文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（新高考Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已如集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意集合 ，
.
故选：A.
2．若 是方程 的一个虚数根，则 （ ）
A．0 B．-1 C． D．-1或
【答案】A
【解析】方程 化为： ，依题意， 或 ，
显然 ，又 ，即 ，
所以 .故选：A
3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分
为阳爻“
”和阴爻“
”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】所有“重卦”共有 种，恰有2个阴爻的情况有 种，
所以该重卦恰有2个阴爻的概率为 .
故选：B.
4．设 ， ， 则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ， 令 得 ，
所以函数 在区间 单调递增，因为 ，
所以 ，即 ， ，不等式两边同乘 得 ，即 .
故选：B.
5．已知 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】因为 为等比数列 的前 项和，
所以 成等比数列，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
，所以 ，
，所以 ，
，所以 ，
所以 .
故选：C.
6．抛物线 的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，
则 （ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【解析】抛物线 的焦点 ，可知 方程 ，与抛物线方程联立 ，
不妨设A在第一象限，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
7．已知点 ，点 是圆 上的动点，点 是圆 上的动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，依题意得点 ，在直线 上，
点 关于直线 对称的点 ，
点 在圆 关于直线 对称的圆 上，
设 ，则 ，解得 ，且半径为 ，
所以圆 ，
则 ，
设圆 的圆心为 ，
因为 ，
所以
，
当 五点共线，
在线段 上， 在线段 上时“ ”成立．
因此 的最大值为5．
故选：C
8．已知 ，若存在实数 （ ），当 （ ）时，满足
，则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出 的图象如图，
由题， ， ，
所以 ，
令 （ ），则当 时， ；当 时， .
，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 ，且 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．第一组样本数据 ，第二组样本数据 ， ，…， ，其中 （ ），则
（ ）A．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍
B．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍
C．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍
D．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍
【答案】CD
【解析】设样本数据 ，的样本平均数为 ，样本中位数为 ，样本标准差为 ，极差为
，
对于A,C选项：由 ，根据平均数和标准差的性质可知，
样本数据 ， ，…, 的样本平均数为 ，故A错误；
样本数据 ， ，…, 的样本方差为 ，所以第二组数据的样本标准差 ，故C正确；
对于B选项：根据中位数的概念可知，样本数据 ， ，…, 的中位数为 ，故B错误；
对于D选项：根据极差的概念可知, 样本数据 ， ，…， 的极差为
,故D正确.
故选：CD.
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．函数 在区间 内有6个零点
C． 的图象关于点 对称
D．将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 在 上的最大值为 ，则
的最大值为【答案】AD
【解析】
，
对于A： ，A正确；
对于B：当 时， ，则 分别取 时对于的 的值为函数 在
区间 上的零点，只有 个，B错误；
对于C： ，故点 不是 的对称中心，C错误；
对于D：由已知 ，
当 时， ，
因为 在 上的最大值为 ，
所以 ，解得 ，D正确.
故选：AD.
11．正方体 中， 为 的中点， 为正方体表面上一个动点，则（ ）
A．当 在线段 上运动时， 与 所成角的最大值是
B．当 在棱 上运动时，存在点 使
C．当 在面 上运动时，四面体 的体积为定值D．若 在上底面A B C D 上运动，且正方体棱长为 与 所成角为 ，则点 的轨迹长度是
1 1 1 1
【答案】BC
【解析】对于A，在正方体中，易知 ，
所以 与 所成角等价于 与 所成的角，
当 为 中点时， ，此时所成角最大，为 ，故A错误.
对于B，以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1， ，
因为 ， ，
所以 ，故B正确.
对于C，因为 在面 内，面 到平面 的距离等于 ，
而三角形 面积不变，故体积为定值，故C正确.
对于D，因为棱 垂直于上底面，且 与 所成角为 ，
所以在 中， ，由圆锥的构成可知 所在的轨迹是以 为圆心1为半径的弧 ，轨迹长度是 ，故D错误.
故选：BC.
12．已知定义域为 的函数 满足 为 的导函数，且
，则（ ）
A． 为奇函数 B． 在 处的切线斜率为7
C． D．对
【答案】ACD
【解析】由题意定义域为 的函数 满足
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
故 为奇函数，A正确；
由于 ，故 ，即 ，
则 为偶函数，由 可得 ，
由 ，令 得 ，
故 ，令 ，则 ，B错误；
又 ，
则 ，
令 ，则 ，由柯西方程知， ，故 ，
则 ，由于 ，故 ，
即 ，则 ，C正确；
对
,
故 ，D正确，
故选：ACD
第二部分（非选择题 共110分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ，
，
，
，
故答案为：
14． 展开式中，含 的项的系数为 ．【答案】
【解析】由二项式 展开式的通项 ，
则在 展开式中，含 项的系数为 ．
故答案为： .
15．若 为坐标原点，过点 的直线 与函数 的图象交于 两点，则
．
【答案】4
【解析】因为 ，
所以 是函数 图象的对称中心，则 为线段 的中点，
可得 ，则 ．
故答案为：4.
A B C D
16．如图，正方形 1 1 1 1与正方形 的中心重合，边长分别为3和1， ， ， ， 分别为 ，
， ， 的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿 ， ， ， 折起，使 ，
， ， 重合于P点，则四棱锥 的高为 ，若直四棱柱 内接于该
四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面 内，则该直四棱柱
体积的最大值为 ．【答案】
【解析】由题意可知，四棱锥 为正四棱锥， 边 上的高为 ，如下图所示：
取 的中点 ，连接 、 交于点 ，连接 、 、 ，
则 为 、 的中点，由正四棱锥的几何性质可知， 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
因为 平面 ，则 ，所以， ，
在 中，得 ,
作出四棱柱 内接于该四棱锥在平面 上的平面图如图所示：
设 , ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以直四棱柱 的体积 ,所以 ，
当 时 ，当 时 ，
所以函数 在 上单调递增， 上单调递减，
所以当 时体积最大，最大为 .
故答案为： ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
在 中，角 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【解析】（1）结合题意： 的面积为 ,
，
结合余弦定理可得： ，
所以 ，解得 ，
所以 .（2）因为 ，所以 ，易得 为锐角，
所以 ，所以 ，
由上问可知 , ,
所以 ，
所以 ,整理得 ,
即 ，解得 （舍去），或 .
18．（12分）
某平台为了解当代大学生对“网络公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题.
其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题
中自主选择其中4道题目回答即可.为了调查当代大学生对④、⑥、⑧、⑩四道选答题的答题情况，从同济
大学在④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、
⑧、⑩的题目数及人数统计如表：
选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道
人数 20 30 30 20
(1)学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下
表：（规定同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人）
“公序良俗” 非“公序良俗”
性别 总计
达人 达人
男性 30女性 7
总计 100
请完成上述2×2列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关.
(2)从这100名学生中任选2名，记 表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机
变量 的数学期望；
参考公式： ，其中 .
附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有 人，
由此补全 列联表如下：
“公序良俗” 非“公序良俗”
性别 总计
达人 达人
男性
女性
总计
，
所以“公序良俗”达人与性别有关.
（2） 的可能有 ，
，
，
，，
所以 的分布列如下：
所以数学期望为 .
19．（12分）
在平行六面体 中，底面 为正方形， ， ，侧面 底
面 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）因为底面 为正方形，
所以 ，又侧面 底面 ，
侧面 底面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ， ，连接 ，
则 为正三角形，取 中点 ，则 ，由 平面 及 平面 ，得 ，
又 ，所以 底面 ，
过点 作 交 于 ，
如图以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量 ，
所以
令 ，则 ，可得平面 的法向量 .
所以 ，
故直线 和平面 所成角的正弦值为 .
20．（12分）
已知 是等差数列， ， .
(1)求 的通项公式和 ；(2)已知 为正整数，记集合 的元素个数为数列 .若 的前 项和为 ，设数列 满
足 ， ，求 的前 项的和 .
【解析】（1）由题意 ， （ 分别是首项，公差），解得 ，
所以 的通项公式为 ，
所以 .
（2）由题意 且为正整数，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的前 项的和为
.
21．（12分）
已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)已知 ，证明： .
【解析】（1） ， ，令 ，可得 .
令 ，可得 ，令 ，可得 ，或
所以 在 上单调递增，在 和 上单调递减.
所以 的极大值为 的极小值为 .
（2）由 ，
可得 ，
所以 .
由对称性，不妨设 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 .
由（1）可知 在 上的最大值为 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为等号不能同时取到，所以 .
22．（12分）
已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ，圆 与 轴正半轴交于点 ，圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 上两点 满足直线 与 在 轴上的截距之比为 ，试判断直线 是否过定点，并
说明理由.
【解析】（1）由 ，得 .
又圆 与 轴正半轴交于点 ，圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 ，
所以点 在椭圆 上，所以 .
又 ，所以 ，故椭圆 的方程为 .
（2）由（1）可得， ，则直线 与直线 的斜率一定存在且不为0.
设直线 的方程为 ，由直线 与 在 轴上的截距之比为 ，可得直线 的方
程为 .
由 得 ，
所以 ，故 ，从而 ，故 .
由 得 ，
所以 ，故 ，从而 ，故 .若直线 过定点，则根据椭圆的对称性可知直线 所过定点落在 轴上，设定点为 .
则 ，
即 ，
所以 ，
化简可得 ，故 ，即直线 过定点 .
