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空间向量和立体几何高考复习专题八
知识点一 证明线面垂直,求线面角,面面垂直证线面垂直,线面角的向量求法
典例1、已知，如图四棱锥 中，底面ABCD为菱形， ， ，
平面ABCD，
E，M分别是BC，PD中点，点F是棱PC上的动点．
（1）证明： 平面PAD；
（2）请确定F点的位置，使得直线AF与平面PCD所成的角取最大值．
随堂练习：已知正方体 和平面 ，直线 平面 ，直线 平面 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）点 为线段 上的动点，求直线 与平面 所成角的最大值.典例2、如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ，
是底面的内接正三角形，且 ， 是线段 上一点．
（1）若 平面 ，求 ；
（2）当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值最大？
随堂练习：如图，在三棱柱 中， 底面 ，D为 的中点，点P为棱
上的动点（不包括端点）， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.典例3、在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，其中 ，
，
， 为棱 上的点，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的平面角的正切值为 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，若 为线段 上一点，求 与面 所成角为 ，求
的最大值．随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ，
， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，当四棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角
的正弦值.
知识点一 锥体体积的有关计算,证明面面垂直
典例4、边长为1的正方形 中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将 ，
分别沿AN，
AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥 .
（1）证明：平面 平面 ； （2）求四棱锥 的体积.随堂练习：如图，在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ，
， ， ．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC； （2）若 ，求三棱锥 的体积．典例5、如图，在三棱柱 中， ， ， ，点D，
E，F分别为线段BC， ， 的中点，且 .
（1）证明：平面 平面ABC； （2）若 ，求三棱锥 的体积.
随堂练习：如图，三棱柱 中，侧面 为矩形， 是边长为2的菱形，
， ．
（1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，求三棱柱 的
体积．典例6、如图，已知在四棱锥 中， ， ，
， ，
E，F分别为棱PB，PA的中点．
（1）求证：平面 平面EFDC；
（2）若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥 的体积．
随堂练习：如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，
，
， 是 的中点.（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 在棱 上，满足 且三棱锥 的体积为 ，求
的值.
空间向量和立体几何高考复习专题八答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在正方形 中有 ， ， ，
，又因为 ，所以 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）连接MN,由题意可得 ， ，
，由 ，所以 为直角三角形，即，
设点 到平面 的距离为 ，由 得，
，即 ，得 ，
即四棱锥 的体积为
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接 ，因为 ，所以 ,
又因为 ， ，所以 ，即 ,
又因为 底面ABCD， 底面ABCD，所以 BC，
又因为 平面PCD， ，
所以 平面PCD,又因为 平面PBC， 所以平面PCD⊥平面PBC.
（2）在直角三角形 中，在直角三角形 中，
所以
，
所以 ， 所以 .
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）如图，取AC的中点O，连接OD， ，因为 ， ，
所以 为等边三角形，所以 .
又因为 ，点O，D分别为线段AC，BC的中点，所以 ，所以
，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
∵ 平面 ，则 ，
又因为 ， 平面ABC，所以 平面ABC，
又因为 平面 ，所以平面 平面ABC.
（2）如图，过B作 于点G，由（1）得平面 平面ABC，
且平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
在直角ABC中， ， ， ，所以 ，由，
又因为点D为线段BC的中点，所以点D到平面 的距离h为点B到平面
的距离BG的一半，即 .
因为点E，F分别为线段 ， 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 的面积为 ，
，
所以三棱锥 的体积为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）因为侧面 是矩形，则 ，又因为 ， ， ，
即有 ，则 ，又 ， 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ， 所以平面 平面 ．
（2）由（1）知， 平面 ，而 平面 ，则 ，
因为 ，于是得 ，而 是边长为2的菱形，因此 是正三角形， ，
所以三棱柱 的体积 .
典例3、答案：（1）见解析； （2）
解：（1）因为在平面 中， ，故 ，
因为 ，故 ，而 ，
， 平面 ，故 平面 .
因为 平面 ，故 ， 因为 ， ，故 ，
因为 ， 平面 ，故 平面 .
因为 分别为棱 的中点，故 ，
而 ，故 ，
故 四点共面，而 平面 ， 故平面 平面 .
（2）取 的中点为 ，连接 ， 由（1）可得 ， ，
故 ，而 平面 ，
故 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角， 故 ，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，故 为等腰直角三角形，而 ，故 ，故 ，
故直角梯形 的面积 .
又 平面 ，故平面 平面 ，
而 为等边三角形，故 ，且 .
因为 平面 ，平面 平面 ， 故 平面 ，
故四棱锥 的体积为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析. （2） .
解：（1）由题意底面 ， , ， 则底面
为直角梯形，
连接 ，则 ,故四边形 为矩形，
则 ， 所以四边形 为正方形，所以 ，
因为侧面 为等边三角形，O是 的中点， 所以 ， 平面
，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ， 因为 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为底面 中， , ，
侧面 为等边三角形，O是 的中点，
所以 , , , ，
因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，
所以 ，
因为 ， 所以 ,所以 ,
设点 到平面 的距离分别为 ，
因为 ，所以 ,即
，故 ，
因为三棱锥 的体积为 ，
所以 所以 ，解得 ，
所以 ，即 因为 ，所以 .
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）F为PC的中点
解：（1）连接AC，∵底面ABCD为菱形， ， ∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴ ， 又 ， ∴ ，∵ 平面ABCD， 平面ABCD，∴ ，
∵ ，PA、 平面PAD， ∴ 平面PAD，
（2）由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z
轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ．
设 ， ．
设平面PCD的法向量为 ， 则
令 ，则 ， ， ∴ ．
设直线AF与平面PCD所成的角为 ，
则
当 时， 最大，此时F为PC的中点．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最大值为 .
A B C D A B C D
解:（1）证明：连接 ，则 ，因为 平面 1 1 1 1， 平面 1 1 1 1，所以 ；
又因为 ，所以 平面 ； 因为 平面 ，所以
；
同理 ；因为 ，所以 平面 ；
因为 平面 ，过直线 作平面 与平面 相交于直线 ，则 ；
所以 平面 ；又 平面 ， 所以平面 平面 ；
（2）设正方体的棱长为 ，以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴正
方向
建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以
， .
设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，取 ，则
；
设 ，则 ，因为 ， 所以
；
设直线 与平面 所成的角为 ， 则，
所以当 时， 取到最大值为 ，此时 的最大值为 .
典例5、答案：（1） （2）当 时，直线 与平面 所成角的正弦值
最大.
解：（1） ，所以 ，解得 ，
由于三角形 是等边三角形，圆 是其外接圆， 是圆 的直径，
所以 垂直平分 ， ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，则 ，
由于 平面 ，所以 ， 由于 ，
所以三角形 是等腰直角三角形，所以 , 所以
.
（2）由（1）得 ，设 ， ，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设 ， 则 ，设平面 的法向量为 ， 则 ，故可设
，
设直线 与平面 所成角为 ， 则
，
由于 ，当且仅当 时等号成立，所以
，
即当 时，直线 与平面 所成角的正弦值最大.
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2） .
解:（1）因为 ， ，所以 . 因为 底面 ， 平面
，所以 .
又因为 ，所以 .
因为 ， ， ， ， 平面 ， 所以平面 .
（2）如图，取 的中点E，连接 . 由 ， 可得 平面 ，
又由 ，可得 ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
由 ， ，可得 ， 所以 ， ， ，
， .
设点P的坐标为 ，平面 的法向量为 .
由 ， ，有 ，
取 ，则 ， ，可得平面 的法向量 .
又由 ，设直线 与平面 所成的角为 .
由 ， ， ， 有
.
令 ， ， 有
， 故当 时， ， 的最大值为 ，故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
典例6、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）因为 平面 ， 面 ，所以 ， ，
因为 ，所以 两两垂直，
如图以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
即 ， ，因为 ，所以 平面
（2）由（1）知： 平面 ，取平面 的法向量 ，
因为 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ，则 ， ，所以 ，
设二面角 的平面角为 ，且 为锐角， 则 ，所以
所以 ，
整理可得： ，解得： ，所以 的长为 .（3）由（2）知 的长为 ，即 ，
因为 为线段 上一点，所以 ，设 ，
所以 ，
平面 的一个法向量 ，
则
，
当 时， 最小为 ，
所以 最大值为 ， 综上所述： 的最大值为 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2） .
解: （1）取 ， 中点 ， ，连接 ， ， .由 ， 得 ， ， 又 ， 所以 平面
.
由 ， 知四边形 是平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ， 所以 平面 .
（2）由 ， 知四边形 是以 的等腰梯形.
连接 ，则 ， 又 平面 ，所以 ，
所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 ，
于是点 在底面 内的射影在 上.
（在平面 中， ，点 在以AC为直径的圆上运动）
取 中点 ，则 ， 于是当 底面 时，四棱锥 的体
积最大.
如图，以 为原点，分别以射线 ， ， 为 ， ， 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系 .由题意得 ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量 ， 由 ，得 ，
取 ，则 .
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
