文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（天津卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，解得 ，
所以 ， ， .
故选：C.
2．已知 ，则 是 的（ ）条件．
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】记集合 , ,A真包含于B，所以 是 的充
分不必要条件．
故选：B.3．设 ， ， ，则三者的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由对数函数的性质可知， ，
由对数换底公式得： ，
由对数函数的性质可知 ，∴ ，
由以上判断得： ；
故选：A.
4．已知函数 ，则函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 的定义域为 ，所以 的定义域为 ，所以排除A，
C．
因为 ，所以 ，所以排除B．
故选：D5．函数 向左平移 个单位 得到 ，若 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
在 中，向左平移 得到 ，
所以 ，
因为 为偶函数，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故选：D.
6．已知正项等比数列 中， ， ， 成等差数列.若数列 中存在两项 ， ，使得 为它们
的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】设正项等比数列 公比为 ，由 ， ， 成等差数列，
有 ，即 ，得 ，由 ，解得 ，
若数列 中存在两项 ， ，使得 为它们的等比中项，
则 ，即 ，得 ，则 ，，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为3.
故选：B
7．已知甲､乙两组样本数据分别为 和 ，则下列结论正确的为（ ）
A．甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等
B．甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等
C．甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差
D．甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差
【答案】B
【解析】对于A选项：
若甲组样本数据的中位数为 ，
且5个数据由小到大排列为： 时；
那么乙组样本数据的大小排列为： ，
此时乙组样本数据的中位数为 ，
故用反例法证明了A选项错误.
对于B选项：
甲组样本数据的平均数 ……①
甲组样本数据的平均数 ……②
①②式相等，故B选项正确.
对于C选项：
设
分三种情况讨论：情况一：变化只改变了最大值，即 ……③
由不等式性质对上式变形有： ……④
④说明：甲组样本数据的极差 乙组样本数据的极差；
情况二：变化只改变了最小值，即 ……⑤
对⑤式利用不等式变形有： ……⑥
⑥说明：甲组样本数据的极差 乙组样本数据的极差；
情况三：变化改变了最大值与最小值，即 ……⑦； ……⑧
对⑦利用不等式变形有： ……⑨
⑧ ⑨有： ……⑩
⑩说明：甲组样本数据的极差 乙组样本数据的极差；
综上所述：只能得到甲组样本数据的极差 乙组样本数据的极差，故C错误.
对于D选项：
设甲组数据的 分别为 ；
那么乙组数据的 分别为 ；
此时有 ；故D选项错误.
综上所述应选B.
故选：B.
8．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 中， 平面
， ， ，以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 平面 ， 、 平面 ，
所以 ， ，
因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
如图所示，设 为球 与平面 的交线，
则 ， ，所以 ，
所以 所在的圆是以 为圆心， 为半径的圆，
因为 且 ，
所以 ，所以弧 的长为 ．
故选：B.
9．双曲线 ： 的离心率为 ，实轴长为4， 的两个焦点为 ， .设O为坐标原
点，若点P在C上，且 ，则 （ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
由于 ，所以 ，故 ，
由于 是 的中点，所以 ，
则 ，即 ，
即 ，①
而 ，两边平方并整理得， ，②
联立①②可得 .
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10． 为虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以复数 的虚部为 ，
故答案为： .
11． 的展开式中的常数项为 .
【答案】40
【解析】依题意， 的展开式的通项为 ，令 可得
.
故常数项为 .
故答案为：40
12．直线 与圆 相交于 两点，若点 为圆 上一点，且 为
等边三角形，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知， ,
所以 ,
则圆心 到直线 的距离为：
，
则 ，
故答案为： .13．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球，
A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 ， 同学掷一枚质地均匀的
骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球，如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个
球，则B同学摸到红球的概率为 ．
【答案】 /0.7
【解析】A同学从乙箱子中随机摸出3个球，全是红球的概率为 ，
故3个球颜色不全相同的概率为 ，
同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，
从甲箱子随机摸出1个球为红球的概率为 ，
如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球为红球的概率为 ，
则B同学摸到红球的概率为 .
故答案为： ； .
14．在平行四边形 中， ， 是 的中点， ，若设 ，则 可
用 ， 表示为 ；若 的面积为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，根据向量的运算法则，
可得 ，
设 ，因为 的面积为 ，可得 ，即 ，
又由，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： ； .
15．已知函数 ，则函数 存在 个极值点；若方程 有两
个不等实根，则 的取值范围是
【答案】 4；
【解析】对于函数 ．
当 时， ．
令 ，解得： 或 ；令 ，解得： ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ， ； ， ．
当 时， ．
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ； ， ， ．
作出 的图象如图所示：所以函数存在4个极值点.
解关于 的方程 有两个不相等的实数根,
即关于 的方程 有两个不相等的实数根，
只有一个实数根 ，所以关于 的方程 有一个非零的实数根，
即函数 与 有一个交点，横坐标 ．
结合图象可得： 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为：4； .
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 ；
(3)若 ，求 ．
【解析】（1）在 中，由正弦定理及 ，
得 ，
则 ，而 ，则 ，又 ，所以 .
（2）由 ，得 ，由（1）及余弦定理 ，
得 ，解得 ，
所以 .
（3）由 及正弦定理，得 ，则 ，
显然 ，即 ，则A为锐角， ，
于是 ， ，
所以 .
17．（15分）
如图所示，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，D是棱 的
中点， 是 的延长线与 的延长线的交点．
(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．【解析】（1）在三棱柱 中，连接 ，连接 ，
由 ， 是棱 的中点，得 是 的中点，
由 为平行四边形，得 为线段 中点，于是 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）在三棱柱 中， 平面 ， ，则直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
由 ，得 ，
则 ，显然平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .
（3）由（1）知，点 平面 ，由（2）知 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，所以点 到平面 的距离 .
18．（15分）
已知椭圆 的离心率 ，左、右焦点分别为 ， ，连接椭圆的四个顶点得到的
菱形的面积为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过 作不平行于坐标轴的直线 与椭圆交于 ， 两点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，
若 ，求直线 的方程.
【解析】（1）由题意，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 ，
所以 ，即 ，①
又因为离心率 ，②
联立①②，解得 ，所以椭圆的方程为 .
（2）
设 ， ， ， ，
由（1）可知， ， ，由题意可设直线 ，则 ， ；
联立 ，得 ．
则 ， ．
由直线 的方程： ，得 纵坐标 ；
由直线 的方程： ，得 的纵坐标 ．
若 ，即 ，
，
所以 ，整理得 ，
代入根与系数的关系，得 ，解得 ，
所以直线方程： 或 .
19．（15分）
已知 是等差数列， ， .
(1)求 的通项公式和 ；
(2)已知 为正整数，记集合 的元素个数为数列 .若 的前 项和为 ，设数列 满
足 ， ，求 的前 项的和 .
【解析】（1）由题意 ， （ 分别是首项，公差），解得 ，所以 的通项公式为 ，
所以 .
（2）由题意 且为正整数，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的前 项的和为
.
20．（16分）
已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当 时，证明： .
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，则 在 处的切线方程为： ，
化简得 ；
（2）由题意知 的定义域为 且 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
解得 ，即a的取值范围是 ；
（3）记 ，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，所以 即 在 上单调递增.
又 ，所以 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
所以 ， ，
所以当 ， ， 单调递减：
当 ， ， 单调递增，
所以
由（2）知， ，故 ，
所以 .
又 ，所以 ，故 ，即 ，原不等式得证
