必修模块第五章曲线运动-高中物理公式、定理、定律图表（必修选修）_4.2025物理总复习_2023年新高复习资料_专项复习_高中物理公式、定理、定律图表（必修+选修）

GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO 高中物理公式、 定理、 定律图表 第五章 曲 线 运 动 知识网络 一个条件： 合外力的方向与初速度的方向不共线 曲线运动 一个方法： 运动的合成和分解 两个模型： （1） 平抛运动 （2） 圆周运动 概述： 1. 本章在力的合成与分解的基础上继续学习运动的合成与分解， 并应用运动的合成 与分解这种常用方法研究两种典型的运动： 平抛运动、 圆周运动. 2. 本章重点是理解两个重要运动模型： 平抛运动及匀速圆周运动的特点与规律， 并能 解决实际应用问题. 难点是运动的合成与分解方法的理解与具体应用. 特点是概念、 公式比 较多， 要在理解的基础上加以记忆. 3. 本章从概念上讲是前面直线运动中所学习的概念的扩展和加深， 从规律上讲是将牛 顿运动定律运用到其他运动形式———曲线运动中. 同时， 本章所用到的研究物理问题思想、 方法， 在以后的学习中也有重要的指导作用. 30第五章 曲 线 运 动 一、 曲 线 运 动 一、 知识图解 定义： 运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动. 曲线运动 速度方向： 质点在某一点的瞬时速度方向， 沿曲线在这一点的切线方向. 条件： 物体所受合外力 （加速度） 方向和速度方向不在同一直线上. 二、 重要知识剖析 曲线运动特点： （1） 速度的方向时刻发生改变， 曲线运动一定是变速运动， 即曲线运动一定 具有加速度， 但加速度不一定改变. 变速运动不一定是曲线运动. （2） 合外力的方向一定指向轨迹 弯曲的凹侧. 三、 学习方法引导 题型 对曲线运动的条件的理解 例题 关于力和运动的关系， 下列说法正确的是 （ ） A. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动 B. 物体在变力作用下不可能做直线运动 C. 物体在变力作用下有可能做曲线运动 D. 物体的受力方向与它的速度方向不在同一条直线上时， 物体有 可能做直线运动 解析：物体做直线运动还是曲线运动， 不是取决于物体受到的是恒 名师经验谈：本题考 查了曲线运动的条件， 力还是变力， 而是取决于物体受到的合外力的方向与速度的方向是 不要被一些其他说法 否在同一条直线上， 若两者在同一条直线上则做直线运动， 若两者 所干扰， 应以物体速 不在同一条直线上则做曲线运动， 不能把力的大小是变化的还是恒 度方向和所受合外力 定的作为判断物体是做直线运动还是曲线运动的依据. 的方向是否在同一条 直线上为判断的依据. 答案 C 31GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO 高中物理公式、 定理、 定律图表 二、 质点在平面内的运动 一、 知识图解 分运动： 是指研究对象同时参与的几个运动， 或实际运动同时产生的几 个运动效果. 概念 合运动： 通常是指研究对象实际发生的运动 （一般取大地为参考系） . 质 点 运动的合成： 由已知的分运动来求合运动， 叫做运动的合成. 在 平 运动的分解： 已知合运动求跟它等效的分运动， 叫运动的分解. 面 内 的 运算法则： 遵循平行四边形定则. 适用一切矢量运算. 运 动 实质： 即位移、 速度、 加速度的合成与分解. 二、 重要知识剖析 1. 合运动、 分运动的判定 在具体问题中， 物体实际所做的运动就是合运动， 其余具有某一方面效果的运动则为分运动. 2. 合运动和分运动的关系 独立性 一个物体同时参与几个不同的分运动， 几个分运动是互相独立的、 互不影响的. 等时性 合运动与各分运动是在同一时间内进行的， 它们之间不存在先后的问题. 等效性 各分运动合成的效果和合运动效果相同， 即分运动与合运动可以 “等效代替” . 同体性 合运动和它的分运动必须对应同一物体的运动. 3. 两个直线运动的合运动的性质和轨迹的判断 判断方法 a. 合运动的性质是由合加速度决定的. b. 轨迹是直是曲是由合加速度与合初速度 若合加速度不变且不为零， 则合运动为匀 是否共线来判断的. 若合加速度与合初速度在同 变速运动， 若合加速度变化， 则为非匀变 一条直线上， 则合运动为直线运动， 否则为曲 速运动. 线运动. 4. 两种基本运动模型 （1） 小船渡河 （见例题1） （2） 绳子末端速度的分解 首先， 要明确物体的合运动即为实际运动， 实际运动的方向就是合运动的方向. 32第五章 曲 线 运 动 其次， 将合运动的方向分别沿绳方向和与绳垂直方向正交分解. 最后， 明确沿绳方向的速度是相等的. 确定合速度与分速度的大小关系. 三、 学习方法引导 题型一 小船渡河 例题1 船以v =4m/s的速度垂直河岸渡河， 水流的速度v =5m/s， 船 水 若河宽d=100 m， 假设河岸为直线， 试分析和计算： （1） 船能否垂直到达对岸？ （2） 船至少需要多长时间才能到达对岸？ （3） 登陆点离出发点的最小距离s 是多少？ min 解析： （1） 因为v 水 >v 船 ， 所以船不能垂直到达对岸. v 船 v d （2） 设船至少需t 时间到达对岸， θ 要点提示: min v t = d =25 s 如图甲所示 图甲 水 a. 渡河时间最短的 min v 船 v 问题： 只要使船头垂直 （3） 设登陆点离出发点的最小距离是s min ： d v 船 于河岸航行即可. 渡河 s min =d· v v 船 水=125 m 如图乙所示 图乙 v 水 最短时间为t min = v d 船 . 如 图甲所示. 题型二 运动的合成与分解 b. 渡河路程最短问 例题2 玻璃板生产线上， 宽9 m的成型玻璃板以 2 m/s 的速度匀 题： ①当 v >v 时， 船 水 速向前行进， 在切割工序处， 金刚钻割刀的走刀速度为 10 m/s. 为 最短路程 s =d; ② 当 min 了使割下的玻璃板都成符合规定尺寸的矩形， 金刚钻割刀的轨道应 v 水 >v 船 时最短路程s min = d 如何控制？ 切割1次的时间为多长？ v . s >d， 如图乙所 水v min 船 解析：金刚钻割刀的走刀速度为v=10 m/s， 为了使割下的玻璃板都 示. 成矩形， 在玻璃板上看割刀的速度 v 应垂直于玻璃板边缘， 如下图 1 所示， 设玻璃板以速度 v 向右移动， 割刀的实际速度 v 为 v 和 v 2 1 2 的合速度. v 2 要点提示: θ 设v的方向与v 2 的方向夹角为θ， 则 L v 1 v 2m/s 易错点是错误地认 1 vcosθ=v. θ=arccos 为金刚钻的实际速度是 2 5 垂直玻璃板边缘的. 而 故金刚钻割刀的轨道应取图中v的方向， 且使θ=arccos 1 应明确割刀的速度为合 5 速度， 分解为沿玻璃板 L 9 运动方向和垂直于玻璃 切割一次所用时间t= = =0.92 s v 10sinθ 板运动方向的两个分速 1 答案： 轨道方向与玻璃板运动方向成θ=arccos 1 ， 时间为0.92秒. 度， 当 v 2 =2m/s时， 割 5 下的玻璃板才是矩形. 33GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO 高中物理公式、 定理、 定律图表 三、 抛体运动的规律 一、 知识图解 定义： 将物体用一定的初速度沿水平方向抛出， 不考虑空气阻力， 物 体只在重力作用下的运动. 条件： 物体有水平初速度v 和只受重力G的作用， 是物体做平抛运 平抛运动 0 动必须同时具备的两个条件. 特点： （1） 水平方向以v 为初速度的匀速直线运动； （2） 竖直方 抛 0 体 向做自由落体运动. 运 动 性质： 是a=g的匀变速曲线运动. 等时间内速度变化量相等. 物体抛出时的速度v 的方向与水平方向夹角为θ， 则 0 斜抛运动 （1） 水平方向上， 物体做匀速直线运动， 速度为vcosθ； 0 （2） 竖直方向上， 物体做匀变速直线运动， 初速度为vsinθ， 加速度 0 为g， 方向竖直向下. 二、 重要知识剖析 1. 平抛运动的规律 A B O α θ x （1） 水平方向： a=0， v=v， x=vt v x x 0 0 O 0 （2） 竖直方向： a ｙ ＝ｇ， v y =gt， y= g 2 t2 P θ v x v Δv y 1 Δv （3） 合运动： a＝ｇ， v=姨v2 x +v2 y ， s=姨x2+y2 v y v v 2 0 $v与v 轴的夹角： tanθ= v y = gt 图甲 图乙 $ $ $ 0 v x v 0 # $ y gt2 gt $ $ $ s与x轴的夹角： tanα= x = 2vt = 2v 小贴士： 只要物体受 % 0 0 恒力满足与初速度方 （4） 由以上可知： tanθ=2tanα 向垂直， 上述方法就 （5） 平抛运动的时间由y= gt2 得 t=姨 2y ， 与初速度大小无关. 适用， 只是其加速度 2 g 不等于g， 叫类平抛. （6） 水平射程由x=vt=v 姨 2y ， 由初速度v 和下落的高度共同决定. 0 0 g 0 （7） 落地速度： v=姨v2+v2 =姨v2+2gy ， 由初速度v 和y共同决定. 0 y 0 0 34第五章 曲 线 运 动 vt （8） 如图甲所示， 从O 点抛出的物体， 经时间t 到达P 点. 则 OB=vt， AB=PBcotθ= 0 ， 可见 0 2 OB AB= ， 所以平抛运动物体某时刻速度的反向延长线交于水平位移的中点处. 2 （9） 任何两时刻的速度变化量Δv=gΔt， 方向竖直向下， 即在运动过程中任何相等的时间内的速 度变化量都相等， 如图乙所示. gx2 ２. 抛体的轨迹是抛物线： y= 为轨迹方程. 2v2 0 三、 学习方法引导 题型一 对平抛运动的认识 例题1 为了清理堵塞河道的冰凌， 空军实施投弹爆破， 飞机在河 道上空高 H 处以速度 v 水平匀速飞行， 投掷下炸弹并击中目标， 名师经验谈：解题关 0 键是弄清物理模型. 本 求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速 题从受力和运动分析 度大小. （不计空气阻力） 炸弹做平抛运动. 遇到 解析：炸弹做平抛运动， 设炸弹脱离飞机到击中目标所飞行的水平 平抛问题解题入手点 距离为x 是将运动正交分解. 解 决平抛问题需要牛顿 x=v 0 t H= 1 2 gt2 联立以上各式解得x=v 0 姨2 g H 第二定律和运动学公 式及运动的分解. 设击中目标时的竖直速度大小为v， 击中目标时的速度大小为 v y v=gt=姨2gH v=姨v2+v2 联立以上各式解得v=姨v2+2gH y 0 y 0 答： 略 题型二 根据运动轨迹求初速度 例题 2 在 “研究平抛物体的运动” 的实验中， A′ A x 某同学只在竖直板面上记下了重锤线 y 的方向， h 1 B′ B 但忘记了平抛的初位置， 在坐标纸上描出了一 x y 2 段曲线的轨迹， 如图所示. 现在曲线上取 A、 B 两点， 量出它们到 y 轴的距离， AA′=x， BB′=x， 以及 AB 的竖直 1 2 距离h， 用这些可以求出小球平抛时的初速度为多大. 解析：设小球到达A点时， 运动时间为t 1 ， 竖直方向的位移为y 1 ； 要点提示: 到达 B 点时， 运动时间为 t， 竖直方向的位移为 y. 根据平抛运动 2 2 1 1 1.A点不是初位置. 的规律有 x=vt， y= gt2， x=vt， y= gt2， 其中 y－y=h， 所以 1 01 1 2 1 2 02 2 2 2 2 1 2. 构成合运动的分 运动彼此独立. v=姨 g （x2-x2）. 0 2h 2 1 答： 略 35GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO 高中物理公式、 定理、 定律图表 四、 圆 周 运 动 一、 知识图解 定义： 质点沿圆周运动， 并且线速度大小处处相等的运动. 匀速圆周运动 特点： 轨迹是圆； 角速度、 周期、 频率恒定； 线速度、 向 心加速度大小不变， 方向时刻改变. 是变速运动. Δl 大小： υ= . Δt 圆周运动 线速度 矢量性： 质点在圆周上某点的线速度的方向为圆周上该点的 切线方向. Δθ 角速度大小： ω= （单位： 弧度/秒 符号rad/s） . Δt 周期 （T）： 做匀速圆周运动的物体， 转过一周所用的时间叫做周期， 与频率互为倒数. 2πr 2π 各量之间的关系： v＝ωｒ； v= ； ω= . T T 二、 重要知识剖析 1. 线速度和角速度都可以用来描述圆周运动的快慢， 由v＝ωｒ， 可得： 1 （1） r一定时， v∝ω （2） ω一定时， v∝r （3） v一定时， ω∝ r 2. v、 ω、 ｒ间的关系是瞬间的 3. 若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度， 若比较物体绕圆心转动的快慢看周期、 角速度. 4. 皮带传动、 齿轮传动、 摩擦传动———线速度大小相等； 同轴传动———角速度相等 5. 皮带传动装置中的两个结论： （1） 同轴的各点角速度、 转速、 周期相等， 线速度与半径成正比. （2） 在不考虑皮带不打滑的情况下， 皮带上各点和与之接触的轮上各点线速度大小相等， 而角 速度与半径成反比. 36第五章 曲 线 运 动 五、 向心加速度 向心力 一、 知识图解 v２ ４π2ｒ 大小： α＝ ＝ω２ｒ＝ωv＝ ＝４π2ｆ２ｒ. ｎ ｒ Ｔ２ 向心加速度 方向： 总沿半径指向圆心. 向 心 作用： 只改变物体运动方向. 加 速 向心力 mv2 度 大小： Ｆ＝ma＝ ＝mω２ｒ. n ｎ r 向 心 方向： 总沿半径指向圆心. 力 二者的关系： 遵循牛顿第二定律. 二、 重要知识剖析 向心加速度和向心力的理解 v2 1 （１） a＝ 中， 在线速度大小一定的前提条件下， a∝ 才会成立. ｎ r ｎ r （２） a＝ω２ｒ中， 在角速度一定的前提条件下， a∝ｒ才会成立. ｎ ｎ （３） 物体做匀速圆周运动时， 向心加速度 （向心力） 就是物体运动的合加速度 （向心力） . 向 心加速度是瞬时加速度， 不是平均加速度. （４） 物体做非匀速圆周运动时， 合加速度既有沿切线方向的分量， 又有指向圆心方向的分量， v2 这个分量就是向心加速度， 此时向心加速度仍满足a＝ ＝ω2ｒ. ｎ r （５） 向心加速度 （向心力） 公式中的ω、 v、 a （F） 必须对应同一时刻. ｎ n （６） 向心力的来源： 是按效果命名的， 可由某个力或某个力的分力、 某几个力的合力来充当. 且不可在物体的相互作用力之外再额外地加上一个向心力. （7） 当物体做变速圆周运动时， 物体运动的速度大小也在改变， 这种情况下， 物体所受合外力 一般不等于向心力， 分解为跟圆周相切的分力产生切向加速度， 改变物体运动的快慢 （速度的大 小）； 分解为指向圆心的分力产生向心加速度， 向心加速度改变物体运动的方向. 37GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO 高中物理公式、 定理、 定律图表 六、 生活中的圆周运动 一、 知识图解 转弯： 火车转弯、 汽车转弯 车过凹面时F ＞mg N 生活中的圆周运动 凸凹路面 车过凸面时F ＜mg N 离心运动： 是物体具有惯性的一种表现 二、 重要知识剖析 1. 圆周运动的分析方法： （1） 选取研究对象， 确定轨道平面、 圆心位置和轨道半径. （2） 对物体受力分析， 明确向心力来源. （3） 沿向心力方向建立向心力方程， 求解. 2. 生活中的实例 （1） 水平面内的圆周运动———火车转弯、 汽车转弯 ①火车转弯： 外轨略高于内轨， 速度适当时， 火车所受的重力和轨道对其的支持力合力恰好等 mv２ 于向心力， 即mgtanθ= . r a. 当火车的速度等于姨grtanθ 时， 内外轨对轮缘无侧压力. b. 当火车的速度大于姨grtanθ 时， 外轨对轮缘有向内的侧压力. c. 当火车的速度小于姨grtanθ 时， 内轨对轮缘有向外的侧压力. mv２ ②汽车转弯： 在水平公路上行驶的汽车， 转弯时所需的向心力 ， 是由车轮与路面间的静摩 r mv２ 擦力F 提供的， 即F= ， 因为静摩擦力F 最大不能超过最大静摩擦力， 故要求车子转弯时， 车 f f r f 速不能太大和转弯半径不能太小. （2） 汽车过弧形桥： 汽车过圆弧形桥时， 汽车做圆周运动， 在弧形桥的最高点和最低点受到的 向心力， 是由重力和路面的支持力的合力提供的汽车在竖直面内做圆周运动的向心力. ①汽车在凸形桥的最高点时， 如右上图所示， 则有： F N v mv２ mv２ 向心力： F =mg-F = 支持力： F =mg- ＜mg 向 N R N R G 由以上两式可得： v越大， 则F 越小， F 越大， 当F ＝mg时， F ＝０ N 向 向 N ②汽车在凹形桥的最低点时， 如右下图所示， 则有： F N 向心力： F =F -mg= mv２ 支持力： F =mg＋ mv２ ＞mg v 向 N R N R G 由以上两式可得： v越大， 则F 越大， F 越大 N 向 提示： 汽车运动到凸形桥的最高点时处于失重状态， 运动到凹形桥的最低点时处于超重状态. 38