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2025新教材数学高考第一轮复习
7.2 等差数列
五年高考
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =0,a =5,则 ( )
n n 4 5
A.a =2n-5 B.a =3n-10
n n
1
C.S =2n2-8n D.S = n2-2n
n n 2
2.(2023全国甲文,5,5分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a +a =10,a a =45,则S =(
n n 2 6 4 8 5
)
A.25 B.22 C.20 D.15
3.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻
桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中
DD
DD ,CC ,BB ,AA 是举,OD ,DC ,CB ,BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 1 =0.5,
1 1 1 1 1 1 1 1 OD
1
CC BB A A
1=k , 1=k , 1=k .已知 k ,k ,k 成公差为 0.1 的等差数列,且直线 OA 的斜率为
DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1
0.725,则k = ( )
3
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.94.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党
党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长
a ,a ,a ,a ,a (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b ,b ,b ,b ,b (单位:cm),且长与宽之比都相
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
等.已知a =288,a =96,b =192,则b = ( )
1 5 1 3
A.64 B.96 C.128 D.160
5.(2022全国乙文,13,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差d=
n n 3 2
.
6.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =-2,a +a =2,则S =
n n 1 2 6 10
.
7.(2019课标Ⅲ,14,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =5,a =13,则S = .
n n 3 7 10
8.(2019 北京理,10,5 分,中)设等差数列{a }的前 n 项和为 S .若 a =-3,S =-10,则 a =
n n 2 5 5
,S 的最小值为 .
n
9.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =-a .
n n 9 5
(1)若a =4,求{a }的通项公式;
3 n
(2)若a >0,求使得S ≥a 的n的取值范围.
1 n n
10.(2023全国乙文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =11,S =40.
n n 2 10
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求数列{|a |}的前n项和T .
n n11.(2021全国乙理,19,12分,中)记S 为数列{a }的前n项和,b 为数列{S }的前n项积,已知
n n n n
2 1
+ =2.
S b
n n
(1)证明:数列{b }是等差数列;
n
(2)求{a }的通项公式.
n
n2+n
12.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{a }的公差为d,且d>1,令b = ,记S ,T 分别
n n a n n
n
为数列{a },{b }的前n项和.
n n
(1)若3a =3a +a ,S +T =21,求{a }的通项公式;
2 1 3 3 3 n
(2)若{b }为等差数列,且S -T =99,求d.
n 99 99考点2 等差数列的性质
a
1.(2020 浙江,7,4 分,中)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,公差 d≠0,且 1≤1.记
n n d
b =S ,b =S -S ,n∈N*,下列等式不可能成立的是 ( )
1 2 n+1 2n+2 2n
A.2a =a +a B.2b =b +b
4 2 6 4 2 6
C.a2=a2a8D.b2=b b
4 4 2 8
2.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a },
n
则{a }的前n项和为 .
n
3.(2022 浙江,20,15 分,中)已知等差数列{a }的首项 a =-1,公差 d>1.记{a }的前 n 项和为
n 1 n
S (n∈N*).
n
(1)若S -2a a +6=0,求S ;
4 2 3 n
(2)若对于每个n∈N*,存在实数c ,使a +c ,a +4c ,a +15c 成等比数列,求d的取值范围.
n n n n+1 n n+2 n
4.(2021 新高考Ⅱ,17,10 分,中)记 S 为公差不为零的等差数列{a }的前 n 项和,若
n na =S ,a ·a =S .
3 5 2 4 4
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求使得S >a 的n的最小值.
n n
三年模拟
综合基础练
1.(2024 届云南师大附中高考适应性考试,3)记 S 为等差数列{a }的前 n 项和.若
n n
a +a =24,S =48,则a = ( )
4 5 6 9
A.4 B.24
C.30 D.32
π π
2.(2024届湖北六校联考,5)若数列{a }为等差数列,且a = ,a = ,则sin a = ( )
n 1 6 3 2 2 023
1 √3 1 √3
A. B. C.− D.−
2 2 2 2
3.(2024届福建华安一中开学模拟,7)S 是数列{a }的前n项和,则“数列{a }为常数列”是
n n n
“数列{S }为等差数列”的 ( )
n
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选)(2024届江苏、广东、福建大联考,9)设不全为0的等差数列{a }的前n项和为S ,
n n
若a +2a =a ,则下列结论正确的是 ( )
4 8 6
A.a =0 B.S 最大
7 7
C.S =S D.S =0
5 9 13
S
5.(2023江苏七市三模,14)设等差数列{a }的前n项和为S ,a ≠0,a +a =3a ,则 10 = .
n n 1 1 5 2 a
20S 3n−1
6.(2024届江苏淮阴联考,13)设等差数列{a },{b }的前n项和分别为S ,T ,且 n = ,则
n n n n T n+3
n
a
8
= .
b +b
5 11
7.(2023 广东广州二模,15)在数列{a }中,a =2,a =a +a ,若 a a =440,则正整数 k=
n 1 m+n m n k k+1
.
8.(2024 届福建厦门外国语学校适应性考试,14)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,若
n n
S S ,则符合题意的等差数列{a }的一个通项公式为a = .
6 7 7 8 8 9 n n
9.(2024届湖南长沙一中月考,18)设各项均不为零的数列{a }的前n项和为S ,a =1,且对于
n n 1
任意n∈N*,满足2S =a ·a .
n n n+1
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1
(2)设b = ,求数列{b }的前99项和.
n √a +√a n
n n+1
综合拔高练1
1.(2023湖南长沙市明德中学检测,4)设等差数列{a }的前n项和为S ,且S >0,S <0,则
n n 4 045 4 044
S 最小时,n=( )
n
A.4 045 B.4 044
C.2 023 D.2 022
2.(多选)(2023广东汕头二模,11)已知数列{a }为等差数列,a =1,a =2√2+1,前n项和为S .数
n 1 3 n
S
列{b }满足b = n,则下列结论正确的是( )
n n n
A.数列{a }的通项公式为a =√2n−√2+1
n nB.数列{b }是递减数列
n
C.数列{b }是等差数列
n
D.数列{a }中任意三项不能构成等比数列
n
3.(多选)(2024届湖南长沙一中月考,12)已知数列{a }满足a =1,a =2,a =3,且对任意的正整
n 1 2 3
数m,n,都有a +a =2a +|m-n|,则下列说法正确的有 ( )
2m 2n m+n
A.a =5
4
B.数列{a -a }是等差数列
2n+2 2n
C.a =3n-1
2n
n2+3
D.当n为奇数时,a =
n 4
4.(2023湖北襄阳四中适应性考试,14)已知等差数列{a }中,a =4,a =16,若在数列{a }每相
n 2 6 n
邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第43项为 .
5.(2023湖北武汉四调,17)记数列{a }的前n项和为S ,对任意n∈N*,有S =n(a +n-1).
n n n n
(1)证明:{a }是等差数列;
n
(2)若当且仅当n=7时,S 取得最大值,求a 的取值范围.
n 1
6.(2024届广东新高考一模,19)记数列{a }的前n项和为S ,已知S =na -n2-n.
n n n n+1
(1)证明:{a }是等差数列;
n
4 1 1 1 1 27
(2)若a = ,证明: + + +…+ < .
1 3 S S S S 20
1 2 3 n综合拔高练2
1.(2024届江苏徐州模拟预测,17)已知等差数列{a }满足a =10,a -2a =6.
n 3 5 2
(1)求a ;
n
{
2n−1,n为奇数,
(2)数列{b }满足b = 1 T 为数列{b }的前n项和,求T .
n n a ,n为偶数, n n 2n
2 n−1
2.(2023湖北八市联考,18)已知各项均为正数的数列{a }的前n项和为S ,且a ,S ,a2为等差
n n n n n
数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
{ a 2 }
(2)若m为正整数,记集合 a | n+ ≤m 的元素个数为b ,求数列{b }的前50项和.
n 2 a m n
n
3.(2023浙江乐清知临中学第二次仿真考试,17)已知等差数列{a }满足a =20,a +a =56.
n 3 1 7
(1)求数列{a }的通项公式;
nS
(2)记b = n ,其中 S 为数列{a }的前 n项和.设[x]表示不超过 x的最大正整数,求使
n 4(n+1) n n
[b ]+[b ]+[b ]+…+[b ]<2 023的最大正整数n的值.
1 2 3 n
7.2 等差数列
五年高考
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =0,a =5,则 ( )
n n 4 5
A.a =2n-5 B.a =3n-10
n n
1
C.S =2n2-8n D.S = n2-2n
n n 2
答案 A
2.(2023全国甲文,5,5分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a +a =10,a a =45,则S =(
n n 2 6 4 8 5
)
A.25 B.22 C.20 D.15
答案 C3.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻
桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中
DD
DD ,CC ,BB ,AA 是举,OD ,DC ,CB ,BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 1 =0.5,
1 1 1 1 1 1 1 1 OD
1
CC BB A A
1=k , 1=k , 1=k .已知 k ,k ,k 成公差为 0.1 的等差数列,且直线 OA 的斜率为
DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1
0.725,则k = ( )
3
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
答案 D
4.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党
党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长
a ,a ,a ,a ,a (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b ,b ,b ,b ,b (单位:cm),且长与宽之比都相
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
等.已知a =288,a =96,b =192,则b = ( )
1 5 1 3
A.64 B.96 C.128 D.160
答案 C
5.(2022全国乙文,13,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差d=
n n 3 2
.
答案 2
6.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =-2,a +a =2,则S =
n n 1 2 6 10.
答案 25
7.(2019课标Ⅲ,14,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =5,a =13,则S = .
n n 3 7 10
答案 100
8.(2019 北京理,10,5 分,中)设等差数列{a }的前 n 项和为 S .若 a =-3,S =-10,则 a =
n n 2 5 5
,S 的最小值为 .
n
答案 0;-10
9.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =-a .
n n 9 5
(1)若a =4,求{a }的通项公式;
3 n
(2)若a >0,求使得S ≥a 的n的取值范围.
1 n n
解析 (1)设{a }的公差为d.
n
由S =-a 得a +4d=0.由a =4得a +2d=4.
9 5 1 3 1
于是a =8,d=-2.
1
因此{a }的通项公式为a =10-2n.
n n
n(n−9)d
(2)由(1)得a =-4d,故a =(n-5)d,S = .由a >0知d<0,故S ≥a 等价于n2-11n+10≤0,解
1 n n 2 1 n n
得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.
10.(2023全国乙文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =11,S =40.
n n 2 10
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求数列{|a |}的前n项和T .
n n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n
{ a +d=11, {a =13,
则 1 解得 1 ∴a =13-2(n-1)=15-2n.
10a +45d=40, d=−2, n
1
(2)由a =15-2n知,当n≤7,n∈N*时,a >0,当n≥8,n∈N*时,a <0,
n n n
n(28−2n)
∴当n≤7,n∈N*时,T =|a |+|a |+…+|a |=a +a +…+a =S = =-n2+14n,
n 1 2 n 1 2 n n 2
当n≥8,n∈N*时,T =(a +a +…+a )-(a +a +…+a )
n 1 2 7 8 9 n
=2S -S =98-(-n2+14n)=n2-14n+98.
7 n
{ −n2+14n(n≤7且n∈N∗),
∴T =
n n2−14n+98(n≥8且n∈N∗).
11.(2021全国乙理,19,12分,中)记S 为数列{a }的前n项和,b 为数列{S }的前n项积,已知
n n n n2 1
+ =2.
S b
n n
(1)证明:数列{b }是等差数列;
n
(2)求{a }的通项公式.
n
解析 (1)证明:由b =S ·S ·…·S 可得,
n 1 2 n
b ,n=1,
{
1 2 1
S = b 由 + =2知,
n n ,n≥2. S b
b n n
n−1
2 1 2 1 3
当n=1时, + =2,即 + =2,所以b =S = ,
S b b b 1 1 2
1 1 1 1
2 1
+
1 3 1
当n≥2时, b b =2,即2b =2b +1,即b -b = ,故数列{b }是首项为 ,公差为 的等差数
n n n n-1 n n-1 2 n 2 2
b
n−1
列.
3 1 n+2
(2)由(1)知,b = +(n-1)× = ,
n 2 2 2
b n+2
故当n≥2时,S = n = ,S 也符合该式,
n b n+1 1
n−1
n+2 3
即S = (n∈N*),从而a =S = ,
n n+1 1 1 2
3
{ ,n=1,
n+2 n+1 1 2
当n≥2时,a =S -S = − =− ,a 不符合该式,所以a =
n n n-1 n+1 n n(n+1) 1 n 1
− ,n≥2.
n(n+1)
n2+n
12.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{a }的公差为d,且d>1,令b = ,记S ,T 分别
n n a n n
n
为数列{a },{b }的前n项和.
n n
(1)若3a =3a +a ,S +T =21,求{a }的通项公式;
2 1 3 3 3 n
(2)若{b }为等差数列,且S -T =99,求d.
n 99 99
解析 (1)∵3a =3a +a ,∴3(a +d)=3a +a +2d,
2 1 3 1 1 1
∴a =d>1,∴S =a +a +a =a +a +d+a +2d=6a ,
1 3 1 2 3 1 1 1 1
n2+n 2 6 6 3 12 12 4 9
又∵b = ,∴b = ,b = = = ,b = = = ,∴T =b +b +b = ,
n a 1 a 2 a a +d a 3 a a +2d a 3 1 2 3 a
n 1 2 1 1 3 1 1 19 1
∴S +T =6a + =21,解得a =3或a = (舍),∴a =3n.
3 3 1 a 1 1 2 n
1
12 2 12
(2)∵{b }为等差数列,∴2b =b +b ,即 = + ,
n 2 1 3 a a a
2 1 3
6 1 6
即 = + ,即a2 -3a d+2d2=0,
a +d a a +2d 1 1
1 1 1
∴a =2d或a =d.
1 1
n
当a =2d时,a =(n+1)d,b = ,
1 n n d
(2d+100d)×99
∴S = =99×51d,
99 2
1 (1+99)×99 99×50
T = · = ,
99 d 2 d
1
又∵S -T =99,∴99×51d-99×50· =99,
99 99 d
50 50
∴51d- =1,解得d=1或d=- ,
d 51
又∵d>1,∴a ≠2d.
1
n+1 (1+99)×99d
当a =d时,a =nd,b = ,∴S = =50×99d,
1 n n d 99 2
1 (2+100)×99 51×99
T = · = ,
99 d 2 d
51×99
又∵S -T =99,∴50×99d- =99,
99 99 d
51 51 51
∴50d- =1,解得d= 或d=-1,又∵d>1,∴d= .
d 50 50
51
综上,d= .
50
考点2 等差数列的性质
a
1.(2020 浙江,7,4 分,中)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,公差 d≠0,且 1≤1.记
n n d
b =S ,b =S -S ,n∈N*,下列等式不可能成立的是 ( )
1 2 n+1 2n+2 2n
A.2a =a +a B.2b =b +b
4 2 6 4 2 6C.a2=a2a8D.b2=b b
4 4 2 8
答案 D
2.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a },
n
则{a }的前n项和为 .
n
答案 3n2-2n
3.(2022 浙江,20,15 分,中)已知等差数列{a }的首项 a =-1,公差 d>1.记{a }的前 n 项和为
n 1 n
S (n∈N*).
n
(1)若S -2a a +6=0,求S ;
4 2 3 n
(2)若对于每个n∈N*,存在实数c ,使a +c ,a +4c ,a +15c 成等比数列,求d的取值范围.
n n n n+1 n n+2 n
解析 (1)易得a =(n-1)d-1,n∈N*,S =a +a +a +a =4a +6d=6d-4.
n 4 1 2 3 4 1
又S -2a a +6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,
4 2 3
∴d=3或d=0(舍),则a =3n-4,n∈N*,
n
3n(n+1)−8n 3n2−5n
故S =3(1+2+…+n)-4n= = ,n∈N*.
n 2 2
(2)由(1)知a =(n-1)d-1,n∈N*,依题意得[c +(n-1)d-1][15c +(n+1)d-1]=(4c +nd-1)2,
n n n n
即 15c2+[(16n-14)d-16]c +(n2-1)d2-2nd+1=16c2+8(nd-1)c +n2d2-2nd+1, 故 c2+[(14-
n n n n n
8n)d+8]c +d2=0,
n
故[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8][(16-8n)d+8]≥0,故[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]≥0 对任意正整数
n恒成立,n=1时,显然成立;n=2时,-d+2≥0,则d≤2;
n≥3时,[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)≥0.
综上所述,1a 的n的最小值.
n n
解 析 (1) 解 法 一 : 设 等 差 数 列 {a } 的 公 差 为 d(d≠0), 则
n
a =S ⇒a +2d=5a +10d⇒4a +8d=0⇒a +2d=0⇒a =-2d,①
3 5 1 1 1 1 1
a ·a =S ⇒(a +d)(a +3d)=4a +6d,②
2 4 4 1 1 1
将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a =-2d=-4,∴a =-4+(n-1)×2=2n-6.
1 n
解法二:由等差数列的性质可得S =5a ,则a =5a ,∴a =0,
5 3 3 3 3
设等差数列的公差为d,从而有a a =(a -d)(a +d)=-d2,
2 4 3 3
S =a +a +a +a =(a -2d)+(a -d)+a +(a +d)=-2d,
4 1 2 3 4 3 3 3 3
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{a }的通项公式为a =a +(n-3)d=2n-6.
n n 3
(2)由(1)知a =2n-6,a =2×1-6=-4.
n 1
n(n−1)
S =na + d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
n 1 2
S >a ⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,
n n
解得n<1或n>6,又n∈N*,∴n的最小值为7.
三年模拟
综合基础练
1.(2024 届云南师大附中高考适应性考试,3)记 S 为等差数列{a }的前 n 项和.若
n n
a +a =24,S =48,则a = ( )
4 5 6 9
A.4 B.24
C.30 D.32
答案 C
π π
2.(2024届湖北六校联考,5)若数列{a }为等差数列,且a = ,a = ,则sin a = ( )
n 1 6 3 2 2 023
1 √3 1 √3
A. B. C.− D.−
2 2 2 2
答案 C
3.(2024届福建华安一中开学模拟,7)S 是数列{a }的前n项和,则“数列{a }为常数列”是
n n n
“数列{S }为等差数列”的 ( )
n
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(多选)(2024届江苏、广东、福建大联考,9)设不全为0的等差数列{a }的前n项和为S ,
n n
若a +2a =a ,则下列结论正确的是 ( )
4 8 6
A.a =0 B.S 最大
7 7
C.S =S D.S =0
5 9 13
答案 ADS
5.(2023江苏七市三模,14)设等差数列{a }的前n项和为S ,a ≠0,a +a =3a ,则 10 = .
n n 1 1 5 2 a
20
11
答案
4
S 3n−1
6.(2024届江苏淮阴联考,13)设等差数列{a },{b }的前n项和分别为S ,T ,且 n = ,则
n n n n T n+3
n
a
8
= .
b +b
5 11
11
答案
9
7.(2023 广东广州二模,15)在数列{a }中,a =2,a =a +a ,若 a a =440,则正整数 k=
n 1 m+n m n k k+1
.
答案 10
8.(2024 届福建厦门外国语学校适应性考试,14)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,若
n n
S S ,则符合题意的等差数列{a }的一个通项公式为a = .
6 7 7 8 8 9 n n
答案 8-n(答案不唯一)
9.(2024届湖南长沙一中月考,18)设各项均不为零的数列{a }的前n项和为S ,a =1,且对于
n n 1
任意n∈N*,满足2S =a ·a .
n n n+1
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1
(2)设b = ,求数列{b }的前99项和.
n √a +√a n
n n+1
a a
解析 (1)由题知a ≠0.当n=1时,a =S = 1 2,则a =2.
n 1 1 2 2
a a a a a
当n≥2,n∈N*时,a =S -S = n n+1− n−1 n= n(a -a ),所以a -a =2,
n n n-1 2 2 2 n+1 n-1 n+1 n-1
所以数列{a }是首项为1,公差为2的等差数列,
2n-1
数列{a }是首项为2,公差也为2的等差数列,
2n
则a =a +2(n-1)=2n-1,a =a +2(n-1)=2n,
2n-1 1 2n 2
所以a =n,n∈N*.
n
1
(2)由(1)得,b = =√n+1−√n,
n √n+√n+1所以b +b +b +…+b =√2−1+√3−√2+…+√100−√99=10-1=9.
1 2 3 99
综合拔高练1
1.(2023湖南长沙市明德中学检测,4)设等差数列{a }的前n项和为S ,且S >0,S <0,则
n n 4 045 4 044
S 最小时,n=( )
n
A.4 045 B.4 044
C.2 023 D.2 022
答案 D
2.(多选)(2023广东汕头二模,11)已知数列{a }为等差数列,a =1,a =2√2+1,前n项和为S .数
n 1 3 n
S
列{b }满足b = n,则下列结论正确的是( )
n n n
A.数列{a }的通项公式为a =√2n−√2+1
n n
B.数列{b }是递减数列
n
C.数列{b }是等差数列
n
D.数列{a }中任意三项不能构成等比数列
n
答案 ACD
3.(多选)(2024届湖南长沙一中月考,12)已知数列{a }满足a =1,a =2,a =3,且对任意的正整
n 1 2 3
数m,n,都有a +a =2a +|m-n|,则下列说法正确的有 ( )
2m 2n m+n
A.a =5
4
B.数列{a -a }是等差数列
2n+2 2n
C.a =3n-1
2n
n2+3
D.当n为奇数时,a =
n 4
答案 ABD
4.(2023湖北襄阳四中适应性考试,14)已知等差数列{a }中,a =4,a =16,若在数列{a }每相
n 2 6 n
邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第43项为 .
65
答案
2
5.(2023湖北武汉四调,17)记数列{a }的前n项和为S ,对任意n∈N*,有S =n(a +n-1).
n n n n
(1)证明:{a }是等差数列;
n
(2)若当且仅当n=7时,S 取得最大值,求a 的取值范围.
n 1
解析 (1)证明:因为S =na +n(n-1)①,
n n
所以当n≥2时,S =(n-1)a +(n-1)(n-2)②,
n-1 n-1
①-②可得a =na -(n-1)a +2n-2,
n n n-1即(1-n)a =-(n-1)a +2(n-1),
n n-1
亦即a -a =-2,故{a }为等差数列.
n n-1 n
(2)若当且仅当n=7时,S 取得最大值,
n
{S >S , {a >0, {a −12>0,
则有 7 6 得 7 则 1 12S , a <0, a −14<0, 1
7 8 8 1
故a 的取值范围为(12,14).
1
6.(2024届广东新高考一模,19)记数列{a }的前n项和为S ,已知S =na -n2-n.
n n n n+1
(1)证明:{a }是等差数列;
n
4 1 1 1 1 27
(2)若a = ,证明: + + +…+ < .
1 3 S S S S 20
1 2 3 n
证明 (1)因为S =na -n2-n,
n n+1
所以S =(n+1)a -(n+1)2-(n+1),
n+1 n+2
两式相减得S -S =a =(n+1)a -na -(2n+1)-1,
n+1 n n+1 n+2 n+1
即(n+1)a =(n+1)a -2(n+1),
n+1 n+2
即a =a +2,当n=1时,S =a =a -2,则a -a =2,
n+2 n+1 1 1 2 2 1
所以{a }是以2为公差的等差数列.
n
(2)由(1)及题意得等差数列{a }的前n项和
n
n n(2 ) ( 1)
S = (a +a )= +2n =n n+ ,
n 2 1 n 2 3 3
1 1 3
= =
则S n n ( n+ 1) n(3n+1),
3
1 1 1 [ 1 1 1 ] 27
要证 + +…+ =3 + +…+ < ,
S S S 1×4 2×7 n×(3n+1) 20
1 2 n
3 3 3 9
即证 + +…+ < ,
3×4 6×7 3n×(3n+1) 20
易知(3n-1)(3n+2)<3n(3n+1),
3 3
则 < ,
3n(3n+1) (3n−1)(3n+2)
3 3 3
故 + +…+
3×4 6×7 3n×(3n+1)
1 3 3
+ +…+
< 4 5×8 (3n−1)×(3n+2)1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 1 9
= + − + − +…+ − < + = ,
4 5 8 8 11 3n−1 3n+2 4 5 20
原不等式得证.
综合拔高练2
1.(2024届江苏徐州模拟预测,17)已知等差数列{a }满足a =10,a -2a =6.
n 3 5 2
(1)求a ;
n
{
2n−1,n为奇数,
(2)数列{b }满足b = 1 T 为数列{b }的前n项和,求T .
n n a ,n为偶数, n n 2n
2 n−1
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n
{ a =10, { a +2d=10, {a =2,
因为 3 所以 1 解得 1
a −2a =6, (a +4d)−2(a +d)=6, d=4,
5 2 1 1
所以a =2+4(n-1)=4n-2.
n
{ 2n−1,n为奇数,
(2)由(1)可得b =
n 2n−3,n为偶数,
则T =(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
2n 1 3 2n-1 2 4 2n
=(1+22+…+22n-2)+[1+5+…+(4n-3)]
1−4n n(4n−2) 4n−1
= + =2n2−n+ ,
1−4 2 3
4n−1
所以T =2n2-n+ .
2n 3
2.(2023湖北八市联考,18)已知各项均为正数的数列{a }的前n项和为S ,且a ,S ,a2为等差
n n n n n
数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
{ a 2 }
(2)若m为正整数,记集合 a | n+ ≤m 的元素个数为b ,求数列{b }的前50项和.
n 2 a m n
n
解析 (1)因为{a }的各项为正,a ,S ,a2为等差数列,
n n n n
所以2S =a +a2,a >0,
n n n n
当n=1时,2S =2a =a +a2,可得a =1;
1 1 1 1 1当n≥2时,2(S -S )=2a =a +a2−an−1−a2 ,
n n-1 n n n n−1
则a +a =a2−a2 =(a +a )(a -a ),n≥2,
n n-1 n n−1 n n-1 n n-1
由a +a >0,得a -a =1,n≥2,
n n-1 n n-1
所以{a }是首项为1,公差为1的等差数列,故a =n.
n n
(2)
a
n+
2
≤m⇒
n
+
2
≤m⇒
1(
n+
4)
≤m,
2 a 2 n 2 n
n
1( 4)
因为 n+ ≥2,当且仅当n=2时“=”成立,所以b =0(当m=1时,不存在满足条件的n值),
2 n 1
b =1,
2
2m−1 2 1 2 2 1
当 m≥3 时 , 记 n 最 大 取 2m-1. 因 为 + =m− + ≤ m, ≤
2 2m−1 2 2m−1 2m−1 2
5
,2m-1≥4,m≥ ,
2
1 2
又m∈N*,所以m≥3,所以m- + ≤m成立.
2 2m−1
所以b =2m-1(m≥3),
m
(5+99)×48
所以{b }的前50项和为0+1+5+7+…+99=0+1+ =2 497.
m 2
3.(2023浙江乐清知临中学第二次仿真考试,17)已知等差数列{a }满足a =20,a +a =56.
n 3 1 7
(1)求数列{a }的通项公式;
n
S
(2)记b = n ,其中 S 为数列{a }的前 n项和.设[x]表示不超过 x的最大正整数,求使
n 4(n+1) n n
[b ]+[b ]+[b ]+…+[b ]<2 023的最大正整数n的值.
1 2 3 n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n
{ a =a +2d=20, {a =4,
由题意可得 3 1 解得 1
a +a =2a +6d=56, d=8,
1 7 1
所以数列{a }的通项公式为a =4+8(n-1)=8n-4.
n n
n(4+8n−4)
(2)由(1)可得a =8n-4,则S = =4n2,
n n 2S n2 1
所以b = n = =(n-1)+ ,
n 4(n+1) n+1 n+1
1 ( 1]
因为n∈N*,则n-1∈N, ∈ 0, ,
n+1 2
所以[b ]=n-1,则[b ]-[b ]=n-(n-1)=1,即数列{[b ]}是首项为0,公差为1的等差数列,
n n+1 n n
n(0+n−1) n(n−1)
则[b ]+[b ]+[b ]+…+[b ]= = ,
1 2 3 n 2 2
n(n−1)
令 <2 023,即n2-n<4 046,
2
因为f(n)=n2-n在[1,+∞)上单调递增,且f(64)=4 032<4 046, f(65)=4 160>4 046,
所以使[b ]+[b ]+[b ]+…+[b ]<2 023的最大正整数n的值为64.
1 2 3 n
