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第 74 讲 安培力作用下的平衡问题
1．（2022•湖南）如图（a），直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所
在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时
间变化，其截面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为 。下
列说法正确的是（ ） θ
A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tan 与电流I成正比
D．sinθ与电流I成正比
【解答θ】解：A、导体受到向下的重力，沿悬线向左上的拉力，如要平衡安培力的方向一定朝右
上方。对直导线MN进行受力分析，如图所示：
根据左手定则可知，导线中电流方向应由M指向N，故A错误；
B、直导线MN在悬线的拉力、安培力和重力的作用下处于平衡状态，当电流增大，安培力会变
化，再次处于平衡状态时安培力与重力的合力发生了变化，相应的悬线对导线的拉力也要变化，
由牛顿第三定律可知，导线对悬线的拉力会改变，故B错误；
CD、因为磁场的方向处处指向OO'，即磁场处处与悬线平行，故直导线 MN受到的安培力始终
与悬线垂直。
F BIL
根据几何关系可得：tan = = ，由B可知当电流I发生变化时，悬线的拉力T也要变化，
T T
θF BIL
所以tan 与电流I不成正比；同理sin = = ，因为重力恒定，所以sin 与电流I成正比，
mg mg
θ θ θ
故C错误，D正确。
故选：D。
2．（2021•广东）截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分
布的四根平行长直导线。若中心直导线通入电流 I ，四根平行直导线均通入电流I ，I ＞＞I ，
1 2 1 2
电流方向如图所示。下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据安培定则可知，中心导线形成的磁场是以导线为圆心的圆，所以左边导线处
的磁场方向竖直向上，根据左手定则可知，左边导线受力向右；右侧导线处的磁场方向竖直向
下，由左手定则可知，右边导线受力向左，故左右方向上弹性长管是向里凹陷的；
同理可知，上边导线处的磁场水平向右，由左手定则可知，其受力向上；下边导线处的磁场水
平向左，由左手定则可知，其受力向下；因此上下弹性长管是突出的；则可知发生的形变为C，
故C正确，ABD错误。故选：C。
一.知识回顾
1．安培力的方向
(1)用左手定则判断：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；
让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中
所受安培力的方向。
(2)安培力方向的特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B、I决定的平面。
(3)推论：两平行的通电直导线间的安培力——同向电流互相吸引，反向电流互相排斥。
2．安培力的大小
F＝IlBsinθ(其中θ为B与I之间的夹角)。如图所示：
(1)I∥B时，θ＝0或θ＝180°，安培力F＝0。
(2)I⊥B时，θ＝90°，安培力最大，F＝IlB。
3.分析通电导体在磁场中平衡或加速问题的一般步骤
(1)确定要研究的通电导体。
(2)按照已知力→重力→安培力→弹力→摩擦力的顺序，对导体作受力分析。
(3)分析导体的运动情况。
(4)根据平衡条件或牛顿第二定律列式求解。
4．分析安培力的注意事项
(1)安培力的方向特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B和I决定的平面。
(2)安培力的大小：应用公式F＝IlBsinθ计算弯曲导线在匀强磁场中所受安培力的大小时，
有效长度l等于曲线两端点的直线长度。
(3)视图转换：对于安培力作用下的力学综合问题，题目往往给出三维空间图，需用左手定则
判断安培力方向，确定导体受力的平面，变立体图为二维平面图。
5．其他注意事项
(1)类似于力学中用功与能的关系解决问题，通电导体受磁场力时的加速问题也可以考虑从能
量的观点解决，关键是弄清安培力做正功还是做负功，再由动能定理列式求解。
(2)对于含电路的问题，可由闭合电路欧姆定律求得导体中的电流，再结合安培力分析求解。
二.例题精析
题型一： 动态平衡问题例1．如图，垂直纸面放置的金属棒用绝缘丝线悬挂在O点，金属棒的质量m＝0.1kg、长度L＝
0.5m，棒中通有垂直纸面向里的电流。在竖直面内加上匀强磁场，金属棒平衡时丝线与竖直方
向间夹角 ＝30°，棒中电流强度I＝2A，重力加速度g＝10m/s2．关于所加磁场，下面判断正确
的是（ θ）
A．磁场的方向可能垂直丝线向右上方
B．若所加磁场的磁感应强度大小B＝0.8T，那么磁场的方向是唯一确定的
C．若所加磁场的方向与丝线平行，那么磁场的磁感应强度数值最小
D．只要所加磁场的磁感应强度大小确定，丝线上的拉力大小也就唯一确定
【解答】解：金属棒受重力、绳子拉力和安培力，三力平衡，受力分析如图所示，故安培力一
定与拉力和重力的合力大小相等，如图所示弧形区域的反方向，故安培力一定与拉力和重力的
合力大小相等，如图所示弧形区域的反方向。
A、根据图安培力方向和左手定则可知，磁场方向应该指向左上方，故A错误；
B、若所加磁场的磁感应强度大小B＝0.8T，只要安培力大小与拉力和重力的合力大小相等，反
向相反即可，故磁场方向不确定，故B错误；
C、根据上图可知，当安培力与绳子拉力垂直时，安培力最小，磁感应强度最小，根据左手定则
可判，此时所加磁场的方向与丝线平行，故C正确；
D、所加磁场的磁感应强度大小确定，由于磁场方向不确定，故安培力不确定，绳子拉力则不确
定，只要满足三力合力为零即可，故D错误；
故选：C。题型二：磁场叠加下的平衡问题
（多选）例2．（2019秋•长治月考）如图所示，在光滑的水平桌面上，a和b是两条固定的平行长
直导线，通过的电流强度
相等。矩形线框位于两条导线的正中间，通有顺时针方向的电流，在a、b产生的磁场
作用下静止。则a、b的电流方向可能是（ ）
A．均沿纸面向上
B．均沿纸面向下
C．a的沿纸面向上，b的沿纸面向下
D．a的沿纸面向下，b的沿纸面向上
【解答】解：A、若a、b电流方向均向上，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框右边所在
处的磁场方向垂直纸面向外，在线框左边所在处的磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则知，
线框右边所受的安培力方向向左，左边所受的安培力方向向左，则线框不能处于静止状态，故
A错误。
B、若a、b电流方向均向下，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框右边所在处的磁场方向
垂直纸面向里，在线框左边所在处的磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则知，线框右边所受
的安培力方向向右，左边所受的安培力方向向右，则线框不能处于静止状态，故B错误。
C、若电流方向a的向上，b的向下，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框右边所在处的磁
场方向垂直纸面向里，在线框左边所在处的磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则知，线框左
边所受的安培力方向向左，右边所受的安培力方向向右，线框可以处于平衡状态，故C正确。
D、若电流方向a的向下，b的向上，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框右边所在处的磁
场方向垂直纸面向外，在线框左边所在处的磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则知，线框左
边所受的安培力方向向右，右边所受的安培力方向向左，线框可以处于平衡状态，故D正确。
故选：CD。
题型三：三维空间的平衡问题
例3．如图所示，长为L、质量为m的导体棒ab，置于倾角为 的光滑斜面上，导体棒与斜面的水
θ平底边始终平行。已知导体棒通以从 b向a的电流，电流为I，重力加速度为g。若匀强磁场的
大小、方向都可以改变，要使导体棒能静止在斜面上，则磁感应强度 B的最小值和对应的方向
为（ ）
mgsinθ mgsinθ
A． ，方向垂直斜面向上 B． ，方向垂直斜面向下
IL IL
mgtanθ mgtanθ
C． ，方向竖直向上 D． ，方向竖直向下
IL IL
【解答】解：依题意对导体棒进行受力分析，如图所示：
当安培力平行于斜面向上，即安培力与斜面对导体棒的支持力垂直时，安培力最小。由左手定
则可知此时磁感线方向垂直于斜面，安培力的最小值为
F＝mgsin
此时所加θ的磁场方向垂直于斜面向上，即为
mgsin ＝BId
θ mgsinθ
解得：B= ，故A正确，BCD错误；
IL
故选：A。
三.举一反三，巩固练习
1. 在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的直角三角形线框abc，∠a＝90°，∠c＝
37°，磁场方向垂直于线框平面，a、c两点接一直流电源，电流方向如图所示．已知sin37°＝
0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）A．导线bc受到的安培力大于导线ac所受的安培力
B．导线abc受到的安培力的合力大于导线ac受到的安培力
C．导线ab、ac所受安培力的大小之比为3：8
D．导线abc受到的安培力的合力方向垂直于ac向上
3 5
【解答】解：A、设磁感应强度大小为B，ac边长为L，则abc的长度 L+ L=2L，由题意可
4 4
I 2I
知在a、c点接一直流电源后流过abc导线的电流为 ，流过ac导线的电流为 ，故导线bc受
3 3
I 5L 5BIL 2BIL
到的安培力大小为B⋅ ⋅ = ，导线ac所受的安培力大小为 ，故A错误；
3 4 12 3
BIL
B、导线abc的有效长度为L，受到的安培力大小为 ，故B错误；
3
I 3 BIL
C、导线ab所受的安培力大小为B• • L= ，
3 4 4
2BIL
ac所受安培力的大小为 ，
3
导线ab、ac所受安培力的大小之比为3：8，故C正确；
D、根据左手定则，导线abc受到的安培力的合力方向垂直于ac向下，故D错误；
故选：C。
2. 如图所示，两平行金属导轨所在平面与水平面的夹角 ＝37°，导轨的一端接有电动势
E＝3 V、内阻r＝0.5 的直流电源，两导轨间的距离L＝0.4 mθ，在导轨所在空间内分布着磁感
应强度大小B＝0.5 TΩ、方向垂直导轨所在平面向上的匀强磁场。现把一个质量m＝0.1 kg的导
体棒ab放在金属导轨上，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒接入电路的电阻R＝
1.0 ，导体棒恰好要滑动。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，金属导轨电阻不计。（g取10
m/sΩ2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）则ab棒与导轨的动摩擦因数为（ ）A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.4
E
【解答】解：根据闭合电路欧姆定律，可得I= ，由安培力公式可得F＝BIL，联立解得F
R+r
＝0.4 N。
因为mgsin ＝0.6N＞F，所以ab棒有沿导轨下滑的运动趋势，ab棒受到的静摩擦力方向沿导轨
向上，ab棒θ受力情况如图所示，
导体棒恰好要滑动，静摩擦力等于滑动摩擦力，有f＝ N，根据受力平衡可得mgsin ＝f+F，N
＝mgcos ， μ θ
联立可得θ ＝0.25，故ABD错误，C正确。
故选：C。μ
3. 三根互相平行的通电长直导线垂直于纸面放置，其与纸面的交点a、b、c位于等边三
角形的三个顶点上，电流方向如图所示。c在坐标轴的原点上，三角形关于y轴对称。电流I
a
＜I ，则c受到a和b的磁场力的合力方向，是从原点指向（ ）
b
A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限 C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限
【解答】解：根据两通电直导线间同向电流相互吸引，异向电流相互排斥，可知c导线的受力如
图所示
因场源电流I ＜I ，则有F ＜F ，
a b 1 2合成两个安培力后总的合力从原点指向指向第四象限，故ABC错误，D正确。
故选：D。
4. 如图所示，质量为m的三根完全相同的导体棒垂直于纸面放置，其中a、b两导体棒
放置在粗糙的水平面上，c导体棒被竖立的轻质弹簧悬挂，三根导体棒中均通入垂直纸面向里、
大小相等的恒定电流后，呈等边三角形排列，且保持稳定。重力加速度为 g，下列说法正确的
是（ ）
A．弹簧的弹力小于c导体棒的重力
B．水平面对a导体棒的摩擦力可能为零
3
C．水平面对a导体棒的支持力小于 mg
2
D．若在地面上对称地缓慢增大a、b导体棒间的距离，弹簧长度将增大
【解答】解：A．三根导体棒的电流方向相同，由“同向电流相吸，反向电流相斥“知 a导体棒
和b导体棒对c导体棒都是吸引力力，作用力的合力方向竖直向下，故弹簧的拉力大于 c导体棒
的重力，故A错误；
B．b、c导体棒对a导体棒的合力垂直bc向上，在水平方向的分力不为零，而a导体棒静止，所
以a导体棒必定受到水平面的摩擦力，故B错误；
3
C．对a、b、c整体研究，弹簧弹力竖直向上，所以地面对a的作用力小于 mg，故C正确；
2
D．若对称地缓慢增大ab导体棒间的距离，a导体棒和b导体棒对c导体棒的作用力都在减小，且二力的夹角增大，故二力的合力减小，则弹簧的弹力减小，长度减小，故D错误。
故选：C。
5. 粗细均匀边长为L的正方形铜制线框abcd固定在如图所示的两匀强磁场中，ac连线
与磁场分界线重合，磁场的磁感应强度大小均为B，a、b两端与恒压电源相连。若通过ab边
的电流大小为I，则线框受到的安培力大小为（ ）
2 2√2
A．0 B． BIL C． BIL D．2BIL
3 3
【解答】解：假设电流从a点流入金属框，根据左手定则，可知道金属框受到的安培力方向如图
所示：
用同一导线做成的边长为L的正方形单匝线框，a、b两端与恒压电源相连时，金属框被分为两
个并联的电阻：adcb和ab。两个电阻之比为R ：R ＝3：1
1 2
根据并联电阻电压相等，由欧姆定律可知，流过两个电阻上的电流分别为I ：I ＝1：3，通过ab
1 2
1
边的电流大小为I，即I ＝I，所以I = I
2 1
3
1
则四方形导线框每一条边所受到的安培力分别为：F ＝F ＝F ＝BI L= BIL，F ＝BI L＝
ad bc dc 1 ab 2
3
BIL，
2√2
对金属框受力分析可知，金属框受到的安培力大小为：F= BIL，故ABD错误，C正确；
3
故选：C。6. 一光滑绝缘的正方体固定在水平面内。AB导体棒可绕过其中点的转轴在正方体的上
表面内自由转动，CD导体棒固定在正方体的下底面。开始时两棒相互垂直并静止，两棒中点
O O 连线在正方体的中轴线上。现对两棒同时通有图示（A到B、D到C）方向的电流。下列
1 2
说法中正确的是（ ）
A．通电后AB棒仍将保持静止
B．通电后AB棒将要顺时针转动（俯视）
C．通电后AB棒将要逆时针转动（俯视）
D．通电瞬间线段O O 间存在磁感应强度为零的位置
1 2
【解答】解：ABC，通电后，根据右手安培定则可知CD棒有逆时针的磁场，AB棒有逆时针磁
场，根据磁感应强度由N极指向S极结合同名磁极相互排斥、异名磁极相互吸引，可知AB棒将
要顺时针转动（俯视），故AC错误，B正确；
D、在线段O O 间，由于CD棒有逆时针的磁场，AB棒有逆时针磁场，量磁场方向垂直，根据
1 2
磁场的合成可知不存在磁感应强度为零的位置，故D错误；
故选：B。
7. 如图所示，边长为L的正方形线框ABCD，ADC边的电阻与ABC边的电阻不相等，
将线框放在与线框平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。电流I从A点流入，从C点
流出，O是线框的正中心，下列说法正确的是（ ）
A．线框中的电流形成的磁场在O点的磁感应强度方向一定垂直纸面向内
B．线框中的电流形成的磁场在O点的磁感应强度方向一定垂直纸面向外C．整个线框在匀强磁场中受到的安培力大小为√2BIL
D．整个线框在匀强磁场中受到的安培力大小为4BIL
【解答】解：AB.根据ADC边的电阻与ABC边的电阻不相等，可知线框上、下边的电流不相等，
由电流形成的磁场在O点的方向可能为垂直
纸面向内或向外，选项AB均错误；
CD.电流通过线框的等效长度为√2 L，故整个线框在匀强磁场中受到的安培力大小为
F=√2BIL
故C正确、D错误。
故选：C。
8. 如图（俯视图）所示，粗糙水平面上固定一通电长直导线MN。长直导线周围磁场的
I
磁感应强度大小B＝k ，式中常量k＞0，I为电流强度，r为距导线的距离。在该直导线右侧
r
有一质量为m的单匝矩形线圈abcd，ad边与MN平行，且距MN距离为L。该线圈内通有逆
时针方向的恒定电流，线圈与水平面间动摩擦因数为 ，且ab＝2ad＝2L。当MN内通以电流
强度为I 的电流时线圈恰能保持静止，最大静摩擦力等μ于滑动摩擦力，重力加速度为 g。则此
0
时矩形线圈abcd内的电流强度大小是（ ）
3μmg 2μmg μmg μmg
A． B． C． D．
2kI 3kI 2kI kI
0 0 0 0
kI
【解答】解：由题意得：导线ad所在位置的磁感应强度B = 0，所受安培力F ＝B 1L
1 1 1
L
kI
导线bc所在位置的磁感应强度B = 0，所受安培力F ＝B 1L
2 2 2
3L
由于导线ad与bc中的电流方向相反，所以二者所受安培力方向相反，所以F ﹣F ＝ mg
1 2
3μmg μ
联立解得：I= ，故A正确，BCD错误。
2kI
0
故选：A。
9. 如图所示，间距为1m的平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，导轨左端连接有电动势为E＝15V，内阻r＝1 的电源。质量m＝0.5kg的金属棒垂直放在导轨上，导轨处在磁感应
强度大小为B＝1T的匀强Ω磁场中，磁场与金属棒垂直，方向与导轨平面成 ＝53°斜向右上。
绕过桌边光滑定滑轮的一根细线，一端系在金属棒的中点，另一端吊着一个θ重物，拉着金属棒
的细线水平且与金属棒垂直，金属棒处于静止状态且刚好不向左滑，最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度g取10m/s2，金属棒接入电路的电阻R＝2 ，导轨电阻不计，金属棒与导轨
间的动摩擦因数为 ＝0.5，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求： Ω
（1）悬吊重物的质量μ；
（2）保持磁感应强度大小不变，将磁场方向迅速改为竖直向上，则磁场方向改为竖直向上的一
瞬间，重物的加速度（不考虑电磁感应现象）。
【解答】解：（1）根据闭合电路欧姆定律E＝I（R+r）
解得：I＝5A
对金属棒研究：BILsin ＝f+T
BILcos +N＝mg θ
f＝ N θ
对重μ物研究：T＝Mg
解得M＝0.3kg
（2）对金属棒研究，金属棒受到的安培力大小F＝BIL＝1×5×1N＝5N
由于F＞Mg，因此金属棒有向左运动的趋势
由于F﹣Mg＜ mg，因此金属棒不会滑动，即加速度为0
答：（1）悬挂μ重物的质量为0.3kg；
（2）重物的加速度为0。
