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第六章 万有引力与航天
第六章 万有引力与航天
知识网络
两个定律： （1） 开普勒定律 （2） 万有引力定律
万有引力与航天 两种情境： （1） 物体在星球表面 （2） 物体离开星球表面， 在星球上空
万有引力定律两个方面的应用： （1） 天文学上的应用 （2） 宇宙航行
概述： 1. 万有引力定律揭示了自然界中一种基本的相互作用规律， 作为中学唯一涉及并用
于讨论天体运动的规律， 它把地面上的物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来.
2. 本章知识主线是万有引力充当向心力和圆周运动规律相结合.
3. 在学习过程中要注意物理模型的建立.
39GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO
高中物理公式、 定理、 定律图表
一、 行星的运动
一、 知识图解
地心说： 地球是宇宙的中心， 且是静止不动的， 太阳、 月亮以及其
他行星都绕地球运动.
古代天体运
动的学说
日心说： 太阳是宇宙的中心， 且是静止不动的， 地球和其他行星都
行
绕太阳运动.
星
的
运
动 第一定律： 太阳系中各行星是以椭圆轨道运行的， 太阳在这些椭圆的
一个焦点上.
开普勒三 第二定律： 太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等.
大定律
第三定律： 所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次
R3
方的比值都相等， 其表达式为 =k， 其中R是椭圆轨道的半长轴，
T2
T是行星绕太阳公转的周期.
二、 重要知识剖析
1. 开普勒三大定律是从行星的运动中得出的， 但同样适用于卫星绕行星的运动.
2. 第二定律中常量k的理解： 只与中心体有关， 而与运转星体无关.
三、 学习方法引导
题型 开普勒定律的应用
例题 地球绕太阳公转， 地球本身绕地轴自转， 因此形成了一年四
要点提示: 季， 下列说法正确的是 （ ）
因为冬至比其他三 A. 春分时， 地球的公转速率最小B. 夏至时， 地球的公转速率最小
个节气都寒冷， 因此不
C. 秋分时， 地球的公转速率最小D. 冬至时， 地球的公转速率最小
少人会错误地认为冬至
解析：由开普勒第二定律知， 地球与太阳连线在相等的时间内扫过
时地球离太阳最远.判断
地球公转速率的大小， 依 相等的面积. 夏至时， 地球在远日点， 速率最小.
据应是开普勒第二定律. 答案 B
40第六章 万有引力与航天
二、 万有引力定律
一、 知识图解
内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引， 引力的大小与两个物体的质量m 和m 的乘积
1 2
Gmm
成正比， 与它们之间距离r的二次方成反比， 即F= 1 2 . r是两点间的距离， G为引力
r2
常量.
万
有 引力常量： 英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出了引力常量G； 通常取 G=6.67×10-11
引 N·m2/kg2.
力
定
律
求引力
应用 求重力加速度
应用于行星、 卫星
二、 重要知识剖析
1. 万有引力公式的适用条件
（1） 质点间的物体.
（2） 两个质量分布均匀的球体间， r为两球心间的距离.
（3） 一个均匀球体与球外一个质点间， r为球心到质点间的距离.
（4） 两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时， 公式近似适用， r为两物体质心间的距离.
2. 万有引力与重力的关系
棕
如图所示， 在地球表面的物体随地球的自转而做圆周运动， 受到的万有
引力F， 一部分提供自传的向心力F ， 另一部分为物体所受的重力G=mg. m
向 O′F
向
（1） 物体位于赤道时： 三力同向指向地心， 即， F=F +G .
向 赤 F G
（2） 物体位于两极时： F =0， F=G . 兹
向 极 r O
（3） 重力随纬度的升高而增大， 随离开地面的高度升高而减小.
3. 地面上的物体随地球自转时所做的圆周运动与卫星绕地球的转动不
同， 前者是万有引力和地面的支持力的合力充当向心力， 后者是万有引力充
当向心力.
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高中物理公式、 定理、 定律图表
三、 万有引力理论的成就
一、 知识图解
GM
方法1： 由天体表面的重力加速度来求天体质量， 即g= .
R2
计算天
体质量 方法2： 由天体的圆周运动， 即万有引力提供向心力， 列方程：
GMm 4π2mr mv2
= = =mω2r来求得质量.
r2 T2 r
4π2r3 v2r ω2r3
M= = = 方法2只能求出中心体质量.
GT2 G G
GMm
万 方法 1： 由天体表面的重力加速度来求天体密度， 由 mg= 和
R2
有
引 M= 4πρR3 得ρ= 3g .
力 3 4πGR
理 计算天
论 体密度
的
方法2： 由天体的圆周运动， 即万有引力提供向心力， 列方程：
成
就 GMm = 4π2mr M= 4πρR3 得ρ= 3πr3 .
r2 T2 3 GT2R3
当天体的卫星绕天体表面运动时， 其轨道半径r等于天体半径R， 则
3π
天体密度为： ρ= .
GT2
海王星
发现未
知天体
天王星
二、 重要知识剖析
1. 建立模型： 无论是自然天体 （太阳、 地球、 月亮）， 还是人造天体 （卫星、 飞船、 空间站），
都抽象为质量在其球心的质点模型， 它们之间的运动便抽象为一个质点绕另一个质点的匀速圆周运
动.
2. 两条思路：
GMm
（1） 万有引力等于重力， 即黄金代换公式： =mg， 适用于
r2
①物体在星球表面上， 但忽略自转；
42第六章 万有引力与航天
②物体离开球表， 此时g为物体所在空间处的重力加速度.
GMm 4π2mr mv2
（2） 万有引力等于向心力， =ma= = =mω2r.
r2 T2 r
3. 分清几对概念
（1） 两个星体： 中心体M和运转星体m.
（2） 三个距离： 中心体的球体半径R、 运转星体的轨道半径r、 两星体间的距离L.
（3） 重力、 万有引力、 向心力： 就问题的不同选取其中两项组成等式列方程来解决问题.
GMm
4. 双星问题： （1） 特点： 角速度相同； （2） 动力学方程： =mω2（L-r）=Mω2r. 注意： 两
L2 1 1
星体间的距离L与轨道半径r的不同.
5. 注意题目中的隐含条件： 地球公转一周是365天； 其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等.
三、 学习方法引导
题型 万有引力与重力的关系
例题1 据媒体报道， 嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道， 轨道
高度 200 km， 运行周期 127 min. 若还知道引力常量和月球平均半
径， 仅利用以上条件不能求出的是 （ ）
A. 月球表面的重力加速度 B. 月球对卫星的吸引力
C. 卫星绕月球运行的速度 D. 卫星绕月球运行的加速度
GMm 4π2m（R+h） GMm
解析：由
（R+h）2
=
T2
和
R2
=mg 可得： 月球表面的重
教师经验谈：建立天
体模型是解题的前提，
4π2（R+h）3 4π2（R+h）
力加速度 g= ； 卫星绕月球运行的加速度 a= ； 公式理解是关键.
T2R2 T2
2π（R+h）
速度v= .
T
由于不知卫星的质量， 故无法求出月球对卫星的引力.
答案 B
1 1
例题2 火星的质量和半径分别约为地球的 和 ， 地球表面的重
16 2
力加速度为g， 则火星表面的重力加速度约为 （ ）
A. 0.2g B. 0.4g C. 0.25g D. 0.5g
要点提示:
GMm
解析：星球表面的物体存在：
R2
=mg
定性分析时， 要能
区分万有引力与重力，
gM R2
故g 火 = M 火 R2 地=0.25g 定量计算时， 高中阶段
地 火
GMm
答案 C 取 R2 =mg.
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高中物理公式、 定理、 定律图表
四、 宇宙航行 经典力学的局限性
一、 知识图解
GMm GM
由 =ma 得a = 即r越大， a 越小.
r2 向 向 r2 向
由
GMm
=
mυ2 得v=姨GM
即r越大， v越小.
r2 r r
人造卫星运行
规律
由
GMm =mω2r得ω=姨GM
即r越大， ω越小.
r2 r3
由
GMm
=
4π2mr 得T=姨4π2r3
即r越大， T越大.
r2 T2 GM
宇
宙 轨道： 赤道平面
航
行
、 周期： T=24h
经 地球同
典 步卫星
力
高度： h=3.6×107m
学
的
速度： v=3.1×103m/s
局
限
性
第一宇宙速度： v=7.9km/s
1
宇宙
第二宇宙速度： v=11.2km/s
速度 2
第三宇宙速度： v=16.7km/s
3
适用于低速运动
经典力学
适用于宏观物体
的局限
适用于弱相互作用
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二、 重要知识剖析
1. 弄清三种速度： 发射速度、 运行速度、 宇宙速度
（1） 发射速度： 是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度. 向高轨道发射卫星比向低轨道发
射卫星要困难， 一般大于7.9 km/s.
（2） 运行速度： 是指卫星在进入运行轨道后绕地球运行时的线速度， 小于7.9 km/s.
（3） 三个宇宙速度对应的都是最小发射速度.
①第一宇宙速度 （环绕速度） 是环绕地球运行的人造卫星的最大运行速度又是最小发射速度.
②第二宇宙速度 （脱离速度） 是围绕太阳运行的人造卫星的最小发射速度.
③第三宇宙速度 （逃逸速度） 是卫星挣脱太阳引力的束缚， 飞到太阳以外的宇宙空间所需的最
小发射速度.
2. 地球同步卫星： （1） 相对地面静止， 定点在赤道的正上方， 定高度、 定速率、 定角速度、
定周期. 公转周期等于地球的自转周期. （2） 运行方向与地球的自转方向相同.
3. 人造卫星中的 “失重” 问题
GMm
卫星正常运转时， 地球对它的万有引力等于它在此处的重力来提供向心力， 即 =
r2
mg′=ma ， 向心加速度等于轨道处的重力加速度， 因此卫星处于完全失重状态， 卫星中的物体也处
向
于完全失重状态. 凡是工作原理与重力有关的仪器 （天平、 水银气压计等） 在卫星中无法使用， 与
重力有关的实验无法进行.
4. 卫星所在的轨道圆心一定为地球的中心.
三、 学习方法引导
例题 发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入
预定轨道， 发射场一般选择在尽可能靠近赤道的
地方， 如图， 这样选址的优点是， 在赤道附近
赤道
（ ）
A. 地球的引力较大
B. 地球自转线速度较大
C. 重力加速度较大
D. 地球自转角速度较大
GMm mv2
解析：由公式 = 知， 发射过程需要将卫星以一定的相对
r2 r 要点提示:
地心的速度送入运动轨迹， 而在越靠近赤道处的地面上的物体的线 理论和实际的结
速度越大， 故发射卫星时更节能. 合， 要找到结合点.
答案 B
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