文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
8.4 抛物线
五年高考
高考新风向
(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+
(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 ( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=√15
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距
离为5,则|MF|= ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2,则p= (
)
A.1 B.2 C.2√2 D.4
3.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离
为12,到y轴的距离为9,则p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
4.(2022全国乙,文6,理5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|
AF|=|BF|,则|AB|= ( )
A.2 B.2√2
C.3 D.3√2
5.(2023全国乙,文13,理13,5分,易)已知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线
的距离为 .
6.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ文,7,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两
点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( )
A.(1 ) B.(1 ) C.(1,0) D.(2,0)
,0 ,0
4 2
2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一
点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 ( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
3.(多选)(2023 新课标Ⅱ,10,5 分,中)设 O 为坐标原点,直线 y=-√3(x-1)过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=2
8
B.|MN|=
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,
过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的
直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为2√6B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
6.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两
点,则|AB|= .
7.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C
上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .三年模拟
练速度
1.(2024山东潍坊一模,2)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离
为( )
5 3
A.1 B. C. D.2
4 2
2.(2024安徽黄山一模,2)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1 ),则p的值为 ( )
,0
2
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
3.(2024 浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中联考,4)抛物线
y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为 ( )
5 3
A. B.2 C. D.1
2 2
4.(2024 T8联盟联考一,3)若圆C:x2+y2-4x+3=0与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切,则抛物线
的焦点坐标为 ( )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
5.(2024湖北武汉二调,5)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,设
垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= ( )
2 √3 3 √3
A. B. C. D.
3 3 4 2
6.(2024江西南昌一模,5)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上
一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为 ( )
A.√3x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.x-y-1=0 D.√2x-y-2=0
7.(2024广东五粤名校第一次联考,3)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B
两点,则|AF|+4|BF|的最小值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.(2024河北唐山一模,6)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于A,B两
点,与E的准线交于C、D两点,若|CD|=2√21,则|AB|= ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
9.(2024浙江金丽衢十二校联考,6)已知抛物线C :x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C 交
1 2
C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 C,D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C 的方程为
1 1 2( )
A.x2+(y-1)2=12 B.x2+(y-1)2=16
C.x2+( 1) 2=3 D.x2+( 1) 2=4
y− y−
2 2
10.(2024安徽阜阳一模,13)抛物线C
1
:y2=2px(p>0)绕其顶点逆时针旋转θ(
0<θ<
π) 之后,得
2
到抛物线C ,其准线方程为√3x+y+4=0,则抛物线C 的焦点坐标为 .
2 1
练思维
1.(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查,8)已知抛物线 C:y2=4x,过其焦点F的直线交C于
A,B两点,M为AB中点,过M作准线的垂线,垂足为N,若|AF|=4,则|NF|=( )
4 4√3 8 8√3
A. B. C. D.
3 3 3 3
2.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在 E上,P
为AB的中点,且⃗CF=2⃗FP,则|FA|+|FB|的最大值为 ( )
A.4 B.5 C.3√3 D.4√2
3.(多选)(2024山东临沂一模,11)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为
W上一点. ( )
A.存在点P,使△PFC为等边三角形
B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1
C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切
D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-12√3
4.(多选)(2024湖南长沙雅礼中学月考七,10)抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的
三角形称为阿基米德三角形,该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.
设A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点,以A(x ,y ),B(x ,y )为切点的切线交于 P点.若弦
1 1 2 2
AB过点F(0,1),则下列说法正确的有 ( )
A.x x =-4
1 2
B.若x =2,则A点处的切线方程为x-y-1=0
1
C.存在点P,使得⃗PA·⃗PB>0
D.△PAB面积的最小值为4
5.(多选)(2024浙江杭州二模,11)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于A,B两点.抛物线
C在点A处的切线与直线x=-2交于点N,作NM⊥AP交AB于点M,则 ( )
A.直线NB与抛物线C有2个公共点B.直线MN恒过定点
C.点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=1(x≠0)
|MN|3
D. 的最小值为8√2
|AB|
6.(多选)(2024东北三省三校一模,10)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为
F,点P在抛物线C上,点Q在抛物线C的准线上,则以下命题正确的是 ( )
A.|PQ|+|PF|的最小值是2
B.|PQ|≥|PF|
C.当点P的纵坐标为4时,存在点Q,使得⃗QF=3⃗FP
D.若△PQF是等边三角形,则点P的横坐标是3
7.(多选)(2024福建毕业班适应性练习,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线交x轴于点
D,过F的直线交C于A,B两点,AF的中点M在y轴上的射影为点N,|MN|=|NF|,则 ( )
A.|AF|=3|BF|
B.∠ADB是锐角
C.△BDN是锐角三角形
D.四边形DFMN是菱形
8.(2024辽宁大连三校联考,13)已知抛物线C :y2=2x,C :y2=4x的焦点分别为F ,F ,点P,Q分
1 2 1 2
别在C ,C 上,且线段PQ平行于x轴.若△F PQ是等腰三角形,则|PQ|= .
1 2 2
9.(2024湖南衡阳第二次联考,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物
线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|= .
10.(2024浙江金华十校模拟,18)设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=-1是抛物线C的准线,且
与x轴交于点B,过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,A(1,n)是不在直线l上的
一点,直线AM,AN分别与准线交于P,Q两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明:|BP|=|BQ|;
(3)记△AMN,△APQ的面积分别为S ,S ,若S =2S ,求直线l的方程.
1 2 1 211.(2024湖北武汉四调,18)已知抛物线E:y=x2,过点T(1,2)的直线与抛物线E交于A,B两点
设抛物线E在点A,B处的切线分别为l 和l ,已知l 与x轴交于点M,l 与x轴交于点N,设l
1 2 1 2 1
与l 的交点为P.
2
(1)证明:点P在定直线上;
(2)若△PMN面积为√2,求点P的坐标;
(3)若P,M,N,T四点共圆,求点P的坐标.
练风向
1.(创新知识交汇)(多选)(2024河北联考,10)双曲抛物线又称马鞍面,因其形似马具中的马
鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中,将一条
xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条 yOz平面内开口向下的抛物线滑动(两条抛物线
的顶点重合)所形成的就是马鞍面,其坐标原点被称为马鞍面的鞍点,其标准方程为x2-y2
a2 b2
=2z(a>0,b>0),则下列说法正确的是 ( )A.用平行于xOy平面的面截马鞍面,所得轨迹为双曲线
B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
2.(创新考法)(2024浙江9+1联盟3月联考,13)应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计
制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是,镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某
天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.
其中,一个反射镜PO Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO N弧所在的曲线为双曲
1 2
线一个分支.已知 F ,F 是双曲线的两个焦点,其中 F 同时又是抛物线的焦点,且
1 2 2
1
∠NF F =45°,tan∠NF F = ,△NF F 的面积为10,|O F |=8,则抛物线方程为 .
2 1 1 2 1 2 1 2
4
8.4 抛物线
五年高考
高考新风向(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+
(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 ( ABD )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=√15
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距
离为5,则|MF|= ( D )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2,则p= (
B )
A.1 B.2 C.2√2 D.4
3.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离
为12,到y轴的距离为9,则p= ( C )
A.2 B.3 C.6 D.9
4.(2022全国乙,文6,理5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|
AF|=|BF|,则|AB|= ( B )
A.2 B.2√2
C.3 D.3√2
5.(2023全国乙,文13,理13,5分,易)已知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线
9
的距离为 .
4
6.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.
解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.
设点P(4 ,4x ),Q(x ,y ),
x2 0 1 1
0
则 =(x -4 ,y -4x ),
⃗PQ 1 x2 1 0
0∵F(1,0),∴⃗QF=(1-x ,-y ),
1 1
∵⃗PQ=9⃗QF,
1
{x = (9+4x2 ),
∴{x −4x2=9(1−x ),整理得 1 10 0
1 0 1
y −4x =9(−y ), 4
1 0 1 y = x .
1 10 0
第二步:用参数x 表示k ,利用基本不等式求其最值.
0 OQ
∴k OQ =y 1 = 4x 0 ,
x 9+4x2
1 0
4
4 1
当k 最大时,x >0,∴k = 9 ≤ = ,
OQ 0 OQ +4x 2√36 3
x 0
0
9 3 1
当且仅当4x = 时取“=”,此时x = ,点P的坐标为(9,6),因此k 的最大值为 .
0 x 0 2 OQ 3
0
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ文,7,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两
点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( B )
A.(1 ) B.(1 ) C.(1,0) D.(2,0)
,0 ,0
4 2
2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一
点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 ( B )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
3.(多选)(2023 新课标Ⅱ,10,5 分,中)设 O 为坐标原点,直线 y=-√3(x-1)过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( AC )
A.p=2
8
B.|MN|=
3C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,
过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( BCD )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的
直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( ACD )
A.直线AB的斜率为2√6
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
6.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两
16
点,则|AB|= .
3
7.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C
上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 x =
3
- .
2三年模拟
练速度
1.(2024山东潍坊一模,2)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离
为
( B )
5 3
A.1 B. C. D.2
4 2
2.(2024安徽黄山一模,2)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1 ),则p的值为 ( C )
,0
2
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
3.(2024 浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中联考,4)抛物线
y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为 ( A )
5 3
A. B.2 C. D.1
2 2
4.(2024 T8联盟联考一,3)若圆C:x2+y2-4x+3=0与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切,则抛物线
的焦点坐标为 ( C )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
5.(2024湖北武汉二调,5)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,设
垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= ( A )
2 √3 3 √3
A. B. C. D.
3 3 4 2
6.(2024江西南昌一模,5)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上
一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为 ( A )
A.√3x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.x-y-1=0 D.√2x-y-2=0
7.(2024广东五粤名校第一次联考,3)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B
两点,则|AF|+4|BF|的最小值为 ( D )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.(2024河北唐山一模,6)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于A,B两
点,与E的准线交于C、D两点,若|CD|=2√21,则|AB|= ( D )
A.3 B.4 C.6 D.8
9.(2024浙江金丽衢十二校联考,6)已知抛物线C :x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C 交
1 2C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 C,D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C 的方程为
1 1 2
( D )
A.x2+(y-1)2=12 B.x2+(y-1)2=16
C.x2+( 1) 2=3 D.x2+( 1) 2=4
y− y−
2 2
10.(2024安徽阜阳一模,13)抛物线C
1
:y2=2px(p>0)绕其顶点逆时针旋转θ(
0<θ<
π) 之后,得
2
到抛物线C ,其准线方程为√3x+y+4=0,则抛物线C 的焦点坐标为 (2,0 ) .
2 1
练思维
1.(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查,8)已知抛物线 C:y2=4x,过其焦点F的直线交C于
A,B两点,M为AB中点,过M作准线的垂线,垂足为N,若|AF|=4,则|NF|=( B )
4 4√3 8 8√3
A. B. C. D.
3 3 3 3
2.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在 E上,P
为AB的中点,且⃗CF=2⃗FP,则|FA|+|FB|的最大值为 ( B )
A.4 B.5 C.3√3 D.4√2
3.(多选)(2024山东临沂一模,11)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为
W上一点. ( AC )
A.存在点P,使△PFC为等边三角形
B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1
C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切
D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-12√3
4.(多选)(2024湖南长沙雅礼中学月考七,10)抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的
三角形称为阿基米德三角形,该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.
设A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点,以A(x ,y ),B(x ,y )为切点的切线交于 P点.若弦
1 1 2 2
AB过点F(0,1),则下列说法正确的有 ( ABD )
A.x x =-4
1 2
B.若x =2,则A点处的切线方程为x-y-1=0
1
C.存在点P,使得⃗PA·⃗PB>0
D.△PAB面积的最小值为4
5.(多选)(2024浙江杭州二模,11)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于A,B两点.抛物线
C在点A处的切线与直线x=-2交于点N,作NM⊥AP交AB于点M,则 ( BC )A.直线NB与抛物线C有2个公共点
B.直线MN恒过定点
C.点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=1(x≠0)
|MN|3
D. 的最小值为8√2
|AB|
6.(多选)(2024东北三省三校一模,10)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为
F,点P在抛物线C上,点Q在抛物线C的准线上,则以下命题正确的是 ( ABD )
A.|PQ|+|PF|的最小值是2
B.|PQ|≥|PF|
C.当点P的纵坐标为4时,存在点Q,使得⃗QF=3⃗FP
D.若△PQF是等边三角形,则点P的横坐标是3
7.(多选)(2024福建毕业班适应性练习,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线交x轴于点
D,过F的直线交C于A,B两点,AF的中点M在y轴上的射影为点N,|MN|=|NF|,则 (
ABD )
A.|AF|=3|BF|
B.∠ADB是锐角
C.△BDN是锐角三角形
D.四边形DFMN是菱形
8.(2024辽宁大连三校联考,13)已知抛物线C :y2=2x,C :y2=4x的焦点分别为F ,F ,点P,Q分
1 2 1 2
2
别在C ,C 上,且线段PQ平行于x轴.若△F PQ是等腰三角形,则|PQ|= .
1 2 2
3
9.(2024湖南衡阳第二次联考,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物
4
线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|= .
3
10.(2024浙江金华十校模拟,18)设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=-1是抛物线C的准线,且
与x轴交于点B,过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,A(1,n)是不在直线l上的
一点,直线AM,AN分别与准线交于P,Q两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明:|BP|=|BQ|;
(3)记△AMN,△APQ的面积分别为S ,S ,若S =2S ,求直线l的方程.
1 2 1 2
p
解析 (1)由题意知- =-1,则p=2,
2
故抛物线C的方程为y2=4x. (3分)(2)证明:设l:x=ty-1,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
联立{ y2=4x, 消去x得y2-4ty+4=0,
x=ty−1,
则Δ=16(t2-1)>0,且{y + y =4t, (5分)
1 2
y y =4.
1 2
AM:y-n= y 1 −n (x-1),令x=-1,得P( −1,n− 2(y 1 −n)),
x −1 x −1
1 1
同理可得Q(
−1,n−
2(y
2
−n)), (7分)
x −1
2
则|BP|=|y P |,|BQ|=|y Q |,因为y P +y Q =n-
2(y
1
−n)+n- 2(y
2
−n)=2n- [2(y
1
−n)
+
2(y
2
−n)]
x −1 x −1 t y −2 t y −2
1 2 1 2
=2n-2(y −n)(t y −2)+2(y −n)(t y −2)
1 2 2 1
(t y −2)·(t y −2)
1 2
=2n-
4t y
1
y
2
−(2nt+4)(y
1
+ y
2
)+8n =2n-8n−8nt2
=0,
t2y y −2t(y + y )+4 4−4t2
1 2 1 2
所以|y |=|y |,故|BP|=BQ|. (10分)
P Q
(3)解法一:设点A到直线PQ,MN的距离分别为d ,d ,易知d =2.
1 2 1
由(2)可得,d =|2−nt|,|MN|= =4 ,则 S =1|PQ|d =|
2 √(t2+1)[(y + y ) 2−4 y y ] √(t2+1)(t2−1) 2 1
√t2+1 1 2 1 2 2
PQ|=|2(y 1 −n) − 2(y 2 −n)|= 2|nt−2| , (13分)
t y −2 t y −2 √t2−1
1 2
S =1|MN|d =1×4 ·|2−nt|=2 ·|nt-2|, (15分)
1 2 √(t2+1)(t2−1) √t2−1
2 2 √t2+1
由S =2S 得t2-1=2,解得t=±√3,
1 2
所以直线l的方程为x±√3y+1=0.(17分)
1
|AM|·|AN|·sin∠MAN
S 2 |AM|·|AN| |(x −1)(x −1)|
解法二: 1= = = 1 2 , (14分)
S 1 |AP|·|AQ| 4
2 |AP|·|AQ|·sin∠PAQ
2所以S =|(t y −2)(t y −2)|=|t2y y −2t(y + y )+4|=t2-1. (15分)
1 1 2 1 2 1 2
S 4 4
2
由S =2S 得t2-1=2,解得t=±√3,
1 2
所以直线l的方程为x±√3y+1=0.(17分)
11.(2024湖北武汉四调,18)已知抛物线E:y=x2,过点T(1,2)的直线与抛物线E交于A,B两点
设抛物线E在点A,B处的切线分别为l 和l ,已知l 与x轴交于点M,l 与x轴交于点N,设l
1 2 1 2 1
与l 的交点为P.
2
(1)证明:点P在定直线上;
(2)若△PMN面积为√2,求点P的坐标;
(3)若P,M,N,T四点共圆,求点P的坐标.
解析 (1)证明:设A(x ,y ),B(x ,y ),P(x ,y ).
1 1 2 2 P P
由y=x2,得y'=2x,所以l 的方程为y=2x (x-x )+y ,整理得y=2x x- .同理,l 的方程为y=2x x-
1 1 1 1 1 x2 2 2 x2
1 2
.
{y=2x x−x2, x +x
联立得 1 1 解得x = 1 2,y =x x .
P P 1 2
y=2x x−x2, 2
2 2
设直线AB的方程为y=k(x-1)+2,联立得{y=k(x−1)+2,
y=x2,
消y得x2-kx+k-2=0,
k
故x +x =k,x x =k-2,所以x = ,y =k-2,有y =2x -2.
1 2 1 2 P P P P
2
所以点P在定直线y=2x-2上. (6分)
(2)在l ,l 的方程中,令y=0,得M(x ),N(x ),
1 2 1,0 2,0
2 2
1 1
所以△PMN的面积S= |MN|·|y |= |(x -x )x x |=√2.
P 1 2 1 2
2 4
故(x -x )2(x x )2=32,即[(x +x )2-4x x ](x x )2=32,则(k2-4k+8)(k2-4k+4)=32.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即[(k-2)2+8][(k-2)2-4]=0,解得k=0或k=4.
所以点P的坐标为(0,-2)或(2,2). (11分)
(3)抛物线的焦点坐标为 F( 1),由 M(x )得直线 MF 的斜率 k =- 1 =- 1 ,所以
0, 1,0 MF
4 2 2x k
1 MPMF⊥MP,
同理NF⊥NP,所以PF是△PMN外接圆的直径.
若点T也在该圆上,则TF⊥TP.
7 4
由k = ,得直线TP的方程为y=- (x-1)+2.
TF
4 7
又点P在定直线y=2x-2上.
联立两直线方程,解得点P的坐标为 (16 14). (17分)
,
9 9
练风向
1.(创新知识交汇)(多选)(2024河北联考,10)双曲抛物线又称马鞍面,因其形似马具中的马
鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中,将一条
xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条 yOz平面内开口向下的抛物线滑动(两条抛物线
的顶点重合)所形成的就是马鞍面,其坐标原点被称为马鞍面的鞍点,其标准方程为x2-y2
a2 b2
=2z(a>0,b>0),则下列说法正确的是 ( AB )
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面,所得轨迹为双曲线
B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
2.(创新考法)(2024浙江9+1联盟3月联考,13)应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计
制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是,镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某
天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.
其中,一个反射镜PO Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO N弧所在的曲线为双曲
1 2
线一个分支.已知 F ,F 是双曲线的两个焦点,其中 F 同时又是抛物线的焦点,且
1 2 2
1
∠NF F =45°,tan∠NF F = ,△NF F 的面积为10,|O F |=8,则抛物线方程为 y 2 =32 ( x +3 )
2 1 1 2 1 2 1 2
4
.
