF|sin 60°
1 2
＝××
＝.
方法二 由题意得b2＝4，∠FPF＝60°，∴ ＝4×tan 30°＝.
1 2
延伸探究 若将本例(2)中“∠FPF＝60°”改成“PF⊥PF”，求△PFF 的面积．
1 2 1 2 1 2
解 ∵PF⊥PF，
1 2
∴|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝4(a2－4)
1 2 1 2
＝4a2－16，
又|PF|＋|PF|＝2a，|PF|2＋|PF|2＝(|PF|＋|PF|)2－2|PF||PF|，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2
∴ ＝|PF||PF|＝4.
1 2
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最
值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0)D.＋＝1(y≠0)
答案 A
解析 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，
∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
又8>4，
∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b2＝12，
∴椭圆的方程为＋＝1(x≠0)．
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：＋＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的
最大值为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
答案 D
解析 如图，设F 为椭圆C的左焦点，
1
则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF|＋2a－|BF|＋|AB|＝4a＋|AB|
1 1
－|AF|－|BF|＝20＋|AB|－|AF|－|BF|，
1 1 1 1
当A，B，F 共线时，|AB|－|AF|－|BF|＝0，
1 1 1
当A，B，F 不共线时，|AB|－|AF|－|BF|<0，
1 1 1
所以△ABF周长的最大值为20.
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 (2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F(0,2), F(0，－2)，P为椭圆上任意一点，
1 2
若|FF|是|PF|，|PF|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
1 2 1 2
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意|PF|＋|PF|＝2|FF|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2，
1 2 1 2
焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P(，1)，P(－，－)，则该
1 2
椭圆的方程为________．答案 ＋＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
将P，P 代入方程，
1 2
得
解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系
数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2 (1)“1b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不
1
同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F 是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(
1
)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 如图，不妨设A(x ，y)在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1,0)，点C，F 是线段AB
0 0 1 1
的三等分点，
得C为AF 的中点，F 为BC的中点，
1 1
所以x＝1，
0
所以＋＝1，
解得y＝，即A，
0
所以C，B，将点B的坐标代入椭圆方程得＋＝1，
即＋＝1，
结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 (1)(2022·太原模拟)设F ，F 是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F 且斜率为
1 2 1
的直线交椭圆于点P，若2∠PFF＝∠PFF，则椭圆E的离心率为( )
1 2 2 1
A.＋1 B.－1
C. D.
答案 B
解析 因为过点F 且斜率为的直线交椭圆于点P，且2∠PFF ＝∠PFF ，则有∠PFF ＝
1 1 2 2 1 1 2
30°，∠PFF＝60°，
2 1
因此，在△PFF 中，∠FPF ＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF|＝|FF|cos 30°＝c，|PF|
1 2 1 2 1 1 2 2
＝|FF|·sin 30°＝c，
1 2
由椭圆定义得2a＝|PF|＋|PF|＝(＋1)c，则e＝＝＝－1，
1 2
所以椭圆E的离心率为－1.
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对
称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
所以k ·k ＝·＝＝.(*)
AP AQ
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，
代入(*)式，得＝，
所以e＝＝＝.
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5 (1)(2023·长沙模拟)已知F ，F 为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，
1 2M为椭圆上一动点，则∠FMF 的最大值为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠FMF 最大，
1 2
∴|MO|＝b，|MF |＝a，|OF|＝c，
2 2
∴sin∠OMF＝＝＝，
2
∴∠OMF＝，
2
故∠FMF ＝，
1 2
所以∠FMF 的最大值为.
1 2
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，
P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为________．
答案 4
解析 由题意知a＝2，因为e＝＝，
所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.
设P点的坐标为(x，y)，－2≤x≤2，－≤y≤，
0 0 0 0
代入＋＝1，得y＝3－x.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
所以PF＝(－1－x，－y)，PA＝(2－x，－y)，
0 0 0 0
所以PF·PA＝x－x－2＋y＝x－x＋1＝(x－2)2，
0 0 0
所以当x＝－2时，PF·PA取得最大值4.
0
思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)(2023·镇江模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，上
1 2
顶点为A，射线AF 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F，则椭圆E的离心率是( )
1 2A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意|AF|＝|AF|＝a，
1 2
设|BF|＝t，则|BF|＝2a－t，
1 2
又以AB为直径的圆过F，
2
所以AF⊥BF，
2 2
所以a2＋(2a－t)2＝(a＋t)2，
解得t＝a，
所以|BF|＝a，
2
在△AFF 和△BFF 中，由余弦定理得
1 2 1 2
cos∠AFF＝，
1 2
cos∠BFF＝＝，
1 2
因为∠AFF＋∠BFF＝180°，
1 2 1 2
所以cos∠AFF＋cos∠BFF＝0，
1 2 1 2
即＋＝0，
整理得a2＝5c2，
所以e＝＝.
(2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满
足(FP＋FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 取AP的中点Q，则FQ＝(FP＋FA)，
所以(FP＋FA)·AP＝2FQ·AP＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.
因为点P在直线x＝上，
所以|FP|≥－c，即a≥－c，
所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥或e≤.
又0＜e＜1，故≤e＜1.课时精练
1．(2023·昆明模拟)已知椭圆＋＝1的两个焦点为F ，F ，过F 的直线交椭圆于M，N两点，
1 2 2
则△FMN的周长为( )
1
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 由＋＝1得a＝2.
因为M，N是椭圆上的点，F，F 是椭圆的焦点，
1 2
所以|MF |＋|MF |＝2a，|NF |＋|NF |＝2a，
1 2 1 2
因此△FMN的周长为|MF |＋|MN|＋|NF |＝|MF |＋|MF |＋|NF |＋|NF |＝2a＋2a＝4a＝8.
1 1 1 1 2 2 1
2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，A 分别为C的左、右顶点，
1 2
B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案 B
解析 依题意得A(－a,0)，A(a,0)，B(0，b)，
1 2
所以BA1＝(－a，－b)，BA2＝(a，－b)，
BA1·BA2＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，
又C的离心率e＝＝＝，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
所以C的方程为＋＝1.
3．(2022·贵阳模拟)已知F ，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠FPF ＝30°，|
1 2 1 2
PF|＝|PF|，则椭圆C的离心率为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 B
解析 令|PF|＝m，则|PF|＝m，
2 1
∴|PF|＋|PF|＝(＋1)m＝2a，
1 2
得a＝，
又由余弦定理知，(2c)2＝(m)2＋m2－2·m·m·cos 30°，
即4c2＝m2，
∴m＝2c，得c＝，
∴e＝＝＝.4．(2023·濮阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线y＝kx(k>0)
1 2
与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F ，N，F 四点共圆，则C的离心率e的
1 2
取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设椭圆的半焦距为c，
由椭圆的中心对称性和M，F，N，F 四点共圆，
1 2
知四边形MF NF 为矩形，
1 2
所以以FF 为直径的圆与椭圆C有公共点，
1 2
则c>b，即c2>b2＝a2－c2，
所以2c2>a2，
故b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，
使得∠FPF＝90°，即使得PF1·PF2＝0，故B正确；
1 2
椭圆C的离心率e＝＝，故C错误；
因为P为椭圆＋y2＝1上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，当点P，Q的坐标为P(2,0)，Q(－
1,0)或P(－2,0)，Q(1,0)时，点P，Q的距离最大，|PQ| ＝2＋1＝3，故D正确．
max
7．(2022·天津模拟)已知B(－，0)是圆A：(x－)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，
线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．
答案 ＋y2＝1
解析 如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4>2＝|AB|，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±，0)，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为＋y2＝1.
8．(2023·平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值
为1，则椭圆C的标准方程为____________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|
PF|的最小值为________．
答案 ＋＝1 1
解析 因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1，
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2，
因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1；
将M(3,3)代入椭圆方程，得＋＝>1，所以M点在椭圆外，
如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，
所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.
当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，
且最小值为|MF′|＝＝5，
所以|PM|－|PF|的最小值为1.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F(－c,0)，F(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，
1 2
c)，A到直线EF 的距离为b.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠FPF＝60°，△PFF 的面积为，求椭圆C的标准方程．
1 2 1 2
解 (1)由题意得，A(－a,0)，
直线EF 的方程为x＋y＝c，
2
因为A到直线EF 的距离为b，
2
即＝b，所以a＋c＝b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝＝，即a＝2c，①
因为∠FPF＝60°，△PFF 的面积为，
1 2 1 2
则|PF||PF|sin 60°＝，
1 2
所以|PF||PF|＝4，
1 2
由方程组
得a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．已知F，F 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠FPF＝60°.
1 2 1 2
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△FPF 的面积只与椭圆的短轴长有关．
1 2
(1)解 不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△FPF 中，由余弦定理得，
1 2
cos 60°＝
＝，即＝，
所以|PF|·|PF|＝4a2－2|PF|·|PF|－4c2，
1 2 1 2
所以3|PF|·|PF|＝4b2，
1 2
所以|PF|·|PF|＝.
1 2
又因为|PF|·|PF|≤2＝a2，
1 2
当且仅当|PF|＝|PF|＝a时，等号成立，
1 2
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，
所以e≥.
又因为00，∠FMF 为锐角，
1 2 1 2
则sin∠FMF ＝＝，
1 2
所以△MF F 的外接圆的直径为＝＝＝，D错误．
1 214. 甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个
椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的 A，B两点处，甲站在A处唱歌时，乙在与A处
有一定距离的B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两
个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点．现已知
椭圆C：＋＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cos∠AMB
＝－，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为________．
答案
解析 如图，过M作切线l的垂线交AB于N，过A，O，B分别作l垂线交l于A ，O ，
1 1
B，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠BMB＝∠AMA，
1 1 1
则∠AAM＝∠AMN＝∠BMN＝∠BBM，
1 1
因为cos∠AMB＝－，
故cos(π－∠AMB)＝cos 2∠AMA＝1－2sin2∠AMA＝，
1 1
所以sin∠AMA＝，
1
|OO |＝(|AA|＋|BB|)＝(|AM|sin∠AMA＋|BM|sin∠BMB)＝×20×＝.
1 1 1 1 1
